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ECUACIONES TRIGONOMETRICAS ASPECTOS TEORICOS Y EJEMPLOS DESARROLLADOS


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    En matemática existen diversas formas de resolver ecuaciones. En el presente capítulo se desarrolla en forma esquemática las ecuaciones trigonométricas, a partir de las identidades fundamentales podernos reducir a expresiones como una ecuación de grado uno, y aplicar los conceptos vertidos en Circunferencia Trigonométrica.

    También es necesario que el lector recuerde el dominio y rango de las funciones trigonométricas inversas que son válidas para la resolución de ecuaciones. En reiterados problemas será necesario interpretar las soluciones de una ecuación o inecuación, por ello se sugiere la construcción de gráficos de funciones. ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA ¿Qué es una ecuación con una incógnita? Sean f y g dos funciones, a la igualdad de dos funciones con una misma cantidad variable, es decir f(x) =g(x), se denomina ecuación con una incógnita. La variable x que figura en la ecuación se denomina incógnita y los valores de x que la satisfacen se llaman soluciones de la ecuación. A continuación se presentan ejemplos de dos funciones que relacionan a una ecuación:... Una ecuación se llama algebraica si cada una de las funciones contenidas en f(x) y g(x) es algebraica (racional o irracional), donde además una de estas funciones puede ser constante. Los ejemplos del 1 al 4 son ecuaciones algebraicas. Una ecuación se llama trascendente si por lo menos una de las funciones contenidas en f o g no es algebraica. Los ejemplos deiS al 8 son ecuaciones trascendentes. ¿Qué es una ecuación trigonométrica? En primer lugar, una ecuación trigonométrica es de tipo trascendente cuando cada una de las funciones contenidas en f(x) y g(x) son funciones constantes o funciones trigonométricas de la forma... ¿Cómo reconocer una ecuación trigonométrica? En una ecuación trigonométrica se verifica que los arcos o ángulos de la forma x, ax o (ax+b), se encuentran afectados siempre de algún operador trigonométrico, como sen. cos, tan, etc. Ejemplo... sí es ecuación trigonométrica. no es ecuación trigonométrica (porque X2 no está afectado por ningún operador trigonométrico). 3. tan 2 ( X + ~ I+ 1= tan x sí es ecuación trigonométrica. es identidad, ya que la igualdad se cumple vx e lR scn(cosx)-x = O no es ecuación trigonométrica. La mayor parte de este capítulo está abocado a resolver ecuaciones trigonométricas. Para esto, partimos de la ecuación trigonométrica elemental. ECUACiÓN TRIGONOMÉTRICA ELEMENTAL Es de la forma Fl'(ax+b) = N"; donde a, b y N son constantes reales y x es la variable o incógnita; además él :;t:O Y N debe tomar valores correspondientes a la FT (por ejemplo, si FT fuese el operador seno. entonces NE [-1; 1]). A continuación se presentan ejemplos de ecuaciones trigonométricas elementales Antes de plantear reglas generales para resolver una ecuación trigonométrica elemental, resolveremos algunas de estas, sin necesidad de ninguna regla (utilizaremos definiciones en ci rcunferencia trigonométrica). Ejemplo 1 Resuelva la ecuación sen x =.!. 