NÚMEROS COMPLEJOS APLICADOS A LA TRIGONOMETRÍA PROBLEMAS RESUELTOS
OBJETIVOS
Al finalizar la unidad, el alumno será capaz de :
• Definir y representar un número complejo en su forma polar y exponencial, aplicando dichas formas en la resolución de problemas.
• Representar y interpretar geométricamente una región compleja .
• Resolver problemas tipo examen admisión
NÚMEROS COMPLEJOS CONJUGADOS
Dado el número complejo se define el conjugado del número complejo Z como (x – iy) y se denota tal que .
Nótese que ; es decir dos números complejos son conjugados entre sí cuando sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias solo se diferencian en el signo. Interpretando geométricamente los puntos que representa los números conjugados son simétricos con respecto al eje real.
Los módulos de los números complejos conjugados son iguales, es decir:
FORMA EXPONENCIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO Sea Z=a+bi, para Z se define: Si: Luego al número complejo: Donde q es un número real medido en radianes, se denomina exponencial compleja. e: es el número de Euler : En términos de la exponencial compleja, la forma polar de un número complejo: Se puede expresar como: A dicha expresión se conoce como forma exponencial del complejo z. Ejemplo : Expresar: Z=1+i; en la forma exponencial. RESOLUCIÓN: Calculamos el módulo de Z: Calculamos el argumento principal: OBSERVACIÓN : Se define del cálculo que para todo número real “x” se tiene la serie infinita : La igualdad anterior significa que la suma de los n primeros términos del segundo miembro es un valor aproximado para ex y que esa aproximación se puede hacer como se desee, al tomar n suficientemente grande. Desde mucho antes de EULER se conocían los desarrollos en serie de senx y cosx: