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ESTADÍSTICA PROBLEMAS RESUELTOS ARITMÉTICA ESCOLAR Y PREUNIVERSITARIA

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  • ESTADíSTICA Disciplina que proporciona métodos y procedimientos para la recolección, clasificación, simplificación e interpretación de los datos en forma adecuada, con el objetivo de tomar decisiones. La estadística estudia los fenómenos que se pueden cuantificar y generan un conjunto de datos. El especialista en esta área debe simplificar al máximo la información disponible para que pueda ser clara y útil; y cuando sea posible tratará de inferir las leyes que explique el comportamiento de este fenómeno. En el lenguaje común se habla de estadística como un conjunto de datos. Ejemplos: * Estadística de ingresantes. * Estadística de mortalidad. La estadistíca es la “Ciencia que sirve para tomar decisiones a base de observaciones”. CONCEPTOS BÁSICOS Por ejemplo: Suponga que se desea estudiar el ingreso mensual promedio de los 1 500 padres de familia de un colegio. Se seleccionará una muestra de 50 familias. UNIDAD ELEMENTAL : Persona o objeto al cual se le va a estudiar alguna característica. Resultados de observar una unidad elemental ; a la observación también se le llama dato. En el ejemplo inicial: la unidad elemental es cada padre de familia. Se conoce como observación al registro que se realiza de una unidad elemental. POBLACIÓN : Conjunto de elemento o datos que presentan una característica particular a ser analizada o estudiada en la cual se desea información. Al tamaño de la población se le denota con la letra N. En el ejemplo inicial: la población está formada por las 1 500 familias (N = 1 500). Población = {P1 ; P2 ; P3 ; ... ; P1 500} Población = {S/.180; S/.250; S/.420; ...; S/.200} otro Ejemplo: El conjuntos de las notas obtenidas en un colegio en su último examen parcial. MUESTRA : Subconjunto de elementos seleccionados convenientemente de la población de tal manera que pueda hacerse “deducciones”, de ella respecto a la población completa. • Al tamaño de la muestra se le denota con la letra n. En el ejemplo inicial: la muestra está formada por las 50 familias (n = 50 ). muestra = {F1; F2; F3; ...; F50} muestra = {S/.200; S/.250; S/.180; ...; S/.300} Otro ejemplo será el conjunto de notas obtenidas en las diversas aulas de colegio VARIABLE: Característica de estudio de la investigación, “dato” que sufre variación dentro de una escala, recorrido o intervalo. • Las variables se denotan con las letras mayúsculas X, Y, Z, W y a las observaciones con las letras minúsculas x, y, z, w. En el ejemplo inicial X = ingreso mensual de cada padre. x4 = S/.300 nos indica que el padre de familia al cual se le asignó el Nº 4 tiene un ingreso mensual de S/.300. otro Ejemplo: Para estudiantes de la UNI , la variable a ser estudiada puede ser : la nota , peso , carrera a seguir. Parámetro : Es un valor constante que se utiliza para describir una variable en la población. Para hacer el cálculo del parámetro se requiere la información de toda la población. Ejemplos : • La media . • La variancia. • La diferencia de promedios . • La desviación estándar. Valor estadístico o estadígrafo: Es una variable que cambia de valor de una muestra a otra. El valor que admite en una muestra particular sirve para estimar al parámetro. Ejemplos • La media • La variancia (s2) • Diferencia de promedios ( ) • La desviación estándar (s) En el ejemplo inicial : : ingreso mensual promedio (valor estadístico) Estimar : Consiste en considerar el valor del estadígrafo hallado en una muestra como si fuera el valor del parámetro. Clases de variables (por su naturaleza) A)VARIABLE CUANTITATIVA: Cuando las variable está asociada a una característica cuantitativa, es decir, surge cuando se puede establecer cuánto o en que cantidad se posee una determinada característica. Ejemplo: El ingreso mensual por familia, número de accidentes de tránsito, el peso de los alumnos, el tiempo que se demoran en resolver un problema, etc. I) VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA Aquella que surgen en el proceso del conteo , es decir, puede tomar solo algunos valores de intervalo considerado (generalmente