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DERIVADAS TRIGONOMETRICAS ASPECTOS TEORICOS BASICOS Y EJEMPLOS DESARROLLADOS




























La Derivada se define como un límite, y se usa al principio para calcular las tasas ele variación y las pendientes ele las tangentes a curvas. El estudio ele las derivadas se llama cálculo diferencial y una aplicación matemática de las derivadas es obtener la gráfica de funciones, obtener los valores extremos (máximos y mínimos) de las mismas y extenderlo en el análisis ele diversos fenómenos fís icos, químicos, etc. Por ello tiene muchas aplicaciones en los diversos campos de la ciencia, por ejemplo, en Física, para hallar la velocidad, aceleración y analizar el comportamiento ele una partícula; en Economía, para estudiar el ingreso, costo y utilidad marginal, que son conceptos importantes en el análisis económico, y así podemos citar diversas aplicaciones. 
Muchos problemas ele cálculo dependen de la determinación ele la recta tangente a una curva dada en un punto específico de la misma, por ello iniciamos el estudio de la derivada analizando dicho problema. 
La Recta Tangente y la Derivada Examinemos una curva continua Y6' en el plano (figura 10.22 (a)). Supongamos que A es un punto fijo ele dicha curva y A' es otro punto también en 9F . La recta S es denominada secante ele la curva Yi . Ahora, comencemos a desplazar el punto A' por Y? aproximándolo a A, en este caso la secante S girará respecto a A (figura 1 0.22(b)). Transformándose en -41 recta T(figura 1 0.22(c)) a la cual se le denomina recta tangente a la curva 'f6 en el punto A.


DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
En los siguientes teoremas, se han considerado
que los ángulos están medidos en radianes.
La derivada de la función seno es el coseno.
Es decir (senx)'=cos.x
Demostración
Sea f(x)=senx, entonces se buscará demostrar
que f'(x)=cosx, por definición tenemos que:
f '( ) 1. f(x+h)-f(x) 1. sen(x+h)-senx
X = 1m = 1m-------
h->0 h h--+0 h
(Por transformaciones trigonométricas)
f'(x)= lim ~ lim cos(x + ~J h--+0 h h--+0 2
2
Dado que x se mantiene constante cuando h se
aproxima a cero, tenemos
f'(x) = lxcos(x +O)= cosx
:.f'(x)=cosx (esto es lo que sebuscabademostrar)
La derivada de la función coseno es el opuesto
de la función seno, es decir: (cosx)' = - senx
Demostración
Sea f(x)=cosx, entonces se buscará demostrar
que f'(x)=-senx, por definición tenemos que:
f'(x) = lim cos(x + h) -cosx
h--+0 h
f'(x) = lim -2sen( x +%)sen(%)
h--+0 h
738
=> f'(x) = -sen(x+O) x 1
:. f '(x) = -senx (Estoesloquesebuscabademostrar)
En lo que sigue de este capítulo, para un mejor
entendimiento de la regla de la cadena y derivadas
de orden superior, utilizaremos la notación
introducida por Leibniz para la derivada de f que
dy
es dx.
La derivada de la función tangente es la función
secante elevada al cuadrado, es decir:
~(tanx) = sec2 x
dx
Demostración
Sea f(x) = tanx, entonces se buscará demostrar que
f '(x)=sec2x; por definición tenemos que:

Notación de Leibniz para la Regla de la
Cadena
Cuando y=f(t), donde t =g(x), entonces
y= f(g(x))
y= (f og)(x)
cuya derivada con respecto de x es
dy =(f og)'(x)=f'(g(x))g'(x) =f'(t)g'(x)
dx
[~~1]
Se lee: "La derivada de y respecto de x es igual a
la derivada de y respecto a t multiplicado por la
derivada de t respecto a x".
La fórmula anterior puede extenderse fácilmente
a más variables. Por ejemplo, si x es también
una función que depende de s, tendremos que

Diferenciación Implícita
A continuación, desarrollaremos ejemplos
para hallar la derivada dy , a partir de una
dx
ecuación de la forma: E(x;y) =O
En esta ecuación es tá definida
implícitamente la función diferenciable y= f(x).
Usted debe notar que lo particular de estos
ejercicios es que no es fácil despejar la variable y
en función de x.

Derivadas Sucesivas o de Orden Superior
Si la función f es diferenciable, podemos
formar una nueva función f', que es la primera
derivada de f. Si f ' es a su vez difercnciable,
podemos formar su derivada, llamada derivada
segunda de fy designada por f ". En la medida en
que sigamos teni endo la diferenciabilidad,
podemos continuar de esta manera formando f '".
Es frecuente no utilizar mediante primas más
allá del orden tres. Así, para la derivada cuarta de
f escribiremos ¡{·ll y más generalmente para la
derivada n-ésima rtnl.
Por ejemplo, si f(x) = 2x5 tenemos
f '(x) = 10x4
; f "(x ) =40x3
f "'(x) = 120x2
fC4 l(x) = 240x ; f C!il(x) = 240
En la notación de Leibniz tenemos
2
dy = 10x 4 d Y = 40x:l
dx ' dx2
2
dy = !Ox'i , -d -y :J
2 = 40x
dx dx
d3 d'l ~ = 120x2 _r=240x
dx3
' dx 1
Nótese que todas las derivadas de orden
superior a cinco para el ejemplo anterior, son
idénticamente nulas. Entonces podemos indicar
que sólo en el caso de un polinomio de grado n,
las derivadas de orden mayor que n son
idénticamente nulas.


