APLICACIONES DE LAS DERIVADAS TRIGONOMETRICAS PROBLEMAS CON RESPUESTAS







1. Dos barcos A y B se alejan en línea recta del punto O siguiendo rutas, tales que el ángulo AOB es 120°. lCon qué rapidez varía la distancia entre ellos? si, en cierto instante, OA=8 km, 08=6 km, el barco A avanza a razón de 20 km/h y el barco B a 30 km/h

2. De la figura, calcule las coordenadas de P si L1//L2• (P punto de tangencia), además L1
pasa por A y B.

3. En la figura, la recta L es tangente a la curva y=2senx; y a la circunferencia de radio r en el punto P (Q también es punto de tangencia) Determine r.

4. Halle los intervalos de decrecimiento de la función f si
f(x) = sen3
X +COS3
X
Analizando en el intervalo [O ; 3n/2]
A) (O; n/2) u (n ; 3n/2)
B) (O ; rr./4) u (n/2 ; n)u(Sn/4 ; 3n/2)
C) (n/2;n) u (Sn/4 ; 3n/2)
D) (O;n)
E) (n/4; n/2) u ( n ; 5nj4)
49. Halle la ecuación de la recta tangente a la
curva definida por
f(x) = are cos2x, en un punto P( ¡;i J
A) 2J3 +3y +J3 +n =O
B) 2J3-3y+J3n+l=O
C) 2J3 - 3y - J3n-1 =O
D) 4J3x+ 3y - n-J3 =O
E) 4J3x - 3 y + n + J3 = O
50. A partir de la función f definida por
f(x) = ixi+ senx
En el intervalo parax, ( -% ; %) el posible(s)
puntos(s) de inflexión será(n)
A) {O}
C) {-~·O·~} 3' '3
D) {o· n . n} '6'3
51. Determine el área mínima de la región
limitada por la semicircunferencia de
diámetro AB = 2R y la poligonal ABCp si
AD = BC (C y Den la semicircunferencia)
A)
R2
-¡-(F3+n)
C)
R2
2(F3 -J2)
D)
R2
8 (2$ -n)
52. Dada la función
f(x) = cos2x- 2cosx
obtenga los valores de x que hacen máxima
a la función (k E Z)
kn
A) 2
C) kn
D) (4k+3)%
1t
B) (2k + 1)-
2
1t
E) 4kn±-
4
53. A partir del gráfico mostrado, obtenga el área
del rectángulo ABCD, el cual tiene perímetro
máximo.

54. En la figura mostrada, se verifica que
- n -BC
= tan-sena+cosa, AB = BC
6
Halle la longitud del segmento AC cuando
el segmento BC sea máximo.
A) J3
2
0)2
Cuerda
Tensa
B) 2J3
3
1
C) -
2
2
E) -
3
55. Halle aproximadamente el área de la región
sombreada.
782
,
A) O, 15
O) 0,46
91n
180
y
X
B) 0,23 C) 0,31 "1
E) 0,51
56. Halle la segunda derivada de la función f, si
f(x)=xsen( Lnx-¡)
J2 sen(Lnx)
A)
X
C) .J2 sen ( Lnx)
O) J2 cos(Lnx)
57. Halle
lim ( n- 2arctanx )
X-?oo e 3fx -1

3
58. Al cortar un sector circular de radio R, este
sector debe ser tal que, al enrollarlo, se
obtenga un embudo de capacidad máxima.
Halle el ángulo central del sector.
C) 3nJI
E) 2n ~
3 ~3
59. Sea f la función real, definida por la regla de
correspondencia
f(x) = senx(2-sen3 x )+tan e :n }os4 x,
determine el mínimo valor de la función

60. Sea AD ~a tangente a la semicircunferencia
y AD = AC . La prolongación de OC corta a la
prolongación AM en B. ¿A qué límites se
acerca la longitud AB para arcos pequeños,
esto es, para a ~ O ?
B
M
A)
5 7 - r B) 3r C) - r
2 2
D) 4r
10
E) - r
3
61. Sea
f(x) = 2+cos x
(
2 )(l+sen2x)
1+X4
2 ( 2sen2x 4x3 ]
g(x) = (1 + sen x) - ---4 +
5 + cos2x 1 +x
+sen2xLn ( 4
2 +cos
2 X]
1+x
Al reducir la expresión
f'(x)
g(x) , se obtendrá:
A) f(x) B) 2f(x)
D) f(x)+2
C) f(x)-2
E) f(x) +3
62. Considere la función y=f(x), dada
implícitamente por la expresión
are tan (x+y) +y = n/4
Calcule f'(x) en el punto (1 ; O)
A) -1/3
D) -2/3
B) 1/3 C) 2/3
E) -1
63. Demuestre que existen dos valores de k tales
que y=ekx satisface la ecuación diferencial
y" +5y' +6y=O. Determine tales valores k 1 y
k2.
A) -2 y -3
D) 2 y 4
B) 2 y 3 C) 2 y-2
E) 2 y 6
64. Determine los valores de a y b tales que la
función y= axsenx + bxcosx satisfaga la
ecuación diferencial
65.
66.
y'' +y= 3senx+cosx
A) a=~ ;b =-%
C) a=~ ; b =%
1
D) a= - ; b=3
2
1
E) a= - ; b=2
2
Dada la funcióny=f(x), dada implícitamente
por la expresión .xy cos r = 1
X
Reduzca
E(x) =( xcos~ +y sen~ )y+( xcos~ -y sen~ }xy'
A) 1 B)x C)y
D) o E).xy
Para nE Z
calcule
d(n)
-(senx)

67. A partir de un tronco de radio R, se puede
hacer una viga, si la resistencia de la viga
depende directamente del ancho (b) de la
sección transversal y del cuadrado de la
longitud de la altura (h), halle el ángulo a de
modo que la resistencia de la viga sea máxima.
' l
A) are sec (-3) 8) are sen ( ~)
C) are tan ( -fi)
O) are cos ( ~) E) are cot ( -fi)
68. La sombra de un edificio de 50 metros sobre
el suelo es de 100m de longitud. Si el ángulo
que forma la luz solar con el suelo disminuye
a razón de 15° por hora, ¿a que razón
aproximadamente aumenta la longitud de la
sombra?
A) 62,5 m/min
C) 63,5 m/min
O) 64,5 m/min
8) 69,5 m/min
E) 71 ,5 m/min
69. El desplazamiento de una partícula se puede
describir mediante la gráfica x vs t
X(m)
4
- - ---r------~--- --~-
1 i{¡Senoide
1 1
-- - - -~ - ----- ----- -·------ - 1 1
: O
-2
784
Si para t=O la posición de la partícula es
x=5- m
2
Indique la gráfica que describe la velocidad
de la partícula.
A) 8)
V V
C)
V
O) E)
V V
70. Dos barcos A y 8 se alejan en línea recta
partiendo de un punto O, A en dirección N
40°E y 8 en dirección S 20°E. ¿cuál es la
rapidez con la que varía la distancia entre A y
8 si en cierto instante OA=8km1 08=6km el
barco A avanza a razón de 20 km/h y 8 a
30km/h?
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