entero). Ejemplo: * El números de hijos de una familia es: 0; 1;2 ; 3 ;.........; 10 hijos. * La recaudación diaria de un vendedor de pantalones donde cada uno cuesta 15 soles , es: 15 ; 30 ; 45 ; 60 ; 75 ; ....... II) VARIABLE CUANTITATIVA continua Aquella que puede tomar cualquier valor de un intervalo considerado. Ejemplo: El peso, la estatura, la superficie, etc. B) VARIABLE CUALITATIVA : Se llama, así cuando la variable está asociada a un característica cualitativa, es decir, son variables cuya característica es ser una cualidad, propiedad o atributo que presenta la población. Ejemplo: La variable “Procedencia” puede tomar las modalidades de : Lima ; Chiclayo ; Piura ; etc. Las variables cualitativas a su vez pueden ser nominales y jerarquizadas: Nominales : Cuando no se puede establecer un orden en las cualidades o atributos. Ejemplos : • Profesión (ingeniero, profesor, médico, biólogo) • Color (verde, amarillo, rojo). Ordinales o jerarquizadas : Cuando es posible establecer un orden en las alternativas. Ejemplos : • Grado de instrucción (primaria, secundaria, superior) • Categoría como docente (profesor, auxiliar, principal, asociado). PARTES DE LA ESTADÍSTICA Estadística Descriptiva: Describe la característica de la población o la muestra recorrida; clasifica, presenta, resume y analiza datos. Estadística Inferencial: En base de los datos de la muestra se encarga de “deducir” resultados o probar alguna hipótesis sobre la población entera a la que pertenecen los datos. El puente o eslabón que nos permite pasar de la Estadística Descriptiva a la Inferencial es el método de muestreo y la validez de las inferencias dependerá de la representatividad de la muestra. ETAPAS DE LA INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA La investigación estadística en una primera etapa es fundamentalmente de tipo descriptivo, se preocupa de la confiabilidad, validez y significación de los datos, de las muestras , así como de los métodos y técnicas de recolección y análisis estadístico. Las etapas son: I) Planteamiento del Problema Estadístico: De acuerdo al estudio que se realiza, se determina las características comunes de los elementos en observación y de donde se obtendrán los datos. II) Recopilación de Datos: Los métodos de recolección de datos son diversos y dependen de las posibilidades y de la oportunidad de obtener datos, entre las técnicas se tiene: A) CENSO: Es cuando se obtiene información de toda las población que posee características a ser estudiada. Ejemplo: El censo nacional de población y vivienda (año 2020). B) ENCUESTA: Destinado para analizar la muestra (parte de la población). ORGANIZACIÓN y PRESENTACIÓN DE DATOS Una vez recolectados los datos se procede a su organización, clasificación y tabulación, de modo que facilite su presencia en una tabla (tabla de frecuencias), que es la distribución de las observaciones en categorías o clases. El objetivo de la organización de datos es ordenar un conjunto de datos en forma útil para revelar sus características esenciales y simplificar ciertos análisis. Existen dos tipos generales de tablas de frecuencias para representar un conjunto de datos: * Tablas de Frecuencias para Datos No Agrupados * Tablas de frecuencias para Datos Agrupados. Ejemplo 1: A continuación se presentan pesos recopilados de 40 alumnos elegidos aleatoriamente en un colegio. Podemos observar que el mínimo valor es 40 y el máximo 80. Ejemplo 2: A continuación presentamos las notas obtenidas por un grupo de 20 estudiantes en un aula determinada. PRESENTACIÓN NUMÉRICA Elementos de una Tabla de distribución de Frecuencia Alcance (A): Es el intervalo cerrado definido por los datos de menor y mayor valor y máximo valor. En el ejemplo # 1 : A=[40 ; 80] En el ejemplo # 2 : A=[6 ; 18] Rango (R): Es la diferencia entre los datos mayor y menor valor . En el ejemplo # 1 : R = 80 – 40 = 40 En el ejemplo # 2 : R = 18 – 6 = 12 Intervalo de Clase ( Ii ): Es una clasificación de los datos en subgrupos, particionar el alcance. Para el ejemplo #1: [48;56 > es un posible intervalo de clase, donde se ha de considerar alumnos con pesos no menores de 48kg , pero menores que 56kg. Para el ejemplo # 2: Se puede considerar [8 ;14 > es un posible intervalo