NÚMEROS COMPLEJOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMATICAS DE UNIVERSIDAD PDF

Introducclon
I EI conjunto de los numeros complejos
1.1 Componentc real ycomponente imaginaria deun niimero complejo
13 Representaci6n geometnca delos numeros complejos
La unidad imaginaria i;,J-l
Polencias enieras dei
1':1 sistema de los numeros complejos
Propiedades de la adicton y delamultiplicacion demirneros compleios
Propiedad distributiva "
19uaidad de numeros complejos
Sustraccion de dos numeros complejos
DI·V.IS"lO n enI re dos nu-meros com pie''os
Conjugada de un mirnero complejo
Potencta deun numero complejo
Propiedades delas conjugadas de mimeros complejos
MOdulo deun numero complejo
Argumenlo deun numero complejo .
Propiedades del mOdulo
Propiedades del argumenlo
Forma polar deun numero complejo ..
Produclo y cociente demimeros complejo,
cuando estan expresados ensu forma polar
Forma exponential deun numero complejo
FOrmula deDemoivre
Raiz deun numero complejo
El logantmo natural de un numero complejo ..
Raices de un nomero complejo
Problemas resuehos ..
Problemas propueslos ..
Las n raices delaunidad 
resolver la ecuaci6n cuadratica x2 +4 = 0 se obtienen como soluciones: XI =2;, x2 =-2;. Pues; x 2 +4 =0 = x=±.j(4)(-I) x=±2H , hacer H =; x =±2; • AI resolver 13 ecuaci6ncuadratica x2 + x + 1=O. se obtienecomo soJuciones: Xı =_1-+,[3; I 2 2ˇ 1,[3· d d . ~I X2 :;;:;-2"-T1 • on e '=l/-J •ı Los mimeros: ,r:4, N . R.etc. se llaman nUmeros imaginarios. • H es la UNIDAD IMAGINARtA Y la denotaremos por i. •ı A los numeros: -t+ 1;,-3 - 5; se les lIaman numeros complejos. •ˇ En generaJ, un ruimero complejo tiene 13 forma: x +;y , donde "x" , "y" son numeros reales; i =H 569 • A los mlmeros complejos los denotaremos por la letra Z. As! tendremos: Z, =2+3i , z.,=4-4i , Z3 =-l+J3i. • Al conjunto de los numeros complejos 10denotamos con la letra C, Asi tendremos: rC ={Z =x + i Y/ x E IR , Y E lR ) LConjunto delos nnmeros complejos 1. El CONJUNTO DE lOS NUMEROS COMPlEJOS Deftnkion 1,- EI conjunto de los rnimeros complejos es: rC=(Z=X+iy/X,YEIR ,i=rJ) 1.1. COMPONENn RUl YCOMPONENTl IMAGINARIA DE UI IUMERO COMPLEJO Todo m'imerocomplejo z:; x + iy tiene dos componentes: "r'' es la componente real de Z y se denota por x =Re(Z) "y" es la componente imaginaria de Z y se denota par y = lm(Z) Ejemplos: 1. En Z=-3+2i Re(Z) =-3 lm(Z) = 2 2. En Z=-4-5i Re(Z) =-4 lm(Z) =-5 12. IDENnFICACIDI DEl CONJUNTO C CON a CONJUNTO IR 2 Porque cada mimero complejo Z:; x + iy tiene dos componcntes, la componente real "x" y la componente irnaginaria "v"; el conjunto esc idenrifica con lR2 haciendo: Z=X+iyErC. (X.y)EIR' Gracias a esta identificacion: • EI rnimero complejo Z, = -2 - 3i se identifica con el vector (-2,-3) 570 • EI ruirnero complejo 2, =-5 + 2i se identifica con el vector (-5,2) • EI mirnero complejo 2 3 = 1+ Oi se identifica con el vector 0,0) • EI mirnero complejo 2, =0 + i sc identifica con eJ vector (0,1) 1.3. REPRESENTAClDN GEOMETRICA DE lOS NUMEROS COMPlUOS Porque cada numero complejo Z = x + iy se identifica con el vector (x,y) de [R2 t entonces el numero complejo Z se grafica en el PLANO CARTESIANO. Ejemplos: Graficar los mimeros complejos 2, =2 + 3i I 2, =-5 - 2i I 2,=-3i I 2, =-2 I 2, =-3 + 5i f 26=4+Oi =(2,3) =(-5,-2) =(0,-3) =(-2,0) =(-3,5) I =(4.0) Z, -~..