ÁREAS TRIANGULARES PREGUNTAS RESUELTAS

PREGUNTA 1 : 

En un triángulo ABC, se trazan las medianas AN y BM que se cortan en “G”. Calcular el área de la región triángular MGN, si el área de la región triangular ABC es 12 u². 

a) 2 u² 

b) 1 

c) 3 

d) 4 

e) 6 

PREGUNTA 2 : 

Grafique al triángulo ABC y trace la ceviana BM de modo que : 5AM = 3MC. Calcular el área de la región triangular MBC, si el área de la región triangular ABM es 90 dm² 

a) 140 dm² 

b) 150 

c) 110 

d) 120 

e) 125 

PREGUNTA 3 : 

Si dos triángulos son semejantes y la relación de dos lados homólogos es 3. Hallar la relación entre las áreas de sus regiones. 

a) 3 

b) 6 

c) 9 

d) 12 

e) 15 

PREGUNTA 4 : 

Dos medianas de un triángulo miden 18 dm y 12 dm, al interceptarse forman un ángulo de 53°. Calcular el área de la región de dicho triángulo. 

a) 38,4 dm² 

b) 115,2 

c) 57,6 

d) 62,4 

e) 95,2

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Áreas de regiones poligonales 

REGION TRIANGULAR 

Es una figura geométrica (conjuntos de puntos) que consiste en un triángulo más su interior. REGION POLIGONAL 

Es una figura geométrica formada por la reunión de un número finito de regiones triangulares en un plano, de modo que si dos cualesquiera de ellas se intersecan, su intersección es o bien un punto o un segmento. 

POSTULADO 

A toda región poligonal, le corresponde un número real positivo único. 

AREA DE UNA REGION POLIGONAL 

El área de una región poligonal es el número real positivo que se le asigna según el postulado anterior. 