de clase van desde 8 hasta 13. LIMITEs DE CLASE Para el ejemplo #1: Para el ejemplo # 2: Ancho de Clase ( Wi ): Es la diferencia entre límite superior e inferior de cada intervalo. En [48 ; 56> se observa que el ancho de clase (W) es 56 – 48 = 8 En [8 ; 14> se observa que el ancho de clase es : 14 – 8 = 6 Marca de Clase ( xi ): Es el punto medio de cada intervalo. Es un valor que representa a los datos del intervalo de clase, se calcula como la semisuma de los límites inferior y superior del intervalo de clase. En [48 ; 56> se observa que la marca de clase es [8 ; 14 > la marca de clase es : REGLA DE STURGES Es para determinar un primer valor aproximado del número de intervalo de clase (k). K= 1+3,3 logn ; n: número de datos. Para garantizar que los valores mayores se encuentren en el último intervalo, el valor de K se redondea al entero siguiente En el ejemplo: Entonces: K=1+3,3log20= 5,2933..(aprox.) Luego K puede tomar los valores: 4 ; 5 ó 6. Si deseamos un ancho de clase común, se determina de la siguiente manera: Para el ejemplo: Si En General: Dado el intervalo [L ; Li+1> W = Li+1 – Li ejercicio : Analizar el siguiente enunciado : Un investigador desea determinar en un colegio en el nivel primaria el número de horas semanales que los niños de 7 años de edad se dedican a ver programas de televisión. Una muestra de 25 niños arrojó los siguientes resultados (en número de horas semanales): 10; 19; 25; 19; 26; 16; 19; 27; 27; 25; 23; 22; 17; 12; 20; 15; 21; 23; 26; 14; 18; 25; 23; 24; 21. • Rango (r): Es la diferencia entre los datos de mayor y menor valor. Ejemplo: r = 27 – 10 = 17 • Intervalo de clase: Es una clasificación de los datos en subgrupos. Ejemplo: [16; 19> es un posible intervalo de clase donde se debe considerar a los niños que se dedican a ver televisión desde 16 horas hasta menos de 19 horas semanales. • Límites de clase: Son los valores extremos del intervalo de clase. Ejemplo: en el intervalo [16; 19> se observa que 16 es el límite inferior y 19 es el límite superior. • Ancho de clase (W) : Es la diferencia entre el límite superior e inferior de cada intervalo. También se le conoce como el Tamaño del intervalo de clase. Ejemplo: en el intervalo [16; 19> se observa que el ancho de clase es W = 19 – 16 = 3 • Marca de clase : Es el punto medio de cada intervalo. Ejemplo: en el intervalo [16 ; 19> la marca de clase es : (16 + 19 )/2 = 17,5 Frecuencia Absoluta ( fi ) Es el número de observaciones que se registran en cada clase. La suma total de las frecuencias absolutas es igual al número total de elementos (n). fi nos indica el número de datos que hay en el i-ésimo intervalo de clase. La suma total de las frecuencias debe corresponder al número total de elementos (n), ( 0in). Frecuencia Relativa ( hi ) Es la proporción de observaciones en cada clase. hi nos indica que fracción del total se encuentra en cada intervalo. Se obtiene como el cociente frecuencia absoluta entre el total de elementos (n). La suma de las frecuencias relativas es igual a 1. Frecuencia Absoluta Acumulada (Fi ) Es la acumulación ordenada de cada una de la frecuencias absolutas, es decir es la suma de todas las frecuencias absolutas simples desde el primer intervalo de clase hasta el i-énesimo intervalo Si : m=K K : número de intervalo de clase Frecuencia Relativa Acumulada ( Hi ) Es la acumulación ordenada de las frecuencias relativas.Indica qué parte del total de datos se encuentran desde el primer intervalo de clase hasta el i-énesimo intervalo. Se calcula como el cociente de las frecuencias absoluta acumulada y el número de datos. Para obtener el tanto por ciento basta multiplicar este valor por 100. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS otro Ejemplo : Se desea estudiar el grado de instrucción de los padres de familia de un colegio de Lima (Analfabetos, Primaria, Secundaria, Superior). Se seleccionó una muestra de 80 padres y se obtuvo los siguientes resultados: 20 analfabetos, 30 primaria, 20 secundaria, 10 superior. n = 80 es el tamaño de la muestra y K = 4 es el número de clases Algunas interpretaciones : • f2 = 30 quiere decir que 30 de los 80 padres de familia del colegio de Lima tienen grado de instrucción primaria. • h3 = 0,250 = 25% quiere decir que el 25% de los padres de familia del colegio de Lima tienen grado de instrucción secundaria. • F3 = 70 quiere decir que de los 80 padres de familia del colegio de Lima , 70 de ellos tienen grado de instrucción entre analfabetos, primaria y secundaria. • H2 = 0,625 = 62,5% quiere decir que el 62,5% de los padres de familia tienen grado de instrucción entre analfabetos y educación primaria. Frecuencia absoluta ( fi ) : Es el número de observaciones que se registran en cada clase. La suma total de las frecuencias absolutas es igual al número total de elementos (n). En el ejemplo, estas frecuencias se encuentran en la información del enunciado: 20 analfabetos (f1= 20), 30 primaria (f2 = 30), 20 secundaria (f3 = 20) y 10 superior (f4 =10 ). Observe además que la suma de todas las frecuencias absolutas es igual al tamaño de la muestra, es decir f1 + f2 + f3 + f4 = 20 + 30 + 20 + 10 = 80 Frecuencia relativa (hi) : Es la proporción de observaciones en cada clase. La suma de todas las frecuencias relativas es igual a la unidad. Se calculan dividiendo cada una de las frecuencias absolutas entre el tamaño de la muestra. En el último ejemplo : • Para calcular las frecuencias relativas dividimos cada una de las frecuencias absolutas entre 80 que es el tamaño de la muestra, es decir Observe además que la suma de todas las frecuencias relativas es igual a la unidad, es decir: h1+h2+ h3+h4= 0,250+0,375+0,250+0,125=1 Frecuencia absoluta acumulada (Fi) : Es la acumulación ordenada de cada una de las frecuencias absolutas. La última frecuencia absoluta acumulada es igual al número de elementos (n). Para calcular las frecuencias absolutas acumuladas debemos considerar que la 1ra frecuencia absoluta acumulada (F1) es siempre igual a la 1ra frecuencia absoluta (f1) y a partir de la 2da frecuencia absoluta acumulada, estas se calculan sumando o acumulando las frecuencias absolutas anteriores. En el ejemplo anterior : Observe además que la última frecuencia absoluta acumulada es igual al tamaño de la muestra, es decir, F4 = n = 80. Frecuencia relativa acumulada (Hi) : Es la acumulación de cada frecuencia relativa. La última frecuencia relativa acumulada es igual a la unidad. Para calcular las frecuencias relativas acumuladas debemos considerar que la 1ra frecuencia relativa acumulada (H1) es siempre igual a la 1ra frecuencia relativa (h1) y a partir de la 2da frecuencia relativa acumulada, estas se calculan sumando o acumulando las frecuencias relativas anteriores. En el ejemplo : Observe además que la última frecuencia relativa acumulada es igual a la unidad, es decir : H4=h1+ h2+ h3+ h4= 0,250+0,375+0,250+ 0,125 = 1 UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA CENTRO PREUNIVERSITARIO Aritmética SEMANA Nº 16 VARIABLE CUALITATIVA Son aquellas que se pueden describir, no se pueden medir, no toman valores, tienen categorías Ejemplos de variables cualitativas Grado de instrucción de las madres de los docentes del curso de Aritmética de CEPRESM. Deporte que practican los socios de YMCA ubicado en el distrito de Pueblo Libre, Lima. VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA. Son aquellas que pueden tomar únicamente valores enteros y que sólo puede tomar valores dentro de un conjunto definido. Ejemplos de variables cuantitativas discretas:  El número de hijos en una familia (1,2,3,4..)  El número de carros que hay en un estacionamiento (…10,11,12,13,14..)  El número de empleados que trabajan en una fábrica (…100,101,102,103..)  El número de vacas que hay en una granja (..5,6,7,8,9..)  El número de dedos que tiene una persona en las manos (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) Nótese que para todos los casos los valores deben ser enteros. Es decir, una familia no puede tener 1.3 hijos, ni en un estacionamiento pueden haber 12.6 carros, ni en una granja 6.8 vacas. PRESENTACIÓN TABULAR DE UNA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA CON RECORRIDO PEQUEÑO. Para realizar la tabulación de una variable cuantitativa discreta, se recomienda la siguiente disposición:  En la primera columna colocar los distintos valores de la variable discreta ordenados de menor a mayor.  En la segunda columna los valores de las frecuencias absolutas simples (recuento de datos).  