ESFERA EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA DEL ESPACIO
OBJETIVOS DEL APRENDIZAJE :
☞ Reconocer una superficie esférica de una esfera.
☞ Aplicar correctamente los teoremas en la resolución de problemas.
Una esfera (del griego «sfaira») es la superficie formada por todos los puntos del espacio tales que la distancia (llamada radio) a un punto determinado, denominado centro , es siempre la misma.
También se refiere al sólido cuyo volumen se halla contenido en la superficie anterior ; con este significado se emplea específicamente la palabra bola.
La esfera es la figura geométrica que para igual volumen presenta la superficie externa menor.
Esta propiedad es la causa de su omnipresencia en el mundo físico: en la superficie de una gota de un líquido inmerso en un ambiente gaseoso o también líquido (pero con líquidos que no se pueden mezclar), existen fuerzas superficiales que deformarán la gota hasta encontrar el valor mínimo de tensión en todos los puntos de la misma , y este mínimo corresponde a una esfera , en ausencia de toda perturbación exterior. Se genera haciendo girar un semicírculo alrededor de un diámetro.
Es a Arquímedes (287 - 212 a.c.) celebre matemático de Siracusa, en Sicilla, a quien se deben algunos teoremas más importantes de la geometría del espacio, sobre todo referente a la esfera y el cilindro.
La tradición dice que sobre su tumba esculpieron una esfera y un cilindro circunscrito en conmemoración de sus descubrimientos relativos a estos dos sólidos.
ESFERA
Es aquel sólido geométrico limitado por una superficie esférica
SEMIESFERA
Todo plano secante que determina un círculo máximo en la esfera, la divide en dos semi esferas.
SECTOR ESFÉRICO
Es el sólido generado por la rotación de 360° de un sector circular en torno a una recta que contiene al diámetro de la semicircunferencia que contiene al centro del sector.
SEGMENTO ESFÉRICO
Es la porción de esfera comprendida entre dos planos paralelos y secantes a la esfera.
SEGMENTO ESFÉRICO DE UNA BASE
Es la porción de esfera determinada por un plano secante a la esfera.
ANILLO ESFÉRICO
Es el sólido generado por un segmento circular al girar 360° en torno a una recta coplanar que contiene al diámetro
CUÑA ESFÉRICA
Es la porción esfera comprendida entre dos semicírculos máximos que tengan el mismo diámetro.
También puede considerarse como el sólido generado por un semicírculo cuando gira respecto a uno de sus diámetros de tal manera que la medida del ángulo de giro sea menor a 360°.
EJERCICIO 1 :
Dada una esfera de radio R y desde un punto exterior, se trazan tres rectas tangentes formándose un triedro trirrectángulo. Hallar el segmento de tangente determinado en cada recta.
EJERCICIO 2 :
Calcular el volumen de la esfera inscrita en un cilindro equilátero de 54𝜋 u³ de volumen.
EJERCICIO 3 :
En una esfera de 4√3𝜋 u³ de volumen, se traza un plano secante a una distancia del centro igual a la mitad del radio. Calcular el área del mayor casquete esférico determinado.
EJERCICIO 4 :
Calcular el área total del sólido generado al girar la región de un cuadrante alrededor de uno de sus radios en un ángulo de 18º; si el radio de dicho cuadrante mide 3 unidades.
EJERCICIO 5 :
Calcular el volumen de un cono equilátero inscrito en una esfera de radio R=2m.
EJERCICIO 6 :
El desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución es un semicírculo de radio R=2m. Calcular el volumen del sólido.
EJERCICIO 7 :
En un cono se encuentran inscritas dos esferas de 1m y 3m de radio, además ellas son entre sí tangentes exteriormente. Calcular el volumen del cono.
EJERCICIO 8 :
Cuatro esferas del mismo radio de longitud r están en un plano, de manera que están en contacto una con otra. Una quinta esfera del mismo radio se coloca sobre ellas en el centro. Hallar la distancia entre el punto superior de la quinta esfera y el plano
EJERCICIO 9 :
Calcular el volumen de un cono equilátero en función del radio “r” de la esfera inscrita.
EJERCICIO 10 :
Calcular el área lateral de un cono de revolución de altura “h”, si la porción de perpendicular trazada a una generatriz por un punto de la circunferencia base e interceptada por la prolongación de la altura mide “a”.
EJERCICIO 11 :
En un cono de revolución donde el ángulo de su vértice mide 74º, ángulo entre dos generatrices opuestas la suma de las distancias trazadas a dos generatrices opuestas desde un punto cualquiera de su base mide 4m. Hallar el volumen del cono si el punto es coplanar con las generatrices opuestas.
EJERCICIO 12 :
El lado de un rombo mide “a”; una esfera de radio “R” es tangente a todos los lados del rombo; la longitud de la distancia del centro de la esfera al plano que contiene al rombo es “b”. Hallar el área del rombo.
EJERCICIO 13 :
Se tienen dos esferas tangentes exteriores inscritas en un cono recto, ubicadas una sobre otra; de tal manera que sus volúmenes se encuentran en la relación de 1 a 64. Calcular el área del casquete esférico determinado por el plano que contiene los puntos de tangencia de la esfera mayor con la superficie lateral del cono; si el radio de la base de dicho cono mide 24 unidades.
EJERCICIO 14 :
Un cono circular recto y un cilindro tienen los diámetros de sus bases y sus alturas iguales al diámetro de una esfera. Si la suma de sus tres volúmenes es 314,16m³ . Cuál es el volumen del cilindro.
EJERCICIO 15 :
Una alumna de 6m de altura está formada de un cilindro que remata en cono truncado, cuya altura es el duplo de la del cilindro. El radio de la base superior del tronco de cono es de 5/6 del de la base inferior que es el del cilindro. Calcular la longitud del radio de la base del cilindro siendo el volumen de la columna 580m³.
EJERCICIO 16 :
¿A qué distancia del centro debemos intersectar a una esfera con un plano secante de radio R para que el volumen del segmento menor esté, respecto al volumen del sector correspondiente, en la relación de 5 a 8?
EJERCICIO 17 :
Las aristas de un tetraedro regular de “a” metros son tangentes a una misma esfera. Hallar el volumen de los segmentos esféricos de una base que se determinan (son exteriores al tetraedro en cada cara)
EJERCICIO 18 :
Hallar el volumen del “toro” que se genera al girar un circulo de radio R=2m alrededor de un eje coplanar, distante a una longitud igual al diámetro del centro.
EJERCICIO 19 :
El radio de la base de un cono circular recto es igual a R y su altura mide H. Cuál de los cilindros inscritos en este cono tiene la mayor superficie lateral. Hallar dicha superficie lateral.
EJERCICIO 20 :
Un sector esférico y una uña cilíndrica tienen los mismos radios y las mismas alturas. Cuántas veces el volumen del sector esférico es el volumen de la uña cilíndrica.
EJERCICIO 21 :
Hallar la relación entre las áreas laterales de un cono de revolución y un cilindro equilátero, si el cono está inscrito en el cilindro.
EJERCICIO 22 :
Hallar el volumen de un tronco de cono de revolución, sabiendo que los radios de sus bases son: a y 3a y el área de su superficie lateral es igual a la suma de las áreas de sus bases.
EJERCICIO 23 :
Hallar el volumen del cono de revolución sabiendo que el desarrollo de área lateral es un semicírculo de área 18𝜋m²
EJERCICIO 24 :
En un cono de revolución de radio 1, se traza en el punto medio M de una generatriz su mediatriz, que intersecta a la prolongación del diámetro de la base que pasa por el extremo de dicha generatriz en el punto P. Hallar el producto del área lateral por el volumen. Si: MP=6.