~., .4~.;.:J:+: +'IJ/""73-li4Z, \ ~6- Re(Z) z, -3jZ, -4 1.4. U UNlOAD IMAGINARIA i El numero complejo i =(0,1) es la unidad imaginaria de rC, donde i = ~ 571 1.5 POTEIICIAS ENIERAS DE i =~ Las unicas potencias enteras del numero complejo i son {i ,-1 ,-i ,I} Se deduce del siguiente modo: ;=H ;2 = -1 ;l =i i 2 =;(-1) =-i ;4 =;2 ;2 =(-1)( -1) =1 En general: • si n = 4. s1 , n=4+ 1 I'. = { i 4 : 50 lee "mul';plo de 4" • -1 si n=4+2 -i si n=4+3 2. ElSISTEMA DE lOS NOMEROS COMPWOS Definicion» EI SISTEMA DE WS NUMEROS COMPLEJOS es el conjunto !C de todos los mimeros de la forma x + iy tal que, sobre !C se definen dos operaciones: la adici6n de dos numeros complejos y la multiplicaci6n de dos mlmeros complejos del siguiente modo: Sumo de Numeros Complejos: Dados dos mlmeros complejos Zl::; Xl + i Yl , Zz = Xl + t YZ. la suma de Zl Y Z2 es definida por: IZ, + Z, = (x, + x,) + i(yl + y,) I Producto de Numeros Complejos: Dado dos numeros complejos 2\::; Xl + i YI • 2 2 = Xl + i Y2 , el producto de ZI Y22 es definido por: IZ, Z, = (XI x, - YI y,) + i(xi Y, + x, YI) I Dados los mimeros complejos Z, = 2 - 3i , Z, =-3 - 2i 572 a) Hallar 2, + Z, b) Hallar Re(2, + z,) , Im(2, + 2,) c) Hallar 2, Z, d) Hallar Re(2, z,) , Im(2, z,) Soluewn: a) Z, +2, = (2-3i) + (-3-Zi) t Como et Mgebr. elemental:ı Sumar los componentlS rules entr, sl y Iuegaı slIIMr las co~tlS imIginaria: ..tre sl. = (2 - 3) + i(-3 - 2)ı = -1 - 5iı b) Re(2, + 2,) = -I , Im(2, + 2,) =-5 ~ c) Z,z, = (2-3i)(-3-Zi) LUı tJı Muttiplicar de manera natural,ı lenlenda cuidado qUI ;2= -1ı = (2)(-3) + (2)(-2i) + (-3i)(-3) + (-3i )(-2i)ı =-6 - 4i + 9i + 6i' . i'=-Iı = -6 - 4; + 9; - 6ı = -12 + 5;ı d) Re(2, 2,) ~ -12 , lm(2, 2,) =5 2.1.ˇ PROPIEOADES DE lA ADIClDN YDE lA MULnPllCAClDN DE NOMEROS COMPlEJOS Propiedodes de 10 Adici6n: AI' Para todo 2, ,2, E iC se cumple: (2, + z,) E iCı A,. Para todo 2, , 2, E iC se cumple: 2, + Z, = Z, + 2, (Prop. Conmutativa)ı A,. Para todo 2, , Z, y 2, E iC se cumple:ı (2, + 2,) + 2, = 2, + (2, + 2,) (Prop. Asociativa) 573 A.. Existe un elemento en iC, al que denotamos por 0 ~ 0 + i 0 , tal que para todo Zen iC, se cumple: Z + 0 ~ Z. As. Para cada Z en iC, existe un elemento en iC, al que denotamos por -Z , tal que Z+(-Z)~O Propiedodes de 10Multiplicoci6n: MI' Para todo Z, , Z, en iC se cumple: Z, Z, E iC M,. Para todo Z, , Z, en iC se cumple: Z, Z, ~ Z, Z, (Prop. Conmulaliva) M,. Para todo Z, , Z, y Z, en iC se cumple: (Z, Z,) Z, ~ Z,(Z, Z,) (Prop. Asocialiva) M.. Existe un elemento en iC, al que denotamos por 1 ~ I + Oi . diferente de 0 tal que para todo Zen iC, se cumple Z. 1 ~ Z. Ms. Para cada Zen C. diferente de 0, existe un elemento en C. al que denotarnos por Z-I , tal que Z z! ~ I, z' se llama el inverso de Z Pruebo: Dado Z ~ x + i y , ballemos el ruimero complejo T 1 ~ a + bi tal que Z z" ~ I Veamos: Z r' ~ I (x+iy)(a+ib) ~ I (xa - yb) + (xb + ya)i~ 1 +Oi xa - Yb ~ 1 = {xa-Yb ~I Igualando componentes: { xb+ya ~O ya s- xb ~O Al resolver el sistema de ecuaciones se obtiene: a = ~ b = 2-.v 2 x+y X'tv Conclusion: Elinversode Z=x+iy es z" =~-~i x + y x + yo. 2.2. PROPIEDAB BISTRIBUTIVA Para todo Z, , Z" Z, en iC, se cumple Z,(Z, + Z,) ~ Z, Z, + Z, Z, 2.3. IGUIlBAI BE NOMEROS COMPWOS x+iy = a+ib x >.a /\ y e b 574 3. SUS11IACCION DE DOS NOMEROS COMPWOS Definicion 2.- Para Z, y Z, cualquiera en rc,ı ZI - Z, = ZI + (-Z,lı 4. DMSION ENTRE DOS NOMEROS COMPLEJOS Definicion 3.- Para ZI y Z, cualesquiera en rc con Z, '" 0ı Z, Z.-1ı z=Z" 2 2 5. CONJUGADO DE UN NOMERO COMPLEJO Definicion 4.- Si Z = x + i y es unmimero complejo. entonces Z = x - i y se llama CONJUGADO COMPLEJO, 0 simplemente, CONJUGADO, de Z. Ejemplos: o EI conjugado de Z,- -2 + 3i , es Z, = -2-3i o BIconjugado de Z2 = -1i , es Z" =.li - 2 o EI conjugado de Z, = 4 , es Z3 '" 4 • El conjugado de Z4=cosO+isenli es Z4=cosll-isenll 6. PORNCIA DE UN NOMERO COMPLEJO Sea Z un numero complejo, definimos: 1, Z" = I , V Z" 0 Z I =Z 2. { Z" =Zn-I. Z • V nEZ+ 3. r n =(Z-I)n . si Z",O 575 -- -- - - 1. PROPIEDADES DE lOS CONIUWOS DE NUMEROS COMPlOOS PI. Z = Z P,. Z, +Z2 =z, +Z2 P,. Z, • Z2 = ZI • Z2 p•. (~~)=:~ ,si Z2 ;,)" Wı =16 1/4e'-,k= O 1 23 kı " , • I wk ;2e i ¥ , k=O,I,2,31 11. ELLOURITMO NATURAl DE UN NUMERO COMPLEJO Definicion 9.- EI logarilmo natural del mimero complejo Z es otro mlmero complejo W. lal que Z = e W . Esto es: Ln(Z) = LnlZI + i (Arg Z + 2ktr) , k E :z IEjemp/o I Hallar el logantmo natural del rnimero complejo Z= 2 - 2i :to/uewn: IZI= -/4+4 =2,[2=23 2 / Necesitamos hallar< y () = Arg(Z);21l'-a , donde a; Arctgl-i Iˇ 9/T\ = 2:r-l!.. ; Arclg(l)ˇ 4 \.ı a.. =1!L 4 ={ z= (2,-2) MtTODO 11 Usando directamente la formula: Ln(Z)=LnIZI+i(Arg(Z)+2ktr) , kEE = Ln(23 / 2 )+i( 7; + 2k1r) =1Ln(2)+i(7;+2k1r) , hE .Jı 583 { MtTOOO 21 Aplicando la definicion de logarilmo nalural del numero complejo Z~ 2 - 2i. EI Ln(Z) es otro mirnero complejo w, tal que: Z =e w 8. Z = e x+ i y • donde w = x + i y Z = eX • e i y , debemos hallar "x" • "y". ~---III--------, .. t Aplicar: IZI Aplicar Arg(Z) IZI ~ leXlle'YI , Argt Z) , Arg(ex .e'Y) '-y--J 23/ 2 = eX 1 2:r-f+2k;r = )' tLn(3) = x J.!L + 2k71 = y 4 Aplicar Ln Ln(Z) =Ln(e", e'V) LnZ =Ln(eX )+Ln(e' Y) =x+; y =tLn (3) + i (7; + 2k71) , k EZ 18. RAleES DE UN NOMERO C8MPLUO Las rakes n-esimas de un numero complejo Z = r e to son: _ I/n [ (O+2b)' (o+2kn)]. _ _ Wk-r cos n +,sen n ,k-O,1,2,3, ... n 1. Demostracion> Una raiz n-esima de Z = r e io En consecuencia: es un mimero complejo W tal que W n = Z W =r 1/ ll e dfJ +;k1r ) ptleilfl=re iB k '. Suponerque p n = r =;,p=rl/n k =0, I, 2, ... n - I. p=? =;, {e'~ = e'o =;, ljl=B+2k71 W =ae '« 'I'=? k=O,I,2, ...... ,n+1 584 PROBLEMASı ®Expresar los > siguientes numeros complejos en forma polar: a) i b)ı J3-i c) 1- i d) -I e)ı -.J6 .+f ii t) 3-4i g) l-sena+'icosa (O e=6-a (I) b wd =0 => d= -b (2) { ac - bd = 13 ..................... (3) ad+bc=O ..................... (4)ı Reemplazar (I) y (2) en (3) y (4), respectivamente: a(6 - a) - b(-b) = 13ˇ { a(-b)+b(6-a) = 0ˇ 6a - a'+ b' = 13ˇ {ˇ { -ab+6b-ab = 0ˇ 6a - a' + b' = 13ˇ { 6b- 2ab = 0 2x - 2y = 0ˇ => Y = xˇ EI numero complejo Z tiene la forma: Z=x+xi. con x;tO donde Arg Z = Arctg(; ) =Arctg(l) = {-+2k1r k E:;Z 615 ·1i1l Hallar todos los numeros complejos "P que son conjugados con su cubo. SoluciOn: Se pide hallar los numeros complejos Z=x+ Iy