UNIDAD DE AREA 

Por costumbre se escoge como unidad de área a la unidad longitudinal al cuadrado; o sea: U = 1u2 u: unidad de longitud U: unidad de Area 1u 1u 6. OBSERVACIONES * Entendemos el área de un triángulo, área de un cuadrilátero, área de un polígono, como el área de la región correspondiente. * Dos regiones cualesquiera que tienen igual área se llaman equivalentes, independiente de la forma que tenga cada región. Ejemplo: el triángulo y el rectángulo que tiene igual área, son equivalentes. FIGURAS EQUIVALENTES * Si dos triángulos son congruentes, entonces las regiones triangulares tienen la misma área. * Es a partir del postulado de la unidad de área (área del cuadrado) que se de muestran las fórmulas básicas para el cálculo de área de las diferentes regiones elementales: rectángulo, triángulo, trapecio, etc. 7. AREA DEL CUADRADO El área de un cuadrado es igual a la longitud de su lado al cuadrado; o sea: S = L2 8. AREA DEL RECTANGULO El área de un rectángulo es el producto de su base por la altura. S = a.b Demostración En la figura, A, = a2, A2 = b2 S +S+A1+A2 = Stotal 2S+a2+b2 =(a+b)2 2S+a2+b2 =a2+2ab+b2 Cancelando a2 y b2 2S = 2ab Mitad S =a.b L.q.q.d. 9. AREA DE UN TRIANGULO RECTÁNGULO El área de un triángulo rectángulo es igual al semiproducto de las longitudes de los catetos. S = Demostración Por área del rectángulo 2S = a.b S = 10. AREA DE UN TRIANGULO CUALQUIERA El área de todo triángulo es igual al semiproducto de la longitud de un lado y la altura relativa a dicho lado. S = Area (ABC) S = m+n = b Demostración S = Area (AHB) + Area (BHC) S = S = S = L.q.q.d. 11. AREA DE UN TRIANGULO EQUILATERO El área de todo triángulo equilátero es igual al cuadrado de la longitud del lado multiplicado por el factor . S = Area (ABC) S = Demostración 1. S .(II) 3. (II) en (I) S = L.q.q.d 14. AREA DE UN TRIANGULO EN FUNCIÓN DEL INRADIO El área de todo triángulo es igual al producto del semiperimetro y el inradio. S = Area (ABC) r : Inradio S = p.r P: semiperimetro Demostración S = Area (A+B)+Area(BIC)+ Area(AIC) S = S = S = p.r L.q.q.d. 15. AREA DE UN TRIANGULO EN FUNCION DEL CIRCUNRADIO El área de todo triángulo es igual al producto de las longitudes de los tres lados, divido por el cuádruple del circunradio S = Area (ABC) S = R : Circunradio Demostración 3. (III) en (I) S =  S = L.q.q.q 16. AREA DE UN TRIANGULO EN FUNCION DE UN EXRADIO El área de todo triangulo es igual al producto del exradio relativo a un lado y la diferencia entre el semi perímetro y dicho lado. S = (p-a)ra ra: Exradio relativo al lado a p: semiperimetro b+c-a =b+c+a-2a = 2p-2a 17. RELACIONES FUNDAMENTALES EN EL TRIANGULO Consideremos un triangulo ABC cualquiera de área S, de inradio r, circunradio R, exradios, ra,rb,rc y altura ha,hb,hc. entonces: I. El área de un triángulo es igual a la raíz cuadrada del producto del inradio y los tres exradios. S = II. La inversa del inradio es igual a la suma de las inversas de los exradios III. La inversa del inradio es igual a la suma de las inversas de las alturas. IV. Exradios en función de las alturas V. Además recordemos el teorema de Steiner 18. TEOREMA DE BURLET El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de las longitudes de los dos segmentos determinadas por la circunferencia inscrita sobre la hipotenusa. S = Area (ABC) S = m. n Demostración 1. Del gráfico: BC = r+n y AB = r+m 2. S =  2S = (r+n)(r+m) 2S = r2 +rm + nr +mn ........ (1) 3. S = p.r  S = (m+n+r).r......(2) 4. Restando (1) y (2): S = mn Lq.q.d. 19. Sea ABC un triángulo rectángulo ABC recto en B. (ver figura). Se dibuja la circunferencia exinscrita relativa a uno de los catetos que es tangentes a la prolongación de la hipotenusa en F. Entonces cumple: S = Area(ABC) S = FC. FA Demostración 1. Capitulo de circunferencia FC = P FA = r 2. S = p.r 3. 1. en 2. S = FC. FA L.q.q.d 20. El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de las longitudes de los exradios relativos a los catetos S = ra.rc 21. El área de un triángulo rectángulo es igual al producto del inradio y el exradio relativo a la hipotenusa. S = r.rb Demostración 1. S = p.r ....(1) 2. Capitulo de circunferencia rb = p ....(2) 3. Reemplazando (2) en (1) S = rb .r S = r.rb L.q.q.d 22. El área de un triangulo rectángulo es igual al producto de las longitudes de los dos segmentos que determina en la hipotenusa, la respectiva circunferencia exinscrita. S = m.n 23. COMPARACION DE REGIONES TRIANGULARES, PROPIEDADES I. Si dos triángulos tienen igual altura, sus áreas son proporcionales a sus respectivas bases. a) b) Relación de áreas al trazar una ceviana : Ceviana S1 = Area(ABD) S2 = Area(DBC) L.q.q.d. II. Si dos triángulos tienen igual base, sus áreas son proporcionales a sus respectivas alturas. S1 = Area(ABC) ; S2 = Area(DEF) L.q.q.d. III. Si dos triángulos tienen un lado congruente y las respectivas alturas congruentes entonces son equivalentes. S1 = S2 = IV. En todo triángulo, una mediana cualquiera determina dos triángulos parciales equivalentes. = Mediana S1 = Area (ABM) S2 = Area (MBC) S1 = S2 = V. En todo triángulo, al unir los puntos medios de los tres lados, se determinan cuatro triángulos parciales equivalentes. S1 = Area (MBN); S2 = Area (AMP) S3 = Area (MNP); S4 = Area (NPC)