La Diferencial
y
o X
f
(x+h;f(x+h)) Q
1
x+h
Figura 10.27
f(x+h)-f(x)
X
En la figura 10.27 está representada la gráfica de una función f y, debajo de ella, la gráfica de la recta
tangente en el punto (x; f(x)). Como se observa en la figura, para h pequeño, se puede aproximar
f(x+h)- f(x) ::::: htan a , pero tan a = f'(x) , entonces f(x+h)-f(x)::::: hf'(x)


Regla de L'Hospital
Se aplica para calcular los límites de la forma
o 00
0 ; oo; estas se llaman indeterminadas.
lim f(x) = lim f'(x) = lim f"(x) = ...
x->a g(x) x--->a g'(x) x--->ag"(x)
Derivando separadamente las funciones f(x)
y g(x) hasta que el límite de la fracción sea
determinada.
Ejemplo 1
Calcule el siguiente límite
l
. X Im-x--->
0 tanx

Aplicaciones de la Primera y Segunda
Derivada
Pendiente de la recta tangente a la gráfica de
una función. Con la derivada de una función,
podemos calcular la pendiente de la recta
tangente a la gráfica de una función en un
determinado punto.
La pendiente m de una recta ~ tangente a la
gráfica de la función f en el punto ( x0 ; f ( x0 ) ) es
m=f'(x0)
En consecuencia, la ecuación de la recta ~será
y-f(x0)= f'(x0)(x-x0)
y la ecuación de la recta normal a ~ en el punto
(x0;f(x0 )) será y-f(x0 )=- f'(~o)(x-x0 )
Ejemplo
Halle la ecuación de la recta tangente y normal a
la gráfica de la función f cuya regla de
correspondencia es f(x) =senx en el puntp


Funciones Crecientes y Decrecientes
En la figura 10.31 (a) tenemos la gráfica de una función creciente y en la figura 10.31 (b) tenemos la
gráfica de una función decreciente.
Pendiente (-)
X o X
Función Creciente Función Decreciente
(a) (b)
Figura 10.31
En la figura 10.31 (a) las pendientes de las rectas ~ 1 ; ~ 2 y ~3 son positivas, mientras que en la
figura 10.31 (b) las pendientes de las rectas ~ 4 ; ~ 5 y ~6 son negativas.
Como las pendientes de la recta tangente en cada punto de una gráfica se mide por la derivada f',
es razonable suponer que f sea creciente en el intervalo en que f'>O. De manera análoga, es razonable
suponer que f sea decreciente en el intervalo donde f'<O.

Concavidad y Puntos de Inflexión de una Función
El saber que una curva es creciente y decreciente, brinda sólo una visión parcial de ella. Por ejemplo,
si la función es creciente en un intervalo (a; b) , su gráfica podría ser:

Criterio de la Segunda derivada para Máximos y Mínimos
A veces se puede utilizar la segunda de rivada para lograr un criterio muy simple acerca de los
máximos y mínimos relativos. El criterio se basa en que si una función fes tal que f'(c) = O y existe un
intervalo abierto que contiene a e, en el que la gráfica de fes cóncava hacia arriba ( f "(e)> O) , e ntonces
f(c) es un mínimo relativo de f (ver figura 1 0.40(a). Análogamente, si fes una función tal que f'(c)=O y
existe un intervalo que contiene a e, donde la gráfica de fes cóncava hacia abajo (f"(c) >O), entonces
f(c) es un máximo rela tivo de f véase figura 1 0.40(b)


Método de Newton Rapshon
Cuando se qui ere resolver la ecuac10n
x 3
- x 2 + 3 =O lo primero que se intenta es la
factorización del primer miembro, pero
comprobamos que dicho primer miembro no se
puede factorizar fácilmente.
También la siguiente ecuación cosx-x =0 no
puede resolverse por métodos de ecuaciones
trigonométricas, ya que dicha ecuación no es
considerada ecuación trigonométrica.
El método de Newton - Rapshon nos ayuda
a resolver estos tipos de ecuaciones.
En la figura 1 0.42(a) se tiene la gráfica de una
función f, cuya regla de correspondencia es y=f(x),
se desea hallar la raíz r de la ecuación f(r) =O
y L
y=fcxl
f (xo) ------ --- -- --- - - - - -
o X
(a)
Además, en la figura de arriba se ha trazado
una recta tangente L a la curva que pasa por el
punto P(x0 ; f(x0)), nótese que x 1, se aproxima a r.
Entonces, la ecuación de la.!ecta tangente L
será y-f(x0 ) = f'(x0 )(x - x0
)
Como x se aproxima a la raíz r, entonces en
la ecuación de la rectaL para hallar x 1, hacemos
y=O O-f(x0)=f'(x0 )(x1-x0), despejando x 1
_ f(x0
)
tendremos x1 - x0 - f, (X o)
Si trazamos una nueva recta tangente L' a la
curva de tal manera que pase por el punto
Q(x1;f(x1)), entonces tendremos el siguient-e
gráfico, (observe la figura 10.42(b)).
(b)
Figura 10.42
L'
X
Debe usted notar en la figura 1 0.42(b) que x2
está más cerca de r que x1; entonces, si hacemos
el mismo procedimiento anterior para hallar x2,
f(x1)
obtendremos que x2 = x1 - f , ( x,)
Este proceso lo podemos continuar para
acercarnos más al r buscado.
Método de Newton-Raphson para
aproximar los Ceros de una Función
Sea fcrl=O, donde f es derivable en un
intervalo abierto que contenga a r. Entonces al
aproximar r, seguiremos los siguientes pasos:
• Hacer una estimación X11 próxima al r
• Determinar una nueva estimación con la
fórmula
f(
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