GEOMETRÍA UNI EXAMEN ADMISIÓN UNIVERSIDAD DE INGENIERÍA PROBLEMAS RESUELTOS PDF
EXAMEN ADMISION UNI SOLUCIONARIO UNIVERSIDAD DE INGENIERIA GEOMETRÍA pdf Pregunta 21 En el gráfico AB = AD = DC, calcule a (en grados) A D 7a 2a C a B A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 13 Resolución 21 Triángulos Propiedades Piden: a A 2a 6a 6a 180–12a 7a 2a a a B C a D a a * mDC S A=2a. * Δ ABD: mBAD S =180–12a * En Δ Isósceles ABD: mABD % =mADB % =6a ⇒ DBC % =a Luego: BD=DC=a ∴ Δ ABD Equilátero 6a = 60 ∴ a = 10 Rpta.: 10 Pregunta 22 En la figura las circunferencias tienen radios r =3u y R =6u respectivamente, C es punto de tangencia y D es centro. Calcule producto DA.DB (en u2). A B D r R C A) 18 B) 24 C) 30 D) 36 E) 40 Resolución 22 Semejanza Semejanza de triángulos Piden: DA . DB A B r r=3 C D R=6 Por el teorema de producto de lados en el Δ ABD. (AD)(DB)=2Rr=2(6)(3) ∴ (AD)(DB)=36 Rpta.: 36 Pregunta 23 En la figura se muestra el triángulo rectángulo ABC recto en B. Si AB = 5 cm y AD=3cm, entonces la medida (en cm) del segmento EF es: B D E A F C A) 2,14 B) 2,16 C) 2,25 D) 2,56 E) 2,82 Resolución 23 Triángulos Triángulo notable 37 53 53 53 A 3 B C E D F 5 x 4 16/5 Piden: x BED (NOT 53° y 37°) DE= 5 16 DFE(NOT 53° y 37°) x= 25 64 =2,56 Rpta: 2,56 Pregunta 24 En la siguiente figura, I es el incentro del triángulo ABC, BI = 6u, DE = 1u. Calcule BE (en u). I A D C E B A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 Resolución 24 Semejanza y puntos notables Propiedades B A C θ θ α αα x-6 x-6 α+θ x I 6 1 D E Piden x I: Incentro del Δ ABC Por teorema α α A C D B (AB)2 = (AD)(AC) En el Δ ABE (x - 6)2 = x.1 ∴ x=9 Rpta.: 9 Pregunta 25 En la figura AC=CD, AD= 6u y área (ΔBCD)=r (área ΔABD). Halle r. B A 2a a 2a 3a D C A) 1+ 3 B) 2+ 3 C) 2– 3 D) 1+2 3 E) 2 3 –1 Resolución 25 Áreas Áreas de regiones triangulares Piden: r B A 2a 3a 2a 2a a a a a 3a D C 30º 120°-2a 3 6 3 S 3 3 Dato: Área(DBCD)=Área(DABC) Calculando: a sea: DCSD ≅ DCBA Por teorema mBCBD=120º-2a → a=15º; mBBDA=30 Del dato: ( ) r ( ) 2 3 3 3 2 + 2 3 3 3 3 = + ∴ r=1+ 3 Rpta: 1+ 3 Pregunta 26 ABCD es un cuadrado y desde su centro O se traza un segmento OE perpendicular al plano ABC, si OE=AB entonces la medida del diedro E–DC–B es: A) arc tan 2 ` 1 j B) arc tan (1) C) arc tan 2 ` 3 j D) arc tan (2) E) arc tan 2 ` 5 j Resolución 26 Geometría del espacio Ángulo diedro Piden: x A 2a B O 2a C x a a a D M E En el EOM: x=arc tg(2) Rpta: arc tan(2) Pregunta 27 El punto P se encuentra situado sobre la altura de un tetraedro regular de lado a. Si P equidista de cada vértice, calcule esta distancia. A) a 4 3 B) a 3 2 C) a 3 3 D) a 4 6 E) a 2 2 Resolución 27 Poliedros regulares Volumen Piden: PA B A D a r C P l=3r l l Dato: PA=PB=PD=PC Consecuencia: “P” centro de la esfera circunscrita al tetraedro regular, r: inradio. 4r 3 a r a 3 6 4 6 ( = ( = ∴ PA = a 4 6 Rpta: a 4 6 Pregunta 28 Un vaso de forma de prisma recto hexagonal, con diagonal mayor de la base que mide 6 cm, contiene agua “al tiempo”. Para enfriarla se coloca un cubo de hielo y se observa que el nivel del agua sube 2 cm. Calcule la longitud de la arista del cubo de hielo (en cm). A) 3 B) 3 6 3 C) 3 4 3 D) 3 3 3 E) 3 3 Resolución 28 Prismas Volumen Piden: l El volumen del cubo es equivalente al volumen del agua que sube 2 cm, 3 A 3 3 3cm 3cm 2cm l l VCubo=l3 VPrisma=6 . 4 3 3 2 2 c m l3=6.9 3 4 .2 ⇒ l3=27 3 l=36 3 Rpta.: 3 6 3 Pregunta 29 En un cilindro de revolución de 5 cm de altura se inscribe un paralelepípedo rectangular con superficie lateral de 250 cm2. Una de sus aristas, ubicada en la base del cilindro, mide 16 cm. Calcule la razón (en cm) entre el volumen y el área lateral del cilindro. A) 337 4 B) 2 337 C) 4 337 D) 2 337 E) 337 Resolución 29 Prisma – Cilindro Volumen – Área A C B a=9 5 5 2R 16 Piden: A V L C Dato: AL=250 2[16.5+5a]=250 a=9 • En el ABC • 2R= 337 VCilindro=πR2.5 AL=2πR.5 A V 4 337 L C = Rpta: 4 337 Pregunta 30 En la Panamericana cerca de Casma se ha formado una duna en forma de tronco de cono de revolución. Las longitudes de las circunferencias son 4 π m y 2 π m. Ver figura. Halle el volumen de la duna en metros cúbicos. 10 m A) 3 π B) 5 π C) 7 π D) 10 π E) 11 π Resolución 30 Tronco de cono Volumen Piden: Vtronco V 3 ( . ) 3 12 22 2 1 tronco = r + + ∴ Vtronco = 7p 3 3 10 m 2 1 1 1 1 Rpta: 7p Pregunta 31 En un tronco de cono de revolución, el radio de la base mayor es el doble del radio de la base menor. Si el volumen del tronco de cono es 336 p cm3 y el radio de la base menor es 6 cm, entonces el volumen de una esfera tangente a las bases del tronco de cono (en cm3) es: A) 3 30 r B) 3 31 r C) 3 32 r D) 3 33 r E) 3 34 r Resolución 31 Sólidos geométricos Tronco de cono Piden: Vesfera Dato VTC= 336p h . 336 3 r _62 + 122 + 12 6i = r h= 4 2r= 4 r= 2 V= ( ) 3 4 r 2 3 `V= 3 32 r r 6 12 r h Rpta.: 3 32 r Pregunta 32 En una pirámide cuadrangular regular, la arista básica mide 8 u y su altura mide 15 u. ¿A qué distancia (en u) de la base de la pirámide se debe trazar un plano paralelo a dicha base, para que el volumen del prisma recto, que tiene por base a dicha sección y por altura la distancia de la sección al vértice de la pirámide, sea los 8 3 del volumen de la pirámide? A) 9,5 B) 8,5 C) 7,5 D) 6,5 E) 5,5 Resolución 32 Pirámide Semejanza de pirámides 8k x 8k 8 15k 15 Piden: x Condición Vprisma= 8 V 3 pirámide 8k.8k.15k= . . . 8 3 3 ^8 8 15h k= 2 1 15k= 2 15 ∴ x= 2 15 Rpta: 7,5 Pregunta 33 Si ABCD es un cuadrado de lado 2u y T es un punto de tangencia, entonces el área sombreada (en u2) es igual a: (O centro de la circunferencia que pasa por A, T y D) D O C A B T A) 0,57 B) 0,68 C) 0,79 D) 0,81 E) 0,92 Resolución 33 Áreas Áreas circulares 53° 2 53 1 1 1 2 2 53/2 53/2 B A D C 1/2 Pide: área sombreada AREG SOMB = . 2 2 2 1 2 + Y Y ` j – (1) 2 2 r AREG SOMB = 2 5 – 2 r = 0,92 Rpta: 0,92