ÁNGULOS DIEDRO TRIEDRO POLIEDRO PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRÍA DEL ESPACIO

ÁNGULO POLIEDRO 
Es aquella figura geométrica determinada por tres o más regiones angulares que tienen el mismo vértice , además dos regiones consecutivas deben estar en planos diferentes 
El punto común a todos los planos que limitan al ángulo poliedro recibe el nombre de vértice. Las intersecciones de cada dos planos concurrentes consecutivos se denomina aristas. 

Los ángulos formados por cada dos aristas consecutivas se denomina caras y los diedros formadas por cada dos caras consecutivas se llaman diedros del ángulo poliedro . 
Se designa un ángulo poliedro por la letra del vértice seguida de las letras relativas a las diferentes aristas o simplemente por la letra del vértice cuando no puede haber ambigüedad alguna 

CLASIFICACIÓN: 
Según sea el número de caras si tiene 3 caras , el ángulo poliedro se llama ángulo triedro , si tiene 4 caras se llama ángulo tetraedro , si tiene 5 caras se llama ángulo pentaedro , si tiene 6 caras se llama ángulo hexaedro. etc . 
ÁNGULO TRIEDRO : Si tiene 3 caras 
ÁNGULO TETAEDRO : Si tiene 4 caras 
ÁNGULO PENTAEDRO: Si tiene 5 caras 

Cuando el número de caras es tres se puede suprimir la palabra ángulo y llamar simplemente triedro pero si es mas de tres no se puede suprimir la palabra ángulo porque existen cuerpos geométricos llamados tetraedros , pentaedros , hexaedros , las cuales podrían confundirse 
De todos los ángulos poliedros el más importante es el Triedro . 

PROPIEDAD : 
En todo ángulo poliedro convexo la suma de las medidas de sus caras es mayor de 0° y menor de 360° 

TEOREMA : 
En todo ángulo poliedro la suma de las medidas de todas las caras es mayor que 0° y menor que 360° .
ÁNGULO DIEDRO Arista Caras 𝑇 TEOREMA 𝐿 𝑀 𝑂 𝑁 Punto cualquiera en la región interior del diedro 𝑃 𝑃𝐿 ⊥ 𝔸 𝑃𝑆 ⊥ 𝔹 Se cumple: 𝛼 + 𝜃 =180° 𝑆 • Diedro A − 𝑃𝑄 − 𝐵 • Diedro 𝑃𝑄 𝑀 𝛽 𝑂 𝑃 𝑄 𝑅 𝐿 𝑁 Es la medida de su ángulo plano o rectilíneo. NOTA Usualmente para ubicar la medida de un diedro, recurrimos al teorema de las tres perpendiculares. 𝟐ª ⊥ 𝟏ª ⊥ 𝟑ª ⊥ Ten en cuenta que: La medida de un diedro es constante sobre toda su arista. → 𝛼 = 𝜃 Resolución: Piden medida del diedro 𝐴 − 𝐸𝐶 − 𝐷 Según el gráfico, Calcule 𝐴 𝟑ª ⊥ la medida del ángulo diedro entre las regiones 𝐸𝐷𝐶 y 𝐸𝐴𝐶. 𝟏ª ⊥ 2𝑎 • Por teorema de las tres perpendiculares: • 𝛼 es la medida del diedro 𝐴 − 𝐸𝐶 − 𝐷 • En ⊿𝐷𝐵𝐶: 𝐷𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝑎 𝛼: Medida del diedro 𝐴 − 𝑃𝑄 − 𝐵 𝐸 𝐵 𝑎 𝒂 𝐶 𝐷 𝟐ª ⊥ • Finalmente en ⊿𝐴𝐷𝐵 notable de 30° y 60° En el gráfico: Si 𝜃 = 90° TEOREMAS Los planos mostrados son perpendiculares. 𝐴 Si 𝐴𝐵 ⊥ 𝑀𝑁, donde 𝑀𝑁: Arista Se cumple: Entonces: 𝑀 𝐴𝐵 ⊥ 𝑃 𝐵 𝑁 Resolución: Del dato: Nos piden 𝛼 𝐵 • Luego trazamos 𝐿𝐵 • Finalmente en ⊿𝐵𝐿𝐷: 𝜶 = 𝟒𝟓° 𝑁 EXAMEN UNI  Piden 𝕊▲𝐴𝐷𝐶 𝕊▲𝐴𝐵𝐶 𝟑ª ⊥ 36 5 3 𝟏ª ⊥ Resolución: 𝐶 • Notamos que: 𝐵 60° 36 ▲𝐴𝐵𝐶 es la proyección ortogonal de ▲𝐴𝐷𝐶 sobre el plano de 𝐴𝐵𝐶. • Por teorema de las 3 ⊥𝑠 Medida de 𝐷 − 𝐴𝐶 − 𝐵 es 60° • Por teorema: 𝕊▲𝐴𝐵𝐶 = 𝕊▲𝐴𝐷𝐶 (𝑐𝑜𝑠60°) ൗ5 𝐻 𝐴 ∴ 𝕊▲𝐴𝐷𝐶 = 2 𝕊▲𝐴𝐵𝐶 𝟐ª ⊥ DISTANCIA ENTRE RECTAS ALABEADAS 𝑑 Sean ℒ1 y ℒ2 dos rectas alabeadas, además Se define: 𝒅: Es la distancia entre las rectas alabeadas. 𝑑 ℒ1 𝑁 𝑀𝑁 ⊥ ℒ1 y 𝑀𝑁 ⊥ ℒ2. ℒ2 𝑀 Tener en cuenta: Si ▰ℙ ∥ ▰ℍ La distancia entre los planos, es igual a la longitud del segmento perpendicular a ambos, con sus extremos en dichos planos. Método 1 Buscando proyecciones ortogonales  Sean ℒ1 y ℒ2 alabeadas Sean ℒ1 y ℒ2 alabeadas ℒ1 Plano de proyección Proyección como punto de ℒ1 𝑑 ℒ2 ℒ′2 Proyección de ℒ2 sobre el plano ℍ ℒ1 ⊂ ▰ℙ, ℒ2 ⊂ ▰ℍ 𝑃 𝒅: Es la distancia entre 𝓛𝟏 y 𝓛𝟐 En el gráfico mostrado 𝑂𝐴 ⊥ ▰ℍ, la Resolución: Datos:  𝑂𝐴 ⊥ ▰ℍ Piden 𝑑 = 𝒙 • En el problema notamos que:  𝑂 es la proyección como punto de 𝑂𝐴 medida del arco 𝐵𝐶 es 60° y además 𝐵𝐶 = 6, calcule la distancia entre 𝑂𝐴 y  𝑚𝐵𝐶 = 60° 𝐴 sobre ▰ℍ  𝐵𝐶 está contenido en ▰ℍ 𝐵𝐶. 𝐴  𝐵𝐶 = 6 • Entonces ▰ℍ es el plano de proyección • Trazamos 𝑂𝐿 ⊥ 𝐵𝐶 → Con ello 𝑥 es la distancia pedida 𝐵 𝑂 𝒙 𝐿 𝐶 • Además 𝐵𝐿 = 𝐿𝐶 = 3 • ∆𝐵𝑂𝐶 es equilátero
7. Se tiene un triángulo equilátero ABC y por el vértice A se traza AD perpendicular al plano del triángulo. Si el área de la región equilátera es 4 3, calcule la distancia entre AD  y BC   . A) 3 B) 2 C) 2 3 D) 6 E) 3 8. Por el incentro I de un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza IP perpendicular al plano del triángulo, IP = 1. Si AB= 3 y BC= 4, halle la suma de áreas de las regiones PAC, PAB y PBC. A) 3 B) 3 2 C) 6 D) 6 2 E) 12 9. Un cuadrado ABCD y un semicírculo cuyo diámetro es AD están ubicados en planos perpendiculares, además, en AD se ubica en P, tal que, AP = 2. Si AB = 3, halle la medida del ángulo entre CP y el plano del semicírculo. A) 45° B) 30° C) 37° D) 60° E) 53 2 ° 10. Los cuadrados ABCD y ABEF están contenidos en planos perpendiculares, tal que AB=2 cm. Calcule la distancia entre AC y EF. A) 2 B) 3 2 C) 2 3 3 D) 5 E) 1 11. Se traza AP perpendicular al plano que contiene al cuadrado ABCD, tal que AP=CD=6. Calcule la distancia entre AC  y DP   . A) 3 B) 2 C) 3 2 D) 2 3 E) 3 3 12. Sean L 1 y L 2 alabeadas y la medida del ángulo determinado por ellas es igual a 60°, además, en L 1 se ubican A y B, y en L 2 se ubican C y D, tal que, AC es la distancia entre L 1 y L 2 . Si AB=AC=CD, halle la medida del ángulo entre AC y BD. A) 90° B) 45° C) 60° D) 53° E) 30° 13. Si AB y CD son alabeados, AB=AC= 1, CD = 2 y BD= 2, halle la medida del ángulo entre AB y CD. A B D C A) 60° B) 53° C) 40° D) 45° E) 90° 14. Se tiene un cuadrado ABCD por el vértice C se traza la perpendicular CP al plano de dicho cuadrado. Calcule la medida del ángulo diedro determinado por las regiones triangulares APB y APD. Si AD=PC. A) 60° B) 120° C) 40° D) 80° E) 140°

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