RECTAS Y PLANOS PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRÍA DEL ESPACIO PDF
OBJETIVOS :
• Identificar los elementos geométricos que nos permiten determinar un plano.
• Diferenciar las distintas posiciones que pueden adoptar las rectas y planos en el espacio.
• Aplicar de manera adecuada el teorema de las tres perpendiculares.
• Finalmente entender que la habilidad obtenida en la geometría plana nos servirá mucho para resolver problemas de geometría del espacio.
Es la parte de la geometría que estudia a las figuras geométricas cuyos puntos se encuentran en diferentes planos.
En el espacio las figuras fundamentales son el punto, la recta y el plano para establecer propiedades y teoremas relacionados con el plano indicamos los axiomas siguientes:
• Cualquiera que sea el plano existen puntos que pertenecen al plano puntos que no le pertenecen.
• Si dos planos diferentes tienen un punto en común, entonces se intersecan en una recta.
• Si dos rectas distintas tienen un punto en común, se pueden trazar por éstas un plano y sólo uno.
Postulado Por tres puntos no colineales se puede trazar un plano, y solo uno. Teorema Por una recta y un punto que no le pertenece se puede trazar un plano, y solo uno. M L Definición: Si dos rectas son paralelas siempre están incluidas en un plano. II. POSICIONES RELATIVAS EN EL ESPACIO A. Entre planos 1. Planos secantes Si R Q= L R y Q son secantes 2. Planos paralelos Si M N = { } M es paralelo al N II. ENTRE RECTA Y PLANO A. Recta incluida en el plano Q A B L Si A y B L A y B Q L Q B. Recta secante a un plano C. Recta paralela a un plano R L Si L R = { } L es paralela al R Observación: Toda recta exterior al plano es paralela a dicho plano III. ENTRE RECTAS A. Rectas secantes son rectas secantes B. Rectas paralelas a b V C. Rectas alabeadas a son rectas alabeadas IV. ÁNGULOS ENTRE RECTAS ALABEDAS Si: Q a . Además: . Definición: Si una recta es perpendicular a dos rectas secantes es perpendicular al plano determinado por las secantes. es perpendicular al Q Teorema 1 Toda recta perpendicular a un plano es perpendicular a todas las rectas incluidas en el plano. V a b c d e L Si: L es perpendicular al V y ( a Teorema 2 Teorema de las tres rectas perpendiculares. Teoremas sobre distancia entre dos rectas alabeadas Como sabemos, la longitud del segmento prependicular a dos rectac alabeadas es igaul a la distancia entre dicgas rectas; el problema se reduce a encontrar el segmento de menor longitud que une dos puntos de las rectas dadas (segmento perpendicular). Teorema 1 Si dos rectas alabeadas 1 y 2 están contenidos en planos paralelos, la distancia entre 1 y 2 es igual a la distancia entre dichos planos paralelos. Q B m P H1 H2 A m 1 2 Demostración: Sean Observación: Si se proyectan ambos planos sobre un plano H perpendicular a ellos (ver figura), la distancia entre las proyecciones (rectas paralelas) es la diastancia entre las rectas alabeadas 1 y 2 . H Q P’ P Proy. H2 Proy. H1 Q’ 2 1 PQ = P’Q’ Teorema 2 Sean 1 y 2 , dos rectas alabeadas; si 1 es paralela a un plano H que contiene a 2 , la distancia entre 1 y ubicamos los puntos A y B, y trazamos la perpendicular AA' y BB' al plano H como AA' // BB' , se sabe que el plano que ellas determinan interseca al H, siendo la recta A'B' la intersección; ahora se tiene que A'B' // 1, entonces A'B' interseca a 2 en un punto Q; luego, en el plano del cuadrilátero ABB'A' trazamos por Q una recta paralela a AA' que interseca a 1 en P, siendo PQ perpendicular a 1 y 2 , por lo tanto d(P; H) = d( 1 ; 2 ) de lo cual PQ = AA' = BB' = m. d ( 1; H) d 1; 2 Observación: H’ H d 1 2 1 d Si trazamos un plano H que contenga a 1 y sea perpendicular al plano H, entonces la distancia entre 1 y la intersección del plano H' con el plano H es igual a la distancia entre
