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SISTEMAS DE NUMERACIÓN PROBLEMAS RESUELTOS PDF

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  • Aritmética SISTEMAS DE NUMERACIÓN Número Un número es una entidad abstracta que representa una cantidad. La representación simbólica de un número recibe el nombre de numeral. Una cifra es aquel símbolo que se utiliza para la formación de numerales. Principios fundamentales de la numeración Del orden Toda cifra que conforma un numeral tiene asociado un orden, de derecha a izquierda. De la base Es un numeral mayor que la unidad, el cual nos indica cuántas unidades de un orden cualquiera son necesarias, para formar una unidad del orden siguiente. De la cifra Toda cifra que conforma un numeral es menor que la base. El número de cifras posibles, que se puede utilizar en cierta base, es igual a la base. Observación A mayor numeral aparente, le corresponde menor base y a menor numeral aparente mayor base. Ejemplo. Si 124(k) = 43(n) entonces k < n. A continuación presentamos algunos sistemas de numeración: Base Nombre del sistema Cifras utilizables 2 Binario 0, 1 3 Ternario 0, 1, 2 4 Cuaternario 0, 1, 2, 3 5 Quinario 0, 1, 2, 3, 4 6 Senario 0, 1, 2, 3, 4, 5 125 6 5 20 6 2 3 iene que las cifras son 0; 1; 2; 3; 1) y la representación literal de un numeral está dado por: (n) ; (n) ; 1 1 n abc aabaa n n , etc. Número capicúa Un numeral capicúa es aquel número cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales. Ejemplos.: aba; aaaa; abba; etc.son numerales capicúas. Cambio de base De base diferente de diez a base diez. Mediante descomposición polinómica: 345(7) = 3×72 + 4×7 + 5 = 147 + 28 + 5 = 180, luego 345(7) =180 2104(5) = 2×53 + 1×52 + 0×5 + 4 = 279, luego 2104(5) = 279 De base diez a base diferente de diez. Mediante divisiones sucesivas: 125 a base 6 luego 125 = 325(6) De base diferente de diez a base diferente de diez. Primero se convierte a base 10 mediante descomposición polinómica y luego a la base deseada mediante divisiones sucesivas. Otros casos: De base n a base nk. Se forman grupos de k cifras, a partir del primer orden. A cada grupo, se le descompone polinómicamente y el resultado será una cifra en base nk. Ejemplo. Convertir 2101121(3) a base 9. Como 9 = 32 , se forman grupos de 2 cifras: 2 | 10 | 11 | 21 (3) 2 | 1x3+0 | 1x3+1 | 2x3+1 2 | 3 | 4 | 7 (9) Luego 2101121(3) = 2347(9) De base nk a base n Cada cifra del numeral en base nk, genera un grupo de k cifras en base n, mediante divisiones sucesivas. Ejemplo. Convertir 2345(8) a base 2 Como 8 = 23 , cada cifra genera un grupo de 3 cifras: 2 | 3 | 4 | 5 (8) 5=101(2) ; 4 = 100(2) ; 010 | 011 | 100 | 101 (2) 3=011(2) ; 2 = 010(2) . Luego 2345(8) = 10011100101(2) Observación: i) a n k a a n a 1 . 1 ( ) ... 1 ii) 1 1 . 1 1( ) ... 1 a a a n a k k a n a iii) 1 . 1 ( ) ... a ab a n b a k k ab n ab COMPLEMENTO ARITMÉTICO El complemento aritmético de un número natural N, denotado por CA(N), es la cantidad que le falta a N para ser igual a una unidad del orden inmediato superior. En general, el complemento aritmético de a1......a k (b) está definido como: (b) (b) 1 k (b) (k 1) cifras CA a1......a k 1000...000 a ......a k veces k veces k veces CA (576) = 1000 576 = 424. CA( 341(5)) = 1000(5) 341(5) = 104(5)
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