En la tercera columna los valores de las frecuencias relativas (división de la frecuencia absoluta entre el total de datos). Para interpretar se multiplica por cien cada frecuencia relativa, es decir se expresa en porcentajes.  En la cuarta columna los valores de las frecuencias absolutas acumuladas (acumulación o suma de cada frecuencia absoluta con todas las anteriores).  En la quinta columna los valores de las frecuencias relativas acumuladas. Ejemplo de una variable cualitativa En un campamento de verano, los jóvenes son encuestados acerca de los deportes que practican: fútbol, ping-pong, tiro con arco, vela y bicicleta de montaña. A continuación la tabla muestra los resultados. Deportes (xi) Frecuencias Absolutas (fi) Frecuencias relativas (hi) fútbol 48 0.192 ping-pong 35 0.14 tiro con arco 15 0.06 vela 112 0.448 bicicleta 40 0.16 Total 250 1  48 jóvenes que participaron en el campamento de verano practican fútbol.  El 14% de jóvenes que participaron en el campamento de verano practican pingpong. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Medida de Tendencia Central: Es la cantidad representativa de un conjunto de datos, que nos ayudan a resumir la información en un sólo número, donde esta debe estar comprendida entre el menor y mayor de los datos. Sean 1 2 3 4 n d ; d ; d ; d ; ... ; d los datos (ordenados de forma creciente). Si M es la medida de tendencia central de dichos datos, entonces: d1 M dn MEDIDAS DE POSICIÓN IMPORTANTES 1. Media Aritmética. (MA ;X )  suma de los datos cantidad total de los datos n i i=1 d X = = n OBS:  Variación del promedio(Vp) p Aumento y / o disminución de los datos V = Total de los datos  Velocidad promedio. p espacio total recorrido V = Tiempo total empleado 2. Media Geométrica. (MG)  cantidad total de n los datos n n i 1 2 n i=1 Producto MG = = d = d ×d ×...×d de los datos 3. Media Armónica. (MH)  n i=1 i cantidad total de los datos n MH = = suma de inversas de los datos 1 d PROPIEDADES: 1) MA MG MH 2) MA =MG =MH si y solo si todos los datos son iguales. 3) Propiedades para dos datos a y b. a) a +b 2a.b MA(a,b) = ; MG(a,b) = a.b; MH(a,b) = 2 a +b b)      2 MA(a,b) MH(a,b) = MG(a,b) c)           2 a -b MA(a,b) - MG(a,b) = 4 MA(a,b) + MG(a,b) 4. Mediana (Me) considerando los datos ordenados (creciente o decreciente); la mediana es el término central y/o la semisuma de los términos centrales. 5. Moda (Mo) es aquel dato que se presenta con mayor frecuencia, así pueden ser UNIMODAL, BIMODAL, etc. MEDIDAS DE DISPERSIÓN ABSOLUTA 1) Variancia ( 2 σ ) 2 σ varianza de la población. i d elementos de observación (datos) i = 1,2, ...,n X =MAmedia de los datos i d , i = 1,2, ...,n n número de elementos de la muestra. Entonces:         n 2 n 2 i i 2 2 i=1 i=1 d -X d σ = = - X n n Además ;     2 2 2 2 2 σ (kX) = k σ (X) σ X + k = σ X , donde k es constante. 2) Desviación estándar ( σ )         n 2 n 2 i i 2 i=1 i=1 d -X d σ = = - X n n MEDIDAS DE DISPERSIÓN RELATIVA Coeficiente de variación (CV) es una medida de un conjunto de datos, que se obtiene dividiendo la desviación estándar del conjunto entre su media aritmética y se expresa generalmente en términos porcentuales. El coeficiente de variación es la cantidad más adecuada para comparar la variabilidad de dos conjuntos de datos. 100 Desviación estandar Media aritmética CV = = . % MA  Se tiene la siguiente tabla de frecuencias relativas de 200 personas, según el tiempo de años de servicio en una fábrica. ¿Qué tanto por ciento tiene 8 o más años de servicio pero menos de 14? A) 47% B) 52% C) 61% D) 74% E) 77% Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: ( ) Cada uno de los elementos de una muestra se llama unidad estadística ( ) Un dato muestral sólo puede pertenecer a uno de los intervalos de clase ( ) Marca de clase es el punto medio de un intervalo de clase ( ) La ojiva es un polígono de frecuencias construido a partir del histograma A) VVVV B) VFVF C)FVFV D)VVFF E)FFVV Se tiene la siguiente tabla de distribución referente a las edades de 20 empleados. ¿Qué tanto por ciento tienen menos de 36 años o no menos de 42 años? A) 24% B) 36% C) 48% D) 60% E) 65% Dada la siguiente distribución de frecuencias, resumida