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FACTORIZACION DE POLINOMIOS PROBLEMAS RESUELTOS DE ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA

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  • Álgebra EJERCICIOS DE CLASE Nº10 1. Al factorizar el polinomio      2 2 2 ( ) p x 2 x 5 x 4 x 3 1        en   x se obtiene p(x)  2x  2a 1x  b  3 . Determine la edad de Alicia en años, la cual está dada por el complemento aritmético de ab . A) 53 años B) 46 años C) 24 años D) 47 años E) 54 años Solución:               2 2 2 2 p(x) 2 x 5 x 4 x 3 1 p(x) 2x 22x 56 p(x) 2 x 7 x 4 2 x 2a 1 x b 3 a 4 b 7 ab 47, Edad de Alicia 53 años                           Rpta.: A 2. Sea      3 2 4 4 4 p(x,y,z) x y    z 3 x  xz  xy  yz y  z  x yz  xy z  xyz . Si h(x, y, z) y q(x, y, z) son los factores primos de p(x, y, z) en x,y,z de menor y mayor término independiente respectivamente, halle h2,1,0  q1,0,2 . A) 7 B) 8 C) 0 D) 6 E) 8 Solución:    2 i)x  xz  xy  yz  x  y x  z ; (por aspa simple)         3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 y desde que x y z x y z 3 x y x z y z p x,y,z x y z x yz xy z xyz                                           3 4 3 4 3 4 3 3 3 3 3 3 h x,y,z q x,y,z ii) p x,y,z x x yz y xy z z xyz x 1 xyz y 1 xyz z 1 xyz x y z 1 xyz h 2,1,0 q 1,0,2 9 1 8.                      Rpta.: E 3. Al factorizar  2 p(x,y) 3 x 2y 5 2x 4y 5       en   x,y , halle el término independiente de uno de sus factores primos. A) – 7 B) – 14 C) – 1 D) – 4 E) – 9 Solución:    2 Sea : x 2y 5 a p 3a 2a 5 3a 5 a 1                   p(x,y) 3 x 2y 5 5 x 2y 5 1 3x 6y 20 x 2y 4              Luego uno de los términos independientes es – 4. Rpta.: D 4. Si 3 2 2 s(x,y) x  yx  9x  5xy  26x  6y  24 representa la cantidad en soles que tiene Carlos para comprar de forma exacta   x y m artículos al precio de   15x 19  soles cada uno, ¿cuántos artículos compró Carlos? A) 6y B) y5 C) 9y D) y7 E) y3 Solución:                    3 2 2 2 i)s(x,y) x 9x 26x 24 y x 5x 6 x 2 x 7x 12 y x 2 x 3 x 2 x 4 x 3 y x 2 x 3 x 2 x 3 x y 4                           ii)   x y 4 representa la cantidad de artículos y    x 2 x 3sería el precio de cada artículo Entonces x  2x  3 15x 19       2 x 10x 25 0 x 5 Cantidad de articulos es : x y m 5 y 4 9 y .               Rpta.: C 5. Indique el número de factores primos lineales que se obtiene al factorizar           2 p x x 3 x 3 x 2 x x 1 28           en   x . A) 4 B) 5 C) 6 D) 3 E) 2 Solución:                                                          2 2 2 2 2 2 2 2 Δ>0 Δ1 Por divisores binómicos px = x -1 x +2 x +3 Profundidad: x 1= 3 x = 4 El área a recubrir está dada por: 2(18) + 2(21) + 42 = 120 m2 Rpta. : A 6. Al factorizar 2 2 p(x,y) 8x 4xy 18x 12y 33y 18       en   x,y , determine la suma de los términos independientes de los factores primos. A) 2 B) 3 C) 0 D) 3 E) 4 Solución: 2 2 i) p(x,y)8x  4xy 12y 18x 33y 18 2x 3y 6 4x  4y  3 ii) p(x)  2x  3y  64x  4y  3 Luego la suma de términos Independientes es:   6 3 3.    