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RECTAS , PLANOS , DIEDROS , TRIEDROS Y POLIEDROS EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA DEL ESPACIO PREUNIVERSITARIA EN PDF




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    ESTEREOMETRÍA Estudia la forma y extensión de las figuras geométricas cuyos puntos no están en un mismo plano (espacio tridimensional) ESPACIO TRIDIMENSIONAL A dicha idea tenemos dos postulados importante: a. Dada una recta cualquiera L, hay por lo menos un punto P, tal que P no pertenece a L. b. Dado un plano cualquiera M, hay por lo menos un punto P, tal que P no pertenece a M.
    POSTULADOS DEL PLANO CLICK AQUI PARA VER PDF    ****

    a. Todo plano contiene al menos tres puntos no colineales. b. Dos puntos cualesquiera de un plano determinan una recta, que esta contenida en el plano.
    POSTULADOS DEL ESPACIO a. El espacio contiene al menos cuatro puntos que no son coplanarios. b. Por un punto del espacio pasan infinitas rectas. c. Por una recta del espacio pasan infinitos planos.
    DETERMINACIÓN DE UN PLANO Un plano queda determinado por: a. Tres puntos no colineales.
    b. Una recta y un punto exterior a ella.
    c. Dos rectas secantes.
    d. Dos rectas paralelas.
    POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO
    a. Rectas secantes.- Cuando se intersectan y tiene por tanto un punto común. Las rectas secantes son coplanares.
    b. Rectas paralelas.- Cuando se encuentran en un mismo plano y no se intersectan.
    c. Rectas coincidentes.- Cuando se superponen, para lo cual basta que tenga dos puntos comunes.
    d. Rectas alabeadas.- Llamado también rectas que se cruzan, son aquellas rectas que no están en un mismo plano y no tiene ningún punto común.
    POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN PLANO Dados una recta L y un plano M, que pueden estar situadas de tres distintas maneras. a. Secantes.- Cuando se intersectan, la recta y el plano sólo tienen un punto común.
    b. Coincidentes. La recta está contenida en el plano, en cuyo caso todos los puntos de la recta pertenecen al plano. Para que sean coincidentes, basta que la recta y el plano tengan dos puntos comunes.
    c. Paralelos.- En cuyo caso no tienen punto común alguno.
    Propiedad: Para que una recta sea paralela a un plano es condición necesaria y suficiente que dicha recta sea paralela a una recta del plano.
    POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS a. Planos secantes.- Cuando se intersectan y tiene por tanto una recta común llamada intersección de dos planos.
    b. Planos paralelos.- Son aquellos que no tienen punto común alguno.
    c. Planos coincidentes.- Cuando se superponen, para lo cual basta que tenga tres puntos comunes no colineales.
    ANGULOS ENTRE DOS RECTAS ALABEADAS Es el ángulo que forman uno de ellos con una paralela a la otra trazada por un punto cualquiera de la primera.
    : Es el ángulo que forman las rectas que se cruzan L1 y L2
    RECTAS PERPENDICULARES Son aquellas dos rectas que al interceptarse o al cruzarse en el espacio forman ángulo recto. ANGULO DE UNA RECTA SECANTE CON UN PLANO Es el ángulo que hace la recta con su proyección sobre el plano. DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO. La longitud del segmento de perpendicular trazada del punto al plano.
    MENOR DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN Es la longitud del segmento de perpendicular, común a ambas.
    RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO Si una recta es perpendicular a un plano entonces es perpendicular a todas las rectas contenidas en el plano. Propiedad: Para que una recta sea perpendicular a un plano es condición necesaria y suficiente que dicha recta sea perpendicular a dos rectas secantes del plano.
    TEOREMA DE LAS 3 PERPENDICULARES Si desde el pie de una perpendicular a un plano trazamos una segunda perpendicular a una recta del plano, entonces toda recta que une el pie de la segunda perpendicular con un punto cualquiera de la perpendicular al plano será perpendicular a la recta del plano.
    mPDC = 90º
