SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS EN EL PLANO EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMATICAS DE UNIVERSIDAD PDF

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SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS EN EL PLANO

Par ordenado.2.2 Pafes ordenados iguales. -Producto cartesiano

EI plano cartesiano 106

Suma de parejas ordenadas. Producto de un numero

real por una pareja ordenada

Distancia entre dos puntos

division de un segmento en unarazon dada CAPITULO 2 SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS EN EL PLANO 2.1 PIII••EIWII Diremos que un conjunto que contiene dos elementos, denotado por (a,b) es un par orderuulo si y 5610 si dicho conjunto tiene la propiedad de que el elemento "an puede ser distinguido como el primero y el elemento "b" como el segundo elernento del par. 2.2 PDES OIDEIWIIS IBUlES Dos pares ordenados (a,b) y (c, d) son iguales, y escribimos (a, b) = (c , d) si, Y s610 si a=c y b v d. Esto es: I-(a-,""b-)-=-(-c-,d-)-=--a-=-c-I\--b-=-d~1 2.3 EL PRODleTO CllTESIDI IR )( IR Dejini£i6n.- Si fR es el conjunto de los nlimeros reales, el producto fR x fR es el conjunto de las parejas ordenadas (x,y) tales que x e fR 1\ Y E fR. Estoes: fRxfR=«x.y)/x e fR 1\ Y e fR} EI producto fRx fR, se llama PRODUCTO CARTESIANO. 705 IA ......umsIllO Dl II plano oanesiano. en la Geometria Analitica, es la ! '~~) repnllllllC16n geometrica del productu lR x lR a lR'. donde lR IIpnllnll&1 conjunto de los numeros reales, ~Dl Un .tlff/ma coordenado reaangular 0 eartesiano en el plano. es la repre..,ll\ICi6n geometrica de dos rectas coordenadas perpendiculares que se InlerlOClin en el origen 0 de ambas, La recta horizontal se llama EIB X a EJE de las ab.ei.... la recta vertical se llama EJE Y a EJE de las ordenadas. Los dos ejes se denominan ejes coordenados y el plano. se llama plano coordenado XY. Los ejes coordenado. dividen al plano en euatro panes lIamadas; primer cuadrante, segundo cuadrante. tercer cuadranle y cuarto cuadrante: que se denotan por I. II. III Y IV, respectiYamente (Ver flg.). • El nombre de Canestano, se debe en honor del malemQlico jrancb Rrn~ Desco."es (1596·/650J qu;en!ueunode los primeros en emplttlr tllist~fM de coonJenadas rectangulares. , y 5 D I p yj!, I ;X--...--< ! . (%,y) x 1'(--4,2) _ -5 --4 -3 -2 1 2 3 -I 4/------ ---.---3 --. ----_:8(2,3) --. 2 1 I -I 4 -S ..4(5,4) % m tv QH,-3) . -2 -3 -4 -5---' --- C(4,-5) &i5te una correspondencia biunivoca entre los puntos del plano XY. y las parejas ordenadas (x, y) E lR x IR HI'. cada punta P del plano XY Ie correspcnde el par ordenado unico (x. Y) de lR x lR y e elida pareja ordenada (x .y) de JR x lR Ie corresponde un ,010 punto P del plano XY H In el par ordenado (x,y), la primera cornponente x es la abscisa del punta Pyla lI.unda componente y. es la ordenada del punta P. 1M Ast, en la figura 2, tenernos : .. Las coordenadas del punto A son (5 ,4), la abscisa es 5 y la ordenada es 4. EI punto . A recae en el primer cuadrante. .. Las coordenadas del punto B son (2,3). .. Las coordenadas del punto P son (-4,2) , la abscisa es -4 y I. ordenada es 2. EI punto P recae en el segundo cuadrante. .. Las coordenadas del punto Q son (-3, -3), la abscisa es -3 y la ordenada es -3. .. Las coordenadas del punto C son (4 ,-5), la abscisa es 4 y la ordenada es -5. EI punto C recae en el cuarto cuadrante. 2.5 SUMA DE PABUAS IRIENADAS PRIDUCIIIE UlIlIOmRI REAl PIR UIIA PARUA IRDEIIADA. Definicion 1.- Dado dos parejas ordenadas (x, ,y,) y (x" y,) de JR', I. surna de (x, ,y,) y (x, ,y,) es la pareja (x, +x, ,y, +y,); esto es : I (x, ,y,) +(x, ,y,) = (x, +x, ,YI +y,) I Definicion 2.- Dado la pareja ordenada (x ,y) de JR' y un numero real r, el producto del numero real r por la pareja ordenada (x ,y) , es la pareja 'ordenda (rx ,yr); esto es : Ir(x, y) = (rx, ry) I 2.6 DISIAIICIA EmE lIS pums Prellmlnares : 2.6.1. Definicion: Dados dos puntos PI YP, en el plano XY, la distancia del punto P".I punto P, es la longitud del segrnento de recta que las une. 2.6.2·1 Teorema / I La distancia d(P" P,) entre dos puntos PI(x, ,y,) y P,(x, ,y,) esta dado por la formula: Id(P', P2)=~(x2 -x, i +(Y2 - y,)2 I L distancia del punto PI al puntc r, "bo,n> "..""..,.: 1. BIcgir loa punIoo 1', Y', ell cualqoien de los cuatro cuadrantes. Supongamos que Ph es1ien el mcuadrlDte '1 '1 ell .1 primercuadtante, respecti vamenle. 2. Si considenmos que " '1 " I0Il 101 vances de lID tri6ngulo rec:t6ngulo, redo en 1', cuyas iJ'J -,,11 coordenadllll SOlI (x, ,1'), podemos aplicBT el /' I : I % Tearema de Piligons: .L..... :.- _----I-----------·~ ,}'I) [dIP, ,N]' = [d(p, ,p,)J' + [dIp, ,p,)l' PI(Xl,YI' ~ l.ll: %,1 3. En la figur. se v~ que : d(p, ,p,) = lx, -xii y d(p, ,p,) =1" - yd 4. Reemplazar en 2. : [dip, ,p,)] , = Ix, - xii'+ Iy, - yd ' ~ dIP! ,p,) ee ~ (X,_XI)2+(y,_y,)2 doede: lx, - x, I'= (x, - x,l' , Iy, - y, I'= (Y,- y,l' N0tsd6" : La distancia d (I', ,I',) tambiense denotapor d ( f\ ,1'2) = If\ 1'21 = I1'2 - f\ I .2.6.3 ICOROLARlO I(Formula del punto medio) EI punto medio del segrnento entre P,(x, ,y,) y 1',(x" y,) es : %1 + %2 11+Y2) ( 2 ' 2 DemostraeiO,,: 1. Se pide hallar las coordenadas (x, y) ,C1(°.,nL. . P,(x,.y,) del punto I' en terminos de las coordenadas de 1', y 1',. /i{O,,,) -- ; P\x ,,,) Para ello, tracemos desde los puntos, P,,,,,,,,,) .. . E(j'''') P" P YP, segmentos paralelos al EIE Y Y corten al EJE X en los puntos A, B Y C respectivamente. A(%"O) B(x,0) q.,.O) 2. Par la Geornetria Plana elemental. se sabe ~"e I. recta paralela al EJE Y que pasa por el punto P biseca al segmento AC en el punta B. esto es, B es punto medio del segrnento AC. Si B es PUDlO medio del segmento AC. eraonces se cumple que: x-x, ~ x,.-, , donde: x-x, es la distancia de A a B(jB-AI> 2x ~ x, + x, X2 -x es la distanciade B a C( IC - BI) Xl+.l'2 X ~ --23. De manera similar, si por los puntos PI. P YP2 trazamos segmentos paralelos al EJE X. Yconan al EJE Yen los puntas E, F YG respectivamcme, se obtiene el siguiente resultado: y, - y ~ y - y, donde : Y2- Y es la distaneia de FaG (\ G - F I> y, + y, ~ 2y Y - y, es la distaneia de E a F ( IF - E I) Y\+Y2 Y~-2- I PROBL~MAS R~SU~LTOS I PROBLEMA 01 Hallar el perimetro del cuadrilatero cuyos vertices son (-3,-1) • (0,3), (3,4) , (4,-1). Soluci6n: Graficar los puntos en el plano cartesiano, EIperfrnetro del cuadrilatero es : y P~IABI +IBCI +ICDI+I DAI Donde: B(O,3), IABI ~J(-3-0)' +(_1_3)2 ~5 IBCI ~J(0-3)'+(3-4)' ~JW :; / I \\ x A(-3,-I) 'D(4,-1) ICDI =J(3-4)2 +(4+1)' ~..fi6 IDAI =J(-3-4)2+(-1+1)' ~7 109 BnlOMt••I-JlII'fn\llIro es P = 5+M+.J26+7 I ,01'''~'' . = 5 + 3.16 + 5.09 + 7 = 20.25)l PItOaLlMA 02 Los vl!ttices de un triangulo son A(3.8). B(2.-I) Y C(6,-I). Si D es el punto media dellado BC, calcular la longitud de la mediana AD. SoluciOlI : Graficar los puntas: y El punto medic del lado Be es : A(3,8) 8 D=(2;6, -~-I )=(4,-1) AD es la mediana. La longjtud del segmemo AD, es : IADI=~(3_4)2+(8+1)2 =../82 I rI ,\ X -1 PROBLeMA 3 Dado un triangulo de vertices: A(-3, 3) , B(3, 5) , C(-l ,-3) a) Hallar los puntos medics de cada lado del triangulo b) Hallar el perlmelta del nuevo triangulo formada por los puntos medias de los lados del triangulo ABC. c) Hallar el area del triangulo forrnado por los puntos medias de los lados del triangulo ABC. Solucl611 : Oralicar el triangulo, a) Hallar el punto medio de cada lada del tri'ngulo ABC. y • Punto medio de AB: M=(-\+3, 3;5)=(0,4) A(-l,3) • Punto medio de BC : _\ I I x N=(3~l, 5;3)=(1,1) • Punto medio de CA: C(-I,-3) R=(-1;3, -3 2+3)=(-2,0) b) ElperfmetrodeltrianguloMNRes: P=[MNI+INRI+IRMI donde: • IMNI=J(0-L)2 +(4-1)2 =,fIO • INRI=~(1+2)2+(1-0)2 =,fIO • I RMI=~(-2-0)2 +(0-4)2 =.fiO Entonces, eJ perfmetro es: P = ,JIO +,JIO +.fiO = 2,J1O+.,flO c) Ef area del triangulo se puede hallar, facilmente, por diferencias de areas de un rectangulo y triangulos rectangulos. y area('G)=A(R) - (A (RSM) + A(MQN) +A (RTN)) L L area del ree/lingulo RSQT area del /rlt2nxulo RMT· area(,&)=(3)(4)_{(4)(2) +(1)(3) (3)(1) I \ 2 2 + 2 N(I,I) i!-- P,P: PPz • aplicamos la definici6n 3 y obtenemos PIP; r (PPz) (I') 2. Aplicando la DEFINICION I, a los segmentos dirigidos P,P y PPz, obtenemos : fl P;P-fl PPz; Pz-P ;(x,y)-(x"y,) ;(xz,yz)-(x,y) =(X-X!,Y-YI) ; (x Z - x , Y z y) • 3. Reemplazar 2 en I' : (x - x, ,Y - y,) ; ~x, - x , Y2 - y) = (r(x,-x) , r(Y2-Y) 4. Por definici6n de igualdad de pares ordenados, oblenemos : x - XI = r (x, - xl 1\ r : y, ; r (Y2 - y) X-XI == rX2-rx 1\ y - y, ; ry, - ry x .. rx == .t'\ + rX2 1\ Y+'Y ; y,-ry2 x (I .. r) ~ XI + rXl 1\ y (I .. r) ; y, .. 'Y2 XI + rX2 YI +1)'1 X; --- 1\ Y ; IH ---r:;:;ICOROLARIO I Las coordenadas del punto medio de un segmento dirigido 1\ Pz cuyos extremos son XI +'x2 YI + Y2 ) PI (x" yll Y P2 (x" y,) son ( -z-,-zDemostroci6n : Basta hacer r; I, porque si P es punto medio del segmento 1\ Pz se tiene que \P,PI IP,PI; IPP,I, entonces Ipp,l;l;r. 113 - -- l!i~1011 Hallar los punlOS de bisecci6n del segmenlo cuyos extremos son los puntos (-2 • 3) Y(6 • -3). Sol.i61l : Oraficar el segmenlo ~ Pz Se pide hallar las coordenadas de los Y I puntos P y Q. que dividen al segmento ~ Pz en tres segmentos de igual longitud. RecomendaciolUls : r 1. Oraficar los extremes del segmento ~ Pz 2. Trabajar de izquierda a derecha. Asf, por ejemplo, si queremos hallar el ······_··P,(6,-3) punto P, trabajamos de PI a P y luego de P a P2• I .... ~4( x~ -2 3. Como P y Q dividen al segmenlo ~ Pz en tres segrnentos de igual longilud, asignamos con "I" a cada segmento dividido, de este modo al segmento ~ P se Ie uigna "I", tal segmento PQ se Ie asigna "I" y al segmento QPz se Ie asigna "I". Bala uignaci6n nos facilita obtener la raz6n de divisi6n deseada. 4. Par. hallar el punlo P tenernos la razon . ~ P : P Pz . Esto es, T ='; =t .Lo cual nos permitehacer: IfP =tppz P-~ =t(Pz -P) 2P-2~ = Pz-P 3P=2~+Pz P=}{2~+Pz} P=}12(-2. 3)+(6, -3J} =( t.l) 5. Qes punto medio del segmenlo PPz •entonces Q =[ t;6 ,';3 J=('.' ,-I) 114 -- -- IEjtmplozl Supongamos que el mismo segmento lJ P2 del ejemplo I, queremos dividir en 5 segmentos de igual longitud. Haller las coordenadas del segundo punto mas cercado al punlo P,_ SolllcitJn .. 8 es el segundo punta mlls cerc3!l9. y Laraz6nes: -;=i=r Esroes : lJB=fBP2 8-lJ =t(P2 -B) 8=t(3lJ +2P2 ) =+(3(-2,3)+2(6,-3) } 'P>\6,-3) =(t,tl IEjtmplo 31 Los puntos extrernos de un segmento son P,(2 , 4) Y P,(8, -4). Hallar el punto PIx,y) que divide a este segmento en dos partes tales que P2P : PIi = -2 . SolucitJn .. y Este problema es un caso especial. Cuando Ia raz6n es negativa el punto P se encuentra fuera del segmento II P ~ 2 P>\8.-4) • EI dato P2 P: PIi ~ -2 implica que P, P =-2 P Ii (I) r ::::.!!!.=-2 • • De(l): P-P,= -2(P,-P) Despejar P: P - P, = -2 P, + 2P P= 2P,-P, = 2(2,4)-(8,-4)=(-4,12) .. ,.B -2 1 < "< 1!iiiElJ, Los puntos extremes de un segmento son A(I ,I) Y B = (10,7). ,If' I) Hallar el punto P que divide aJ segmento AB en la raz6n 2 : -5 .1 r j, i " .,.,... b) Hallar eI punto Qque divide al segmento AB en la razon -4 : J ) I. Bn primerlupr. graflCar el segmenlo AB I , "'_ '_7"'_'_'--':'>OiQ - --.""---".---., -----) i " A I: -s 10 13 i::' ----·_·1-3 Z. Mirando de izquierda a derecha : si Ja faron r = :5 es negativa y menor que la unidad, en valor absoluto, esto es I!.I< I ; entonces el punto P que divide al segmento AB en la razon 2:-5 es~ fuera del segmeruo AB y cerca al extremo A (punto de la izquierda). 3. EnIOJlCes AP: PB = !. implica AP = - t PB P-A=-t(B-P) Pct{5A-2B} P=t (5(1.I)-2(10. 7)}= (-5.-3) SoIIIclifll Ik 6) Si II raz6n r = )4 es negativa y mayor que la unidad, en valor absolute, esto es 11I> I ; enlOnccs el punto Q que divide aI segmento AB en la razon -\4 eslAfuera del ..,menlo AB y cen:a del extreme B (punlo de Ja derecha). BnIOIlCea AQ: QB =-: implica AQ = -4QB " Hallese el Area del triangulo cuyos vertices son: