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DERIVADAS TRIGONOMETRICAS FÓRMULAS Y EJEMPLOS DESARROLLADOS PDF



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  • La Derivada se define como un límite, y se usa al principio para calcular las tasas ele variación y las pendientes ele las tangentes a curvas. El estudio ele las derivadas se llama cálculo diferencial y una aplicación matemática de las derivadas es obtener la gráfica de funciones, obtener los valores extremos (máximos y mínimos) de las mismas y extenderlo en el análisis ele diversos fenómenos fís icos, químicos, etc. Por ello tiene muchas aplicaciones en los diversos campos de la ciencia, por ejemplo, en Física, para hallar la velocidad, aceleración y analizar el comportamiento ele una partícula; en Economía, para estudiar el ingreso, costo y utilidad marginal, que son conceptos importantes en el análisis económico, y así podemos citar diversas aplicaciones. Muchos problemas ele cálculo dependen de la determinación ele la recta tangente a una curva dada en un punto específico de la misma, por ello iniciamos el estudio de la derivada analizando dicho problema. La Recta Tangente y la Derivada Examinemos una curva continua Y6' en el plano (figura 10.22 (a)). Supongamos que A es un punto fijo ele dicha curva y A' es otro punto también en 9F . La recta S es denominada secante ele la curva Yi . Ahora, comencemos a desplazar el punto A' por Y? aproximándolo a A, en este caso la secante S girará respecto a A (figura 1 0.22(b)). Transformándose en -41 recta T(figura 1 0.22(c)) a la cual se le denomina recta tangente a la curva 'f6 en el punto A. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS En los siguientes teoremas, se han considerado que los ángulos están medidos en radianes. La derivada de la función seno es el coseno. Es decir (senx)'=cos.x Demostración Sea f(x)=senx, entonces se buscará demostrar que f'(x)=cosx, por definición tenemos que: f '( ) 1. f(x+h)-f(x) 1. sen(x+h)-senx X = 1m = 1m------- h->0 h h--+0 h (Por transformaciones trigonométricas) f'(x)= lim ~ lim cos(x + ~J h--+0 h h--+0 2 2 Dado que x se mantiene constante cuando h se aproxima a cero, tenemos f'(x) = lxcos(x +O)= cosx :.f'(x)=cosx (esto es lo que sebuscabademostrar) La derivada de la función coseno es el opuesto de la función seno, es decir: (cosx)' = - senx Demostración Sea f(x)=cosx, entonces se buscará demostrar que f'(x)=-senx, por definición tenemos que: f'(x) = lim cos(x + h) -cosx h--+0 h f'(x) = lim -2sen( x +%)sen(%) h--+0 h 738 => f'(x) = -sen(x+O) x 1 :. f '(x) = -senx (Estoesloquesebuscabademostrar) En lo que sigue de este capítulo, para un mejor entendimiento de la regla de la cadena y derivadas de orden superior, utilizaremos la notación introducida por Leibniz para la derivada de f que dy es dx. La derivada de la función tangente es la función secante elevada al cuadrado, es decir: ~(tanx) = sec2 x dx Demostración Sea f(x) = tanx, entonces se buscará demostrar que f '(x)=sec2x; por definición tenemos que: Notación de Leibniz para la Regla de la Cadena Cuando y=f(t), donde t =g(x), entonces y= f(g(x)) y= (f og)(x) cuya derivada con respecto de x es dy =(f og)'(x)=f'(g(x))g'(x) =f'(t)g'(x) dx [~~1] Se lee: "La derivada de y respecto de x es igual a la derivada de y respecto a t multiplicado por la derivada de t respecto a x". La fórmula anterior puede extenderse fácilmente a más variables. Por ejemplo, si x es también una función que depende de s, tendremos que Diferenciación Implícita A continuación, desarrollaremos ejemplos para hallar la derivada dy , a partir de una dx ecuación de la forma: E(x;y) =O En esta ecuación es tá definida implícitamente la función diferenciable y= f(x). Usted debe notar que lo particular de estos ejercicios es que no es fácil despejar la variable y en función de x. Derivadas Sucesivas o de Orden Superior Si la función f es diferenciable, podemos formar una nueva función f', que es la primera derivada de f. Si f ' es a su vez difercnciable, podemos formar su derivada, llamada derivada segunda de fy designada por f ". En la medida en que sigamos teni endo la diferenciabilidad, podemos continuar de esta manera formando f '". Es frecuente no utilizar mediante primas más allá del orden tres. Así, para la derivada cuarta de f escribiremos ¡{·ll y más generalmente para la derivada n-ésima rtnl. Por ejemplo, si f(x) = 2x5 tenemos f '(x) = 10x4 ; f "(x ) =40x3 f "'(x) = 120x2 fC4 l(x) = 240x ; f C!il(x) = 240 En la notación de Leibniz tenemos 2 dy = 10x 4 d Y = 40x:l dx ' dx2 2 dy = !Ox'i , -d -y :J 2 = 40x dx dx d3 d'l ~ = 120x2 _r=240x dx3 ' dx 1 Nótese que todas las derivadas de orden superior a cinco para el ejemplo anterior, son idénticamente nulas. Entonces podemos indicar que sólo en el caso de un polinomio de grado n, las derivadas de orden mayor que n son idénticamente nulas. La Diferencial y o X f (x+h;f(x+h)) Q 1 x+h Figura 10.27 f(x+h)-f(x) X En la figura 10.27 está representada la gráfica de una función f y, debajo de ella, la gráfica de la recta tangente en el punto (x; f(x)). Como se observa en la figura, para h pequeño, se puede aproximar f(x+h)- f(x) ::::: htan a , pero tan a = f'(x) , entonces f(x+h)-f(x)::::: hf'(x) Regla de L'Hospital Se aplica para calcular los límites de la forma o 00 0 ; oo; estas se llaman indeterminadas. lim f(x) = lim f'(x) = lim f"(x) = ... x->a g(x) x--->a g'(x) x--->ag"(x) Derivando separadamente las funciones f(x) y g(x) hasta que el límite de la fracción sea determinada. Ejemplo 1 Calcule el siguiente límite l . X Im-x---> 0 tanx Aplicaciones de la Primera y Segunda Derivada Pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función. Con la derivada de una función, podemos calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un determinado punto. La pendiente m de una recta ~ tangente a la gráfica de la función f en el punto ( x0 ; f ( x0 ) ) es m=f'(x0) En consecuencia, la ecuación de la recta ~será y-f(x0)= f'(x0)(x-x0) y la ecuación de la recta normal a ~ en el punto (x0;f(x0 )) será y-f(x0 )=- f'(~o)(x-x0 ) Ejemplo Halle la ecuación de la recta tangente y normal a la gráfica de la función f cuya regla de correspondencia es f(x) =senx en el puntp Funciones Crecientes y Decrecientes En la figura 10.31 (a) tenemos la gráfica de una función creciente y en la figura 10.31 (b) tenemos la gráfica de una función decreciente. Pendiente (-) X o X Función Creciente Función Decreciente (a) (b) Figura 10.31 En la figura 10.31 (a) las pendientes de las rectas ~ 1 ; ~ 2 y ~3 son positivas, mientras que en la figura 10.31 (b) las pendientes de las rectas ~ 4 ; ~ 5 y ~6 son negativas. Como las pendientes de la recta tangente en cada punto de una gráfica se mide por la derivada f', es razonable suponer que f sea creciente en el intervalo en que f'>O. De manera análoga, es razonable suponer que f sea decreciente en el intervalo donde f' O) , e ntonces f(c) es un mínimo relativo de f (ver figura 1 0.40(a). Análogamente, si fes una función tal que f'(c)=O y existe un intervalo que contiene a e, donde la gráfica de fes cóncava hacia abajo (f"(c) >O), entonces f(c) es un máximo rela tivo de f véase figura 1 0.40(b) Método de Newton Rapshon Cuando se qui ere resolver la ecuac10n x 3 - x 2 + 3 =O lo primero que se intenta es la factorización del primer miembro, pero comprobamos que dicho primer miembro no se puede factorizar fácilmente. También la siguiente ecuación cosx-x =0 no puede resolverse por métodos de ecuaciones trigonométricas, ya que dicha ecuación no es considerada ecuación trigonométrica. El método de Newton - Rapshon nos ayuda a resolver estos tipos de ecuaciones. En la figura 1 0.42(a) se tiene la gráfica de una función f, cuya regla de correspondencia es y=f(x), se desea hallar la raíz r de la ecuación f(r) =O y L y=fcxl f (xo) ------ --- -- --- - - - - - o X (a) Además, en la figura de arriba se ha trazado una recta tangente L a la curva que pasa por el punto P(x0 ; f(x0)), nótese que x 1, se aproxima a r. Entonces, la ecuación de la.!ecta tangente L será y-f(x0 ) = f'(x0 )(x - x0 ) Como x se aproxima a la raíz r, entonces en la ecuación de la rectaL para hallar x 1, hacemos y=O O-f(x0)=f'(x0 )(x1-x0), despejando x 1 _ f(x0 ) tendremos x1 - x0 - f, (X o) Si trazamos una nueva recta tangente L' a la curva de tal manera que pase por el punto Q(x1;f(x1)), entonces tendremos el siguient-e gráfico, (observe la figura 10.42(b)). (b) Figura 10.42 L' X Debe usted notar en la figura 1 0.42(b) que x2 está más cerca de r que x1; entonces, si hacemos el mismo procedimiento anterior para hallar x2, f(x1) obtendremos que x2 = x1 - f , ( x,) Este proceso lo podemos continuar para acercarnos más al r buscado. Método de Newton-Raphson para aproximar los Ceros de una Función Sea fcrl=O, donde f es derivable en un intervalo abierto que contenga a r. Entonces al aproximar r, seguiremos los siguientes pasos: • Hacer una estimación X11 próxima al r • Determinar una nueva estimación con la fórmula f(
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