    ANGULO DIEDRO Es la figura formada por dos semiplanos que tienen la misma recta de origen común.
    A los semiplanos se les denominan caras y a la recta común arista
    a. La medida de un ángulo diedro  esta dada por la medida de su ángulo plano o rectilíneo que es aquel ángulo determinado al trazar por un punto cualquiera de la arista AB, dos rectas perpendiculares a la arista, una contenida en cada cara.
    b. Los diedros se clasifican similarmente a los ángulos en el plano
    b. SEMIPLANO BISECTOR Es aquel semiplano que partiendo de la arista de un diedro, lo divide en dos diedros de igual medida.
    Propiedad.- Todo punto sobre el semiplano bisector, se encuentra a igual distancia de las caras del diedro.
    TEOREMA Si los lados de un ángulo plano son perpendiculares a las caras de un diedro. El ángulo y el diedro son suplementarios.
    mC + mF = 180º
    RECTA DE MÁXIMA PENDIENTE Si dos planos se interceptan, la recta de uno de ellos, que forma el ángulo máximo con el otro, es perpendicular a la intersección de ambos planos. Hipótesis Tesis A  P mABC > mADC AC  Q AB  MN AB : Recta de máxima pendiente
    PLANOS PERPENDICULARES Son aquellos planos que al interceptarse forman diedros rectos. a. Si una recta es perpendicular a un plano, todo plano que pasa por ella es perpendicular al primero. b. Si dos planos son perpendiculares entre sí, toda recta contenida en uno de ellos y perpendicular a su intersección, es perpendicular al otro plano.
    AREA DE LA PROYECCIÓN DE UN TRIANGULO EN EL PLANO
    Area (AHC) = Area (ABC). Cos 
    ANGULO POLIEDRO, SÓLIDO O ANGULOIDE Es la figura formada por tres o más planos (caras), que se cortan dos a dos y cuyas intersecciones (aristas) concurren en un mismo punto denominado vértice.
    ANGULO TRIEDRO
    El triedro es un ánguloide de tres caras, tres aristas y tres diedros; es el ángulo poliedro de menor número de caras que puede haber, no pudiendo ser más que convexo. - Caras : a, b, c - Vértice : El punto V - Aristas : VA, VB, VC. - Diedros : , , 
    Notación : Triedro V-ABC
    PROPIEDADES DE LOS TRIEDROS a. En todo triedro, una cara es menor que la suma de las otras dos, pero mayor que su diferencia.
    b – c < a < b + c
    b. En todo triedro, la suma de sus caras es mayor que 0º pero menor que 360º.
    0º < a + b + c < 360º
    c. En todo triedro a mayor cara se opone mayor diedro y a caras congruentes se oponen diedros congruentes.
    d. En todo triedro, la suma de sus diedros es mayor que 180º pero menor que 540º
    CLASIFICACION DE TRIEDROS a. Triedro escaleno: Sus 3 caras tienen diferentes medidas. b. Triedro isósceles: Dos de sus caras miden iguales. c. Triedro equiláteros: Sus 3 caras tienen igual medida (no necesariamente de 60º) d. Triedro rectángulo: Una de sus caras miden 90º. e. Triedro birectángulo: Dos de sus caras miden 90º cada una. f. Triedro trirectángulo: Sus 3 caras miden 90º cada una. g. Triedro Simétrico: Es aquel formado por las prolongaciones de las aristas de un triedro. h. Triedro polar o suplementario: Dos triedros son suplementarios cuando las caras de uno son los suplementos de los diedros del otro.
    POLIEDROS
    Son aquellos sólidos limitados por cuatro o más regiones poligonales planos no coplanares llamados caras.
    Elementos: - Caras: Son polígonos - Aristas: OA, OB, AB,..... - Vértices: O, A, B,.... -Diagonal: Es el segmento que une dos vértices que no están en la misma caras. - Diedros - Ángulos poliedros
    CLASES DE POLIEDROS a. Poliedros Convexos.- Cuando al considerar cualquiera de las caras, todo el sólido queda a un mismo lado de él.
    b. Poliedros Cóncavos.- Cuando al considerar alguna de las caras, todo el poliedro queda repartido a uno y otro lado de la cara considerada.
    TEOREMA DE EULER En todo poliedro se cumple que su número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más 2.
    C + V = A + 2
    TEOREMA
    En toda poliedro la suma de los ángulos en todas sus caras es igual a 360º por el número de vértices menos 2.
    SAng. = 360º (V-2) caras

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