en la tabla adjunta, se sabe que: h1 = h5 y h2 = h4. Calcular: h2 + h5 En una escuela primaria se obtuvieron los datos de estatura de 80 niños, parte de ellos se muestra en la siguiente tabla Calcular el número de niños que no llegan a los 70 cm, pero tienen por lo menos 62 cm. A) 62 B) 66 C) 68 D) 72 E) 74 Se tiene las notas de un grupo de alumnos, distribuidas según el siguiente histograma. Calcular la suma de la frecuencia relativa del segundo intervalo de clase más la frecuencia relativa acumulada del cuarto intervalo A) 0,94 B) 1,16 C) 1,24 D) 1,32 E) 1,56 Se tiene el histograma elaborado en base a las notas de un examen tomado en un salón de clases. ¿Qué tanto por ciento tuvieron nota entre 8 y 16? A)45% B) 50% C) 54% D) 55% E) 60% La siguiente gráfica muestra la distribución de frecuencias absolutas del número de hijos que tienen un grupo de N familias encuestadas. ¿Qué porcentaje iene al menos 4 hijos? A) 8,33% B) 11% C) 22% D) 33% E) 44,44% La siguiente tabla muestra la distribución de las estaturas correspondientes a 80 basquetbolistas de un club. Calcular el porcentaje de aquellos que miden menos de 2 m de altura A) 50% B) 60% C)75% D) 87,5% E) 90% En una prueba de Aptitud Académica se evaluaron a ‘‘n’’ estudiantes y las notas obtenidas se clasificaron en la tabla de distribución de frecuencias. ¿Qué tanto por ciento de estudiantes obtuvieron una nota menor que 60 puntos o mayor o igual que 80 puntos? A) 15% B) 20% C) 25% D) 30% E) 70% Se tiene la siguiente tabla: Calcular: a + b + f1+ f3 + n, si las marcas de clase son enteras A) 50 B) 60 C) 70 D) 80 E) 90 La tabla muestra la distribución del número de integrantes que tienen 40 familias. Determinar el tanto por ciento de familias que tienen menos de 12 integrantes A) 72,5% B) 81% C) 87,5% D) 88,9% E) 92% Al clasificar las notas de 0 a 100 de un examen, se obtuvo una distribución simétrica con 5 intervalos de clase de igual ancho. Si el 10% de alumnos desaprobó con menos de 20, mientras que los del total obtuvieron notas comprendidas entre 40 y 60, ¿qué porcentaje de alumnos obtuvieron una nota menor de 60? A) 65% B) 70% C) 72% D) 75% E) 80% Se tiene el siguiente histograma de frecuencias relativas. Calcular la frecuencia absoluta del intervalo [a; d[, si el tamaño de la muestra es 640 A) 120 B) 240 C) 440 D) 520 E) 600 La siguiente distribución muestra los sueldos de los 200 trabajadores de una empresa. ¿Qué tanto por ciento de los trabajadores tienen sueldos mayores de 420 dólares? A) 49% B) 57% C) 59% D) 61% E) 63% Del siguiente polígono de frecuencias, calcular el porcentaje de niños cuyas edades están comprendidas entre 8 y 13 años (los límites de cada intervalo son valores enteros) A) 48,5% B) 58,75% C) 59,3% D) 75% E) 85,75% En una tabla de frecuencias se pudo apreciar que se había tomado 5 intervalos de clase con ancho común. En el segundo intervalo: [60; 80[, había 8 datos. El 20% del total de los datos se encuentra en el tercer intervalo. Las frecuencias relativas del cuarto y quinto intervalo son iguales. ¿Cuántos datos son menores a 120, si 16 son mayores a 80? . Se ha estudiado 40 datos A) 30 B) 32 C) 34 D) 36 E) 38 En el siguiente cuadro se muestra la ojiva de la frecuencia relativa acumulada de las notas de un examen. ¿Qué tanto por ciento de alumnos tuvieron nota entre 35 y 72? A) 64% B) 54% C) 46% D) 38% E) 83% La inversión de un conjunto de compañías se clasificó en una tabla de frecuencias, con amplitud de intervalo de 8 millones de soles. Si las frecuencias absolutas correspondientes a los intervalos son: 1; 16; 11; 9; 8; 3; 2; y la máxima inversión es 56 millones. ¿Qué tanto por ciento de compañías invierten 24 millones como mínimo? A) 30% B) 33% C) 44% D) 50% E) 66% De las proposiciones: ( ) El ancho de un intervalo de clase, depende de la cantidad de datos que contenga ( ) Un pictograma es un gráfico circular dividido en varios sectores ( ) En una misma muestra, la frecuencia relativa es directamente proporcional a la frecuencia absoluta ( ) Al clasificar los datos: 2; 3,5; 4; 2,8; 7; 5,1; se considerará una variable cuantitativa continua ¿cuántas son verdaderas? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
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