En una circunferencia se tienen las cuerdas paralelas ; luego se traza perpendicular al plano que contiene a dicha circunferencia, si AQ=4 y BC=6, calcule QD. Un segmento es secante a un plano P , se ubican los puntos C y D en P. Si: y la medida del segmento es l, entonces la distancia entre y es: Los cuadrados ABCD y ADEF están contenidos en dos planos perpendiculares, tal que AB = 2. Calcular la menor distancia entre Se tiene una región cuadrada ABCD y una región triangular equilátera ABE, cuyos planos que los contienen son perpendiculares. Si AB = a, entonces la distancia entre es: Se tienen los cuadrados ABCD y ABEF ubicados en planos perpendiculares y cuyos centros son los puntos P y Q respectivamente. Calcular la distancia entre si AB = 4m. Sobre las caras P y Q de un ángulo diedro recto se ubican los puntos A y B tal que AB = 10. El segmento forma con las caras P y Q ángulos que miden 37° y 30° respectivamente. Calcular la menor distancia entre la recta y la arista del ángulo diedro. Se tiene un triángulo rectángulo ABC (recto en B). Por el circuncentro O de dicho triángulo se traza perpendicular al plano del triángulo (OP = 4u). calcular la mínima distancia entre si BC = 4u. La circunferencia de centro O y el cuadrado ABCD están contenidos en planos perpendiculares, siendo una cuerda de dicha circunferencia. Se ubica el punto M en , tal que 3DM = 5MC, AB = 40 y OA = 25. Calcular la distancia de M a A)40 B)41 C)42 D)43 E)44 3. En el gráfico, ABCD es un cuadrado y AQD es un triángulo equilátero. Calcule la medida del ángulo determinado por AQ y CD (el cuadrado y el triángulo equilátero están en distintos planos). 60° D A Q B C A) 45° B) 30° C) 60° D) 37° 4. En un terreno de forma rectangular se ha construido una cancha de fulbito donde se han colocado postes con reflectores para alumbrarla. Si el poste B equidista de A y C, calcule la distancia del reflector del poste D al pie del poste B. 42 m 28 m 12 m D A B C A) 35 m B) 36 m C) 36 3 m D) 37 m 5. Pepe está controlando un dron y lo ubica a 6 m sobre el centro de un terreno triangular equilátero. Si el área del terreno es 48 3 m2, calcule la distancia del dron al punto P. P A) 10 m B) 12 m C) 7,9 m D) 8,9 m 1. En el gráfico, la proyección ortogonal de AB sobre el plano P mide 6 y BN=15. Calcule AB – AM. 37º B A M N P A) 3 B) 1 C) 4 D) 5 2. En el gráfico se muestra un piso, un muro y una viga. Si la altura del muro en 4 m y la longitud de la viga es 9 m, calcule aproximadamente la proyección ortogonal de la viga sobre el piso. 9 m 4 m S A) 8 m B) 8,5 m C) 8,8 m D) 7 m 3. Un grupo de albañiles está trasladando mezcla por una escalera para techar una casa. Si la pared donde se encuentra apoyada la escalera tiene la forma de un cuadrado, calcule el ángulo determinado por la escalera y el piso. 4 m 2,4 m A) 16° B) 30° C) 37° D) 45° 1. Del gráfico BE y DF son perpendiculares al plano del cuadrado ABCD de lado 2. Si FD= 1 y BE= 2, calcule EF. E B A C F D A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 5. Héctor es brigadier en su colegio. Por eso tiene en una de sus manos un bastón de mando, mientras que en la otra una linterna como muestra el gráfico. Si la longitud de la sombra que proyecta el bastón en el piso es de 56 cm, calcule la longitud del bastón de mando. 65 cm 98 cm A) 65 cm B) 56 cm C) 58 cm D) 60 cm 6. En el gráfico, PC es perpendicular al plano ABCD y PC= 2(AB). Calcule la medida del ángulo formado entre PA y el plano ABCD. 8. En el gráfico, ABCD es un rombo de centro O y OP es perpendicular al plano ABCD. Calcule PD si la medida del ángulo formado entre PC y el plano ABCD es 53° y PC= 10. P A B O D C 60º A) 2 15 B) 2 10 C) 3 19 D) 2 19 9. En el gráfico, el triángulo APC es equilátero cuyo lado mide 4 15 cm. Si BP =3 5 cm, halle el área de la región triangular ABC. P B A C A) 3 15 cm2 B) 24 15 cm2 C) 18 15 cm2 D) 90 cm2 10. En el gráfico, BR=RD y AM=MC. Si numéricamente AB2+CD2= 6, halle RM en metros.