Rpta.: B 7. Sea el polinomio       4 3 2 p(x)x  a 1 x  a  2 x  a 3 x a 1, donde 1 es una raíz de p(x). Halle la suma de los términos lineales de los factores primos de p(x) en   x . A) 2x B) x C) 0 D) 3x E) 4x Solución:   4 3 2 p 1 0 1 a 1 a 2 a 3 a 1 0 a 3 p(x) x 2x x 4                   Usando aspa doble especial 4 3 2 x  2x  x  0x  4 2 2 x x 2 x x  2         2 2 2 p(x) x x 2 x x 2 p(x) x x 2 x 1 x 2 términos lineales x x x 3x                  fp fp fp Rpta.: D 8. Al factorizar el polinomio 4 3 2 p(x)  x  x  7x  x  6 en  x  , ( x > 2); determine la suma de los tres factores primos de mayor termino independiente. A) 3x B) 3x+3 C) 3x+2 D) 3x+1 E) 3x -1 Solución:        4 3 2 p(x) x x 7x x 6 p x x 1 x 2 x 3 x 1 Luego Suma de los tres factores primos de mayor t..i x 3 x 1 x 1 3x 3 Álgebra SEMANA Nº 10 EJERCICIOS DE CLASE Nº10 1. Si los lados de un rectángulo, en metros, está dado por los términos independientes de los factores primos del polinomio 2 2 p(x)  x  k  2kx k  x en x ; k 0; 1    calcule el área del rectángulo. A) 2 k ( k 1)m  B) 2 k ( k 1)m  C) 2 k ( 2k 1)m  D) 2 (4k 2 )m  E) 2 k ( k 2)m  Solución: 1) 2 p(x)  x (2k 1)x k(k 1) Por aspa simple: 2 p(x)  x (2k 1)x k(k 1) x k x k 1 p(x)  ( x k )( x k 1) 2) El área del rectángulo = 2 k(k 1)m Rpta.: B 2. Al factorizar el polinomio 4 2 p(x)  ( x 1)  5( x 1)  9 en x , determine el resto de dividir la suma de los factores primos de p(x) por x2 . A) 24 B) 10 C) 0 D) 17 E)  6 Solución 1) Cambio de variable: sea a  x 1 2) 4 2 p(a)  a  5a  9 Por Adición o Sustracción ( Quita y Pon) 4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 p(a) a 5a 9 a a a 6a 9 a (a 3) a (a a 3)(a a 3)                  3) 2 2 p(x)  ((x 1)  x 1 3)((x 1) (x 1)  3) 2 2 factor primo factor primo p(x)  (x  x  3)(x  3x  5) 4) 2 2 2 suma de factores primos x x 3 x 3x 5 2x 4x 8          5) 2 2x 4x 8 x2   2 por el teorema del resto : resto 2( 2) 4( 2) 8 24       Rpta.: A 3. Sea 2 s(x) x  ax  a un factor primo de 4 2 p(x) 5x 11x 4x 1     en   x , determine un factor primo de s(x) a  en   x A) x3 B) x1 C) x3 D) x2 E) x2 Solución: 1) 4 2 p(x)  5x 11x  4x 1 Factorizando por aspa doble especial: 4 3 2 p(x)  5x  0x 11x  4x 1 2 2 5x 5x 1 x x 1     2) 2 2 p(x)  (5x  5x 1)( x  x 1) 2 s (x)  x  x 1  a 1 2 s(x) a x x 2 ( x 2)( x 1)        3) Factores primos x 2 x 1     Rpta.: E 4. Si q(x,y,z) es un factor primo que se obtiene al factorizar el polinomio 2 p(x,y,z)(6x  y 12z)( x  2y  2z)  5y en x,y,z, halle el valor de q(2,3,1) . A) 13 B) 15 C) 18 D) 10 E) 16 Solución: 1) 2 p(x,y,z)(6x  y 12z)( x  2y  2z)  5y Si w x  2y  2z 2 p(w,y)w(6w 13y)  5y 2 2 p(w,y) 6w 13wy  5y 3w 5y 2w y   2) p(w,y) (3w5y)(2w y) p(x,y,z) (3x y  6z)(2x 3y  4z) 3) Si q(x,y,z)3x y  6z q(2,3,1)3(2)3  6(1) 15 q(x,y,z)2x 3y  4z q(2,3,1)2(2)3(3)  4(1) 17 Rpta.: B 5. Tomas es un matemático brillante de la Facultad de Ciencias Matemáticas de la UNMSM y él se percata que h(x) es un factor primo de 5 4 3 2 p(x)6x  20x  63x 118x 165x  44 en x , el cual genera números primos para los primeros 11 enteros no negativos. Halle la diferencia del mayor número primo con el menor número primo generados por h(x). A) 201 B) 211 C) 197 D) 200 E) 199 Solución: 1) 5 4 3 2 p(x) 6x  20x  63x 118x 165x  44 en x Aplicando divisores binomicos: 1 3 6 -20 63 -118 165 2 -6 19 -33 - 44 44 : 3 6 -18 57 -99 132 0 2 -6 19 -33 44 2) 4 3 2 p(x) (3x 1) ( 2x  6x  19x  33x  44 ) 2 2 2x 0x 11 x  3x 4 2 2 h( x ) p(x) (3x 1)(2x 11)(x  3x  4) 3) 2 h(x) 2x 11 genera primos para 0 x 10 x 0 ; h(0) 11 primo (menor) x 1 ; h(1) 13 primo x 2 ; h(2) 19 primo       . . . x 10 ; h(10) 211 primo (mayor) h(10) h(0) 200     Rpta.: D 6. Un teatro tiene hasta el momento 143 butacas habilitadas y cada 20 de marzo de cada año , se adquiere un número de butacas igual al número de factores primos de 2 2 p(x,y) 12x  2xy  2y4  9x 3y2 ¿ Cuantas butacas en total tendrá el teatro en su aniversario que será el 19 de marzo del 2025? A) 153 B) 164 C) 155 D) 159 E) 157 Solución: 1) Por el método del aspa doble : 2 2 4 2 p(x,y) 12x  2xy  2y  9x 3y  0 2 2 4x 2y 3 3x  y 0 2 2 factor primo factor primo p(x,y)  ( 4x  2y  3 ) ( 3x  y ) 2) Número de butacas que adquiere cada año = 2 3) Número de butacas totales = 143+2(7)=157 Rpta. :E 7. Al factorizar 8 4 2 p(x) x 6x 7x 6     en   x determine la suma entre el número de factores primos cuadráticos y el número de factores primos lineales. A) 5 B) 3 C) 6 D) 7 E) 4 Solución: 1) Por el Método de aspa doble especial 8 6 4 2 p(x)  x  0x  6x  7x  6 4 2 4 2 x x 1 x  x  6 2) 4 2 4 2 p(x) ( x  x 1 ) ( x  x  6 ) 2 2 x 3 x 2   2 2 2 p(x) ( x  x 1 ) ( x  x 1 ) ( x  3 ) ( x  3 ) ( x  2 ) Rpta.: A 8. Si n n 1 q(x) ax (a 1 )x c      es un factor primo de 6 5 4 2 p(x) 10x 17x 3x 13x 10      en   x , determine el valor de a+c+n . A) 5 B) 6 C) 8 D) 9 E) 7 Solución: 1) Por el método del aspa doble: 6 5 4 3 2 p(x)10x  17x  3x  0x 13x 10 3 2 3 2 5x x 5 2x 3x 2  3 2 3 2 p(x) ( 5x  x 5 ) ( 2x  3x  2) 2) 3 2 q(x) ( 2x  3x  2) a 2 ; n  3 ; c  2 3) a+c+n = 7 Rpta.: E EVALUACIÓN DE CLASE Nº 10 1. Al factorizar 2 2 2 p(x) ( x x 1 )( x x 1 ) 2x 29        en   x , determine el número de factores. A) 3 B) 4 C) 5 D) 7 E) 6 Solución: 1) 4 2 2 p(x) x  x 1 2x  29 4 2 p(x)x  3x  28 Por aspa simple: 4 2 p( x )  x  3x  28 2 2 x 7 x 4   2 p(x)  ( x  7)( x  2)( x  2) Número de factores  ( 11) (11) (11) 1 Rpta.: D 2. Al factorizar 2 2 2 2 p( x, y )  ab( x  y )( x  y ) (b a ) x y (a b ) x ab en  x,y  , halle el producto de coeficientes de un factor primo. A) 2 ab B) 2 2 a b C) 3 3  a b D) ab E)  2 2 a b Solución: 1) Por el Método del aspa doble : 2 2 2 2 p( x, y ) ab(  x  y )( x  y ) (b a ) x y (a b ) x ab 2 2 2 2 2 2 p( x, y )  ab( x  y ) (b a ) x y (a b ) x ab 2 2 2 2 2 2 p( x, y )  abx (b a ) x y aby (a b ) x  0y  ab ax by b bx  ay a factor primo factor primo p(x,y)  ( ax  by  b ) (bx ay  a) 2) Producto de coeficientes de un factor primo: 2ab Rpta.: A 3. Si el número de factores del polinomio 2 n 2 n 1 n 3 4 n p(x) x 3x x x 2x         en , representa la edad que yo tenía hace 10 años , halle la edad que tendré dentro de 9 años. A) 11 B) 26 C) 24 D) 21 E) 30 Solución: 1) Por ser p(x) polinomio 0 n 3 0 4 n 0 4 n 3, ademas 2 n n 4            2) 4 3 2 p(x)  x  x 3x  x  2 Factorizando por aspa doble especial: 4 3 2 p(x)  x  x  3x  x  2 2 2 x 3x 2 x 2x 1   3) 2 2 p(x)  ( x 3x  2 )( x  2x 1 ) 2 p(x)  ( x 1 )( x  2)( x 1 ) Número de Factores = p(x)  ( 11)(11)(2 1)111 Hace 10 años hoy Dentro de 9 años Edad : 11años 21 años 30 años Rpta.: E 4. Andrés rinde un examen que consta de 4 preguntas , el puntaje obtenido en cada pregunta está representado por los términos independientes de los factores primos del polinomio 5 4 3 2 p( x ) ( x 4)( x 10x 38x 77x 102x 72)        en   x , determine cuál fue la calificación obtenida. A) 11 B) 16 C) 17 D) 12 E) 19 Solución: 1) 5 4 3 2 p( x )( x  4)( x 10x  38x  77x 102x  72) - 4 1 10 38 77 102 -4 -24 -56 -84 72 -72 - 3 1 6 14 21 -3 -9 -15 18 - 18 0 - 2 1 3 5 -2 -2 6 -6 0 1 1 3 0 2 2 2 p( x ) ( x 4)( x 4)( x 3)( x 2)( x x 3) p( x ) ( x 4) ( x 3)( x 2)( x x 3)              2) Factores primos 2 x 4 x 3 x 2 x x 3             Puntajes: 4 ,3,2, 3 Total = 12 Rpta.: D 5. Dado el 4 3 2 p(x) 8x 17x 12x 5x 2      en   x si el ingreso I(x) en miles de soles de una compañía está dado por 2 I(x) ax  bx , determine el máximo ingreso donde : x : Número de artículos producidos y vendidos a : Es el término independiente del factor primo de menor grado de p(x) b : Coeficiente principal del factor primo de mayor grado de p(x) A) 8 mil soles B) 16 mil soles C)15 mil soles D) 12 mil soles E) 14 mil soles Solución: 1) 4 3 2 p(x)8x 17x 12x  5x  2 Factorizando por aspa doble especial: 4 3 2 p(x)  8x  17x  12x  5x  2 2 2 8x x 2 x 2x 1   2) 2 2 p(x)  ( 8x  x  2 )( x  2x 1 ) 2 2 p(x)  ( 8x  x  2 )( x 1 ) 3) Factores primos 2 x1 8x x 2      4) 2 I(x) ax bx a 1 ; b 8    Reemplazando 2 2 I(x) 1x 8x (x 4) 16        Ingreso Máximo = 16 mil soles Rpta.: B 6. Al factorizar el polinomio:       3 2 2 5 2 2 2 p(x,y,z) x 3y z x z 3y x 9y z 6xy 4 2               en   x Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones I. Un factor primo es 2x  6y  z II. Tiene solo un factor primo lineal III. El número de factores es 3 IV. La suma de coeficientes de un factor primo es 4 A) FFVF B) VVVF C) VFFV D) VFVF E) VVFF Solución: 1)       3 2 2 5 2 2 2 p(x,y,z) x 3y z x z 3y x 9y z 6xy 4 2                           2 2 2 2 2 2 a a a 2 2 2 2 2 2 2 2 2a 2z 2 2 2 2 3 5 p(x,y,z ) x 3y z x 3y z (x 3y) z 4 2 4 p(x,y,z ) 3 a z a z 10 a z 4 p(x,y,z ) 3 a z a z 10 a z 4 p(x,y,z ) 6a 6z 10a 10z 4 p                                                                   2 2 2 2 (x,y,z ) 16a 4z p(x,y,z ) 4a z p(x,y,z ) ( 2a z )(2a z ) p(x,y,z ) ( 2 ( x 3y ) z ) (2 ( x 3y ) z ) p(x,y,z ) ( 2x 6y z ) (2x 6y z )                  Rpta. : D 7. Al factorizar 7 5 4 3 2 p(x) x 2x x 2x x x 1        en   x , determine la suma de los términos independientes de los factores primos. A) 2 B) 3 C) 0 D) 2  E) 4 Solución: 1) 7 5 5 4 3 3 2 p(x)x  x  x  x  x  x  x  x 1 2) 3 4 2 4 2 4 2 p(x) x ( x  x 1 )  x ( x  x 1 ) 1( x  x 1 ) 4 2 3 p(x)  ( x  x 1 ) ( x  x1 ) 4 3 2 p(x)  ( x  0x  x  0x 1) 3 ( x  x1 ) 2 2 x x 1 x x 1  2 2 3 p(x)  ( x  x 1 ) ( x  x1 ) ( x  x 1 ) Rpta.: B 8. Halle la suma de coeficientes de uno de los factores primos de     2 3 2 2 p(x) x 1 x x 4     en   x A) 2 B) 1 C) 0 D) 2 E) 3
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