2 Resolución n 5n Los valores ele x que resuelven la ecuación están dacios por 6, 6 y sus respeclivos cotcrminales (véase figura 8. 2 ). y (a) y {b) Figura 8.2 . n n n n n es decir x = ... 6; n-6; 2rc+6; 3rc - 6; 4n+ 6; ... En general x = krc+( -l)k~; k E Z. 6 .---- 1 r8 Observac!~n y (e) Las soluciones de la ecuación senx= .!. , son las abscisas de los puntos de intersección entre las gráficas 2 1 de las funciones f(x)=senx y g(x)= - ;veamos: 2 y - 1 ' ) Figura 8.3 Ejemplo 2 Resuelva la ecuación cos2x = - ~ Resolución J2 Te niendo en cuenta la observación ante rior, las soluci ones de la ecuación cos2x=-2 serán J2 las abscisas de los puntos de intersección entre las gráficas de las funciones f(x)=cos2.x y g(x)=- 2 ; (véase figura 8.4). Entonces En general y r f(x) = cos2x {2 2 Figura 8.4 x- 3n 3n 3n 3rr 3rr - . . . - rr +-8~·· Orr-+~8 ·· rr-+~8 ·· 2rr-+~8·· 3rr-+~8 ·· ··· 3n X= krr± ~; k El 8 Expresiones generales para todos los casos en una ecuación trigonomé trica elemental X l. Si senO = N , entonces un valor de 8 es are sen(N), en general el valor O se puede expresar por: 8= krr+( - l)karcsen(N); kEl 11. Si cosO = N, entonces un valor de O es are cos (N), en general el valor de e se puede expresar por: e= 21m ± arccos(N); k El 111. Si tan B =N, entonces un valor de O es are tan (N), en general el valor Deducción gráfica de la fórmula III, en efecto graficando las funciones y=tane e y=N 8 Figura 8.5 De la figura 8.5, si tan e= N, entonces las soluciones de la ecuación dada son las abscisas de los puntos de intersección entre las grá11cas dey=tan e e y=N(considerandoaN>O),por lo tanto 8=-n+a; Ün+a; n+a; 2n+a; .. . como 1L O< a<- 1="" 2="" 2x="krr" 3="" a="" anterior="" arco="" arcscn="" as="" ax="" b="" de="" del="" despejar="" donde="" e="kn+arctana" ecuaci="" ejemplo="" elemental="" en="" expresiones="" forma="" ft="" general.="" general="" generales="" gnita="" hallando="" hallar="" iguala="" inc="" j="" k="" la="" las="" lo="" n="" observaci="" para="" realiza="" regla="" resoluci="" resuelva="" se="" sen2x="2" seno.="" siguiente:="" soluci="" tan="" trica="" trigonom="" una="" x="">,......-----"' rr ( , 1 n j 2x=krr+(-l)kG ... l seusoarcsenz="6 ) Despejando x X= kn + (- l)k ~ . k El . . 2 12 ' Ejemplo 4 Resuelva co/ 3x- ~ ) =- J2 \, 6 2 Resolución Identificamos la forma general del arco en coseno 3x- ~ = 2krr ± arccos( -~ J '-------.,....--------' 3x - ~ = 2krr ± ( rr- arce os;:; J se usó arccos( -N)= rr - arccosN Operando rr 3rr 3x --= 2lm±- 6 4 3rr rr ~ 3x =2lm±-+- 4 6 Despejando x 2krr rr rr :. X=--±-+- . k El 3 4 18 ' Resuelva tan(~+ 2:) = J3 3 4 Resolución ldentiricando la forma general del arco en tangente. X 1! r;:; - +- = lm + arctan( v3) 3 4 --------~ X 1! 1! -+- = kn+- 3 4 3 ( se usó arctan J3 = i ) Operando X 1! = kn+ - 3 12 Despejando x obtendremos . . X = 3kn + ~ ; k E l. 4 ¿cómo resolver una ecuación trigonométrica que no es elemental? Si una ecuación trigonométrica no es de la forma elemental, aplicaremos las identidades trigonométricas para obtener un mismo tipo de arco y operador trigonométrico (en lo posible); luego se realizan operaciones algebraicas para reduc irl a y finalmente aplicamos los procedimientos para resolver una ecuación trigonométrica elemental. No existen reglas generales para transformar una ecuación trigonométrica dada a la forma de , una ecuación trigonométrica elemental. Cuando se haya logrado una solución por medio de una elevación a alguna potencia de los dos lados de la ecuación o por medio de multiplicaciones o divisiones de expresiones que comprenden a la variable, debemos comprQ.b ar cada solu ción potencial por medio de sustituciones dentro de la ecuación. Las soluciones potenciales que no satisfagan la ecuación son rechazadas, estas se denominan soluciones extrañas. Los ejercicios que se dan a continuación muestran algunas clases de soluciones de ecuaciones trigonométricas. Ejemplo 6 Resuelva la ecuación senx+ cosx=- 1, para O::; x::; 2n Resolución A partir de la ecuación senx+cosx=-1 (senx+cosx)2 = (-1)2 1 +sen2x = 1 revise sen2x = O ... elevando al cuadrado se obtiene ... para su mayor comprensión identidad de arco doble ~ 2x = kn+( - 1)' arcsen(O) '-----y---' 2x = kn + ( -1)' O ... ya r¡ue are sen(O)=O Despejando x se obtiene kn X=2- .) k E l. como O::; x::; 2n , tenemos X= 0·, ~· TC' 3 TC. 2n 2' ) 2' . .. posibles soluciones A continuación, dichas soluciones tendrán que ser comprobadas en la ecuación original (senx+cos.x·=-1) senO+cosO = 1 :t:: - 1 ... x=O, solución extraña (no verifica) rr n n sen2+ cos2 = 1 i:: - l ... x= 2, solución extraña (no verifica) sen n + cos n = - 1 ... x = n , es solucióA (si verifica) sen-+cos-=-1 2 2 3rr x = 2 , es solución (si verifica) sen 2rr + cos 2rr = 1"' - 1 x = 2rr solución extralia (no veri fica) Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación scnx+cosx=-1 ; tal que O ~ l.' ~ 2rr , es { rr ; 23r r} ---- ------ ¡ --- ___ J Ecuaciones trigonométricas usuales con sus respectivas soluciones generales (k E l ) l. senH = 0=:}8=krr 11. sen O= 1 =:} O= 2krr + rr 2 111. senH=-1=:} 8 = 2krr+ -3rr 2 Ejemplo 7 rr v 8 = 2krr - 2 Resuelva la ecuación sen2x=cosx Resolución A partir de la ecuación sen2x= cosx, se obtiene rr IV. cos0=0 =:} 0 = (2k+l)- 2 V. cos0=1=:}0 = 2lm VI. cosO=-1 =:} O= 2krr + rr 2senxcosx = cosx => 2sen.xcosx- cosx = O ~ cosx(2sen.x-I ) =O o o o utilizando scn2x=2sen.rcosx o o o descomponiendo en fac tores => cosx=O v 2sen x - 1= 0 rr 1 =:} x = (2k + D-; k E l v senx = 2 2 rr ~rr =:} X = (2k + l)- v=> x= krr+(-1) - .. o(dc l ejemplo l ) 2 6 Por lo tanto, el conjunto solución de sen 2x = cosx, es{(2k + l )~ u krr+ (-1 )~ ~ j k E z} Ejemplo 8 R 1 1 o , , x 2 X csue va a ccuac1on se e-= tan - 3 Resolución Expresando a senos y cosenos X 2sen - 3 X cos- 3 de lo anterior se observa que cos ::_;;: O, entonces 3 x n -=;: (2k+l)-; kEl - 3 2 X Ahora, si podemos cance lar cos - en el 3 denominador , obtenemos 1 X X X --= 2sen - ==> 1 = 2sen-coscos ::_ 3 3 3 3 2x ::::> sen- =1 3 ==> -2x = 2k n+ -n 3 2 3n . . X = 3krr+- ; k E l 4 Da do que \;/x =31m+ -3n¡ k E z , se cumple que 4 X COS-"t: 0 3 podemos concluir que el conjunto solución es {3kn+ 3 4 n} O , 2 x 2 x tro me todo para resolver sec ·-- = tan -- 3 3 2 X X ==> 1 + tan - = 2 tan - 3 3 e empleando la identidad sec2 e = 1 + tan2 o) Pasando todo al primer miembro ¿X X tan - -2 tan-+ 1 = O 3 3 2 ==> ( tan f-1 J = O ==> tan f -1 = O ==> tan -X = 1 3 ==> ::_ = kn+arctan(l ) ·, k E l. · are tan 1 = ~ 3 - , 4 3n . . X= 31m+ -4-- ., k E l Ejemplo 9 Halle el conjunto solución que veri fica la siguiente ecuación trigonométrica sen7x==cos4x. Resolución Cuando se tiene la igualdad entre el operador seno y coseno, se cumple i) ii) n 7x + 4x = (4k+1)-; kEl 2 rr => X=(4k + l) - ... (1) 22 1! 7x - 4x = (4n + l)-; nE Z 2 1! => X = (4n+ 1) - ... (2) 6 De (l ) y (2), el conjunto solución será : . x={(4k + 1)~;(4n + l)~}; n; k E l. 22 6 Para entender un poco más al respecto revise la página 368. Ejemplo 10 Halle las soluciones de la siguiente ecuación sen2x + CO'S-'(-1 == O; que verifiquen O~ x ~ 2rr Resolución 1- COS 2 X + COSX- 1 =0 ==> cosx- cos2x = O ==> cosx(cosx-1)=0 ==> cosx=O ó cosx= 1 ... (por la identidad sen2x= 1-cos2x) Como O::; x ::; 2rc , tenemos cosx=O ==> x = n/2 ; 3n/ 2 y de cosx= 1 ==> x=O; 2rc Porlotanto,el conjuntosolucióncle sen2x+cosx-1=0 tal que O::; x::;2rc , es {o ; ~ ;3 2 rc;2rc} Ejemplo 11 Resuelva la ecuación 2senx+ cotx=csc:x Resolución cosx 1 2senx+--=-senx senx ... l1 por las identidades cotx = -c~-x y cscx = -1- ). senx senx De lo anterior, se observa que sen x =1- O , entonces x =1- kn / k E 1 multiplicando por senx a los dos miembros ele la ecuación obtenemos 2sen2x+ cosx= 1 2(1-cos2x) +cosx= 1 .. . (usando sen2x= 1-cos2x) 2 ==> 2cos x - cosx-1 =O ==> (2cosx+ 1 )(cosx-1 )=O Igualando cada factor a cero 1 2rc J3 cosx = -- ==> x = 21m ± - 1\ senx = ±- 2 3 2 o cosx =I ==> x =2kn 1\ senx =O ... (cumple con la condición senx =1- O) ... (lo cual no es solución, dado que de la restricción inicial se obtuvo senx =1- O) Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación 2senx+cott=cscx es {21m± 2 3 n / k E 1} ¡;---:-----·----------------------·------------------ ' ' !r ~~~~.,_ ...o b servae~.o. n · .. ! ---_ . :..c-..=-'~ ""~ ~ ~- -- ~--"- ---~---=-- -=--=-- -- _- _:__~---::::::=---=- -- ::~ --~-- ~---- --~ ........... -- ....._ _ ....... ~........._ ~- - --J Para resolver ecuaciones trigonométricas de la forma ascnx+bcosx=c se debe tener en cuenta que asenx+bcosx=-fa2+b2 sen(x + O) ; donde tanS;=:~ . a Ejemplo 12 Re sue lva scnx+cosx= 1 Re solución mulliplicando por ~ los dos miembros, obtenemos .,¡'2 1 1 1 1 o 'd 1 sen.x J2 + cosx J2 = J2 se 1a susl!tUJ o J2 por 11: 11: J2 => senxcos-+cos.xsen- = - 4 4 2 => sen( x + ~ ) = J2 4 2 11: 11: cos - y se n - convenienteme n te. 4 4 => x + ~ = kn+( - 1)~ are sen( J2 ). 4 2 , . .. solución de una ecuación trigonométrica elementa l => x +1-1: = lm+ ( - 1) ~11-: 4 4 '1' o ( J2 ) . . . se ut1 IZO a rcsen l2 = ¡11 : kn n :. X = kn + ( -1) - - - ; k E 1 4 4 Pero el ejemplo se puede resolver de otra forma i) s....e....n..,.._x. + .c__o_,s_.x... = 1 => (cos x;senx) = (0;1) 1 11 ii) .s...e....n..,.x_. + c.__o_,s_.x... = 1= > (cosx;scnx) = (1;0); () 1 :. Para senx + cosx = 1 CS: x = {; +2Knu 2Kn }; KE 1 : ¡-~-------------------------------- Este p unto e n la C.T. es e l extrerno de todos los arcos de la forma x= ~ + 2Kn, k E 1.. 2 Este punto en la C.T. es el ext remo de todos los arcos de la fo rma x = 2Krr queda para e l lector la resolución d el eje mplo 6 en forma análoga. ~~- ~bserva~ión_ J '" . .. -·_.. - -- - · -- - ·-· ·-· ...... --.. 00 - -·--·---·---·--· - - .. ----------1 La solución general de una ecuación no tiene fotma única veamos: sen( x + ¡ ) = e os[% -r x + ¡ ) J = e os( ¡ - x ) Por identidad e os( CJ.- ~) = cos(f)- a) entonces se obtiene que sen( x + ¡ J = e os( x - ¡ ) Luego, en la ecuación elemental del ejemplo 12 senx+cosx= 1 ==} sen( x + ¡) = ~queda cos( x -¡ J = ~ De donde, si aplicamos la forma general de los a rcos en cose no, obtem'mos x - ~ = 2kn: ± arceas( J2} rr n 4 2 :. x=2kn± - +-; kE 1.. 4 4 Los conjuntos {kn + ( - Ok ~ - !~.j k E z} y{2kn ± .!!+~/ k E z} son conjuntos equivalentes, dado que tienen 4 4 . 4 4 los mismos e lementos, por tanto, ambos expresan el conjunto solución de la ecuación Ejemplo 13 Resuelva la ecuación senx+ J3 cosx = - J2 Resolución Dada la ecuación sen x + .fj cos x = -J2 1 2 .J3 J2 senx+ cosx = -- 2 2 1 ... multiplicando por 2 a ambos miembros. obtenemos 1! 1! J2 senxcos- + sen - cosx =- 3 3 2 1 .}3 ... susti tuyendo 2 y 2 1! 1! por cos y sen , :3 3 sen( x + n. l = - J2 respectivamente, en el primer miembro convenientemente :3 J 2 ... por identidad de arcos compuestos x + ~ = kn +( -1) ' arsenl _ J2 ) ... solución de una ecuación trigonométrica elemental 3 . 2 x+~=kn+(-1)' ( -¡) ... se uti'1iZ' O' arcsen ( - 2J2 )= -¡1! Despejando x se obtiene J-1! 1! . . X=lm-(-1) - . k E l. 4 3' ¡ ~. Nota Histórica El profesor Scipión del Ferro ( 1496- 1 S2G) de la Universidad de Boloña (Italia) encontró una fórmula para la búsqueda ele una raíz positiva de las ecuaciones concretas de la forma x3 + px=q (p>O, q>O). Él la mantuvo en secreto reservándola corno arma contra sus contrarios en las disputas científicas. Al final de sus días comunicó este secreto a su pariente y heredero en el cargo Anníbal Dc11a Nave y a su alumno Fiore. A comienzos del año 1 S35 debía realizarse un duelo científico entre Fiare y Nicolo Fontana, conocido con el apodo de Tartaglia. debido a su tartarnuclcz, consecuencia de un golpe en la cabeza durante su infancia. Este último era un científico talen toso, procedente de una familia pobre, que se ganaba la vida con la enscí'lanza de la matemática y la mecánica en las ciudades del Norte de Italia. Conociendo que Fiore poseía la fórmula de Ferro, y habiendo preparado a su contrincante con problemas solJre la resolución de ecuaciones cúbicas, Tartaglia fue capaz de descubrir nuevamente esta fórmula, la que le permitió la victoria en la disputa celebrada el 12 de febrero del año 1535. El método de Tartaglia, como al parecer también el de Ferro, consistía en la elección de la fórmula adecuada en la irracionalidad algebraica para la expresión " ele la raíz ele las ecuaciones del tipo indicado anteriormente, i l+px=q (p>O; q>O). Suponiendo que x = ~-~,sustituyendo esta expresión en la ecuación 'l y poniendo p=3~ él obtuvo el sistema ~~ - v=q: pv=~ 27 p Interpretando a p y v como raíces de una ecuación cuadrática, Tartaglia halló ~~ = ~( ~ r + ( ~ r + % ; V = ( ~ f + ( ~ r ~ Así, en poco tiempo, Tartaglia pudo resolver la ~uaci ón de la formax:1=px+q (p>O; q>O) con la sustitución x=~ + ~. Ntcolo Fontana Tortoglto ( 1500 - 155 7 Sean las funciones y=f(x) e y=g~x-) cuyos dominios son Domf y Domg, respectivamente. Ahora, la solución de la desigualdad f(x) > g(x) serán todos los números pertenecientes al campo Domf n Domg donde cada número verifica la desigualdad propuesta. De una manera similar se resuelven las desigualdades f(x)O; senx- cosx ~ O. Si f(x)=tan2 ( 2x - ¡ ). g(x)= 1; luego las desigualdades que se pueden generar, serían las siguientes: tan2 ( 2x - ¡ )< 1; tan2 ( 2x -¡ J:::; \; tan2 ( 2x -¡) > 1; tan'( 2x - ¡ )~ 1 Si f(x)=cos3x-l; g(x)= sen:¡ 3 ;'· ; luego las clesigualclades que se pueden generar serían las siguientes: ¡ 3x 3 3x 1 3x ¡ 3x cos3x-l sen· -; cos3x- l ~ sen - 2 2 2 2 Si f(x)=sen(Rx), g(x)=cos(Mx); luego las desigualdades que se pueden generar serían las siguientes: sen(Rx)cos(Mx); sen(Rx) ~ cos(Mx). lCómo se resuelve una desigualdad trigonométrica? Graficando las funciones f(x) y g(x ), se pueden hallar las soluciones de las desigualdades anteriores (f(x)> g(x) ; f(x) g(x) f(x)g(x), tenemos x = (x1 ; x2 ) u (x3;+oo) IV Para la desigualdad f(x) :<:::: f="" fi.="" g="" plantea="" se="" x=""> x = (-oo;x1) u (x2;x:1) 1 o 111.f(x) = g(x) => x={x1;x2;xJ y uniendo dichos conjuntos obtenemos x = ( -oo;x1lu [x2;x¡] V. Para la desigualdad f(x) ~ g(x), se plantea l. f(x) > g(x) => x = (x1;x2)u (x3;+oo) o l l.f(x)=g(x) => x={x1;x2;x3 } y uniendo dichos conjuntos obtenemos x=[x1 ;x2]u[x1 ;+oo) y [ ~ Observación ..... ·'--:_ :...= =_=_,=-=~"''"-" _····· ·_···-·-~ ·-~-- ·-··----·--=:::.::.---=---=-~- -··- ··--·- --·-·-·. Para justificar la solución de la desigualdad f(x) > g(x), simplemente hemos realizado la comparación entre las ordenadas de f y g para cualquier valor del dominio x; en el intervalo de x 1 hasta x2, véase la figura 8. 7. Para abreviar razonamientos, se dice que la solución de una desigualdad generalmente se cla por intervalos, ya que en realidad se sobreentiende que la solución es cualquier valor en dichos intervalos. Ejemplo 14 Resuelva la desigualdad sen x > _!_ 2 Resolución 1 Se construye la gráfica de f(x)=~enx y g(x)= 2 (véase figura 8.8), entonces planteamos f(x)>g(x). La desigualdad en cuestión se satisface para todas aquellas x donde la gráfica ele f se ubica por encima de la gráfica de g. y r f(x)=senx f----~ T= 2n - ---1 Figura 8.8
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