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ECUACIONES TRIGONOMETRICAS PROBLEMAS RESUELTOS
















1)Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica...
Resolución
Se ha usado...
operando  dividiendo ambos miembros por (3)
....
Empleando degradación...
reemplazando tenemos senx(2cos2x-1) =0
Igualando cada factor a cero...
Por lo tanto, la solución general de la ecuación
es:.
Problema 2
Resuelva ...
Resolución
Se ha utilizad.... operando
 ... degradado por dobles
1-cos2x = 1 => cos2x = O
2x = 2kn ± a rccos(O)
(expresión general para el arco en coseno)
2x = 2kn ±% ( se sabe que arccos(O) = ~ J
1t
. . X = kn ± - ; k E Z
Otra forma de hallar la solución general de la
ecuación anterior, es utilizando circunferencia
trigonométrica.
Figura 8.12
Como

Calcule la suma de soluciones de la ecuación
e os 6x = ( ese 2x
1 + sen6x J
sec2x
que verifiquen O::;; x ::;; n
Resolución
6
r
1 +sen 6x l 1 COS X=
1 sen2x
cos2x
De lo anterior, es obvio que cos2x =f. O y
sen 2x =f. O. entonces operando tenemos
6
cos2x(l+sen6x)
COS X=----- --
sen2x
sen2xcos6x= cos2x + sen6xcos2x
0=cos2x+sen6xcos2x- sen2xcos6x
sen 6x e os 2x - sen 2x e os 6x +e os 2x =O
sen(6x- 2x) +cos2x =O
sen4x+cos2x=O
2sen2xcos2x+ cos2x=O
cos2x(2sen2x+ 1) =O
==> cos2x =O ó
... 1
sen2x = - -
2
Pero, inicialmente
e os 2x =f. O 1\ sen 2x =f. O
entonces, nos quedamos con la ecuación
sen2x = -
1
2
Como O::;; x ::;; n , e ntonces O::;; 2x ::;; 2n, por lo
tanto, las únicas soluciones posibles de 2x sE>rán
( \ er figura 8. 13)
y
C. T.
X
Figura 8.13
7n 11n
2x=-· v 2x=-
6 1 6
7n 11n
x =-·vx=-
12 1 12
Por lo tanto, la suma pedida será
7n 11n 3n
-+-=-
12 12 2
Problema 6
Resuelva la ecuación senx+tan8cosx = 2sen8
donde O es un valor conocido.
Resolución
senO
sen x +--cosx = 2sen0
cose
sen xcos8 + cosxsenO = 2sen8cos0
sen(x +O)= sen 20
Como un valor de (x + 8) es 28, podemos
generalizar de la siguiente manera
x+8 = kn+(- 1)k28 ; kEZ
: .x= kn+( - 1)k28 - 8;kE l


1t cos2x=0=> 2x=(2k+l)-
2
1t
:. X = (2k + 1) -; k E l
4
lj!ji, Nota .
X
C. T.
Los conjuntos {kn±~nó {C2k+1)¡} , donde
k E Z son equivalentes, es decir, tienen los
mismos elementos. Entonces, la respuesta a este
problema podría ser cualquiera de estos dos
conjuntos.

Luego sen(2x + 8) = J5
=> 2x + 8 = kn+ e -l)k arcsen( )s J .. . (!)
(expresión general para el seno); arcsen ~ =~-8
'-15 2
Reemplazando en 1
2x+e = kn+c-nk ( ~ =- e j
Si k=-2=>x=-n+~-~-~=- 3 4 2 2 4n -8 .. .} e!-rc1, 1]
11 e e n
Si k=O=>x=O+-----=--e
4 2 2 4
2n n e e Sn
Si k = 2 => x = - +----- = --e
2 4 2 2 4
(véase figura 8.14(b))
616
E [-11;n]
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación
3sen2x- cos2x- 2scnxcosx=O
que verifican
-11::; x::; n
son
{
- 311 . ~ _ 0 . ~ . Sn _e}
4 '4 '4, 4 ;
donde
8 = arctan(2)
C. T.
(b)
y
(e)
Figura 8.14

Otro método
Como la ecuación 3sen2x-cos2x-2senxcosx=O
no se verifica para todo x = (2k+l)~;k El,
2
entonces podemos dividir a ambos miembros por
3sen ~ x cos2 x 2senxcosx O
cos2 x - cos2 x- cos2 x cos2 x
~ 3tan2x-l-2tanx=O
~ 3tan2x-2tanx-1 =O
~ (3tanx+ l)(tanx-1)=0 ...
1
~ tanx =-- ó
3 tanx= 1
x = kn+arctan( -±J ó x = kn+ arctan(l)
Expresión general para la tangente
1 7t x=kn - are tan- ó x = kn+-
3 4
Hallando algunas soluciones de
Si x = kn- arctan .!_ (Véase f~ura 8. 14( e))
3
1
k= - 1 ~ x= -n-arctan -
k=O
k = 1
1
~ x = - arctan-
3
1
~ x = n - arctan -
3
3
1
k= 2 ~ x = 2n - arctan -
3 -l
Tambié n de x = kn + ~
4
Si
3n
k= - 1 ~x=--
4 7t
k=O ~ x=-
4
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación
3sen2x - cos2x- 2senxcosx=O ; que verifican
-n ~ x ~ n , serán
{
- -3n · -arctan1- ·n- · n -arctan -1}
4 ' 3 '4' 3
Los conjuntos
{- 3rr . .:: - e . .:: . 5n - e} y
4 '4 ' 4' 4
{
-3-n · - arctan -1 · -rr · rr - arctg -1 }
4 ' 3 ' 4' 3
donde e= arctan(2) ' son equivale ntes ya que
1 1 7t
are tan - +are tan - = -
Como
3 2 4
1 7t 1
~ arctan - =--arctan -
3 4 2
1 7r
~ a rctan - = - - arccot (2)
3 4
~ arctan -1 = -7t -[-7t -arctan (2)]
3 4 2
1 7t
~ a retan 3 =-4 + arctan (2)
e= 1 7r arctan (2) ~ arctan - = - - + 8
3 4
Por lo tanto
1 re 1 5re
-arctan - =--e y re- arctan- = - -e

Resuelva 2senx + cosx-2tanx= 1
Resolución
Ira. Forma
2senx + cosx - = 1 2 sen x ( pasando a )
cos x . . . senos y cosenos
Nótese que cosx 1: O, entonces multiplicando por
cosx ambos miembros tenernos
2senxcosx + cos2x-2senx= cosx
:=} 2senxcosx-2senx+cos2x- cosx=O
:=} 2senx(cosx-1) +cosx(cosx-1) =0
=> (cosx- 1) (2senx+cosx)=O
Igualando cada factor a cero
=> cosx-1 =O ó 2senx+cosx=O
1
cosx= 1 ó tanx = - -
x = 2kn ó
Como
'í!x = 2kn
2
1
x = kn - arctan - ; k E "l.
2
1
ó x = kn-arctan -
2
donde k es un entero, se verifica que e os x 1: O ,
entonces concluírnos que la solución general de
la ecuación a resolver es
{ 2kn u kn- arctan ~} ;k E 7L
2da. forma
Utilizando las identidades (triángulo de arco doble)
2 tan ~ 1 - tan 2 ~
senx= 2 cosx= 2
1 +tan2 ~ 1 +tan2 ~
2 2
2tan ~
y tanx----=2 -
1- tan2 ~
2
reemplazando en la ecuación a resolver,
tenernos
4 tan ~ 1- tan 2 ~ 4tan~
---=2- =1
1- tan2 ~
-----=-2-+ ---=-2
1+ tan 2 ~ 1+tan2 x
2 2
2x 1 + tan 2
2
4 tan ~
---=2- =1
1- tan2 ~
2
Realizando operaciones elementales, se llega a la siguiente ecuación
tan4 ~ - 4 tan3 x - tan2 x =0
2 2 2
=> tan2 x ( tan2 ~ - 4tan x - 1)= 0
2 2 2
=> tan ~ = O ; {tan ~ = 2 + J5 v tan~ = 2 - J5} 2 2 2
~ = kn ; { ~ = kn + arctan ( 2 + JS) v ~ = kn + arctan ( 2- JS)}
x = 2kn ; { x = 2kn + 2 arctan ( 2 + .JS) v x = 2kn + 2 arctan ( 2 - .JS)}
Por lo tanto, la solución genera l de la ecuación a·resolver será
{ 2kn u 2kn + 2arctan(2 +JS)u 2kn +arctan (2 -.JS)};k E 7L


Las soluciones generales o conjuntos solución,
obtenidos en los dos métodos de solución del
problema (9) son equivalentes.
Problema 10
Resuelva la ecuación
2( cosx- senx) + 1 O senxcosx-5 =O
Resolución
Si hacemos que cosx-senx=a; e ntonces por
identidades fundamentales sen x cos x = l - a
2
2
reemplazando en la ecuación por resolver,
tenemos
[
1 a
2
2a + 1O - 'J
2
- - 5 = O
~ 2a - 5a2 =O
~ a(2-5a) = O
Igualando cada factor a cero
=> a = O o' a=2-
5
Pero a=cosx-senx, además por identidades de
arcos compuestos tenemos
cosx - senx = .ficos( x+¡)
~ COS ( X + 41t ) = Ü O' COS ( X+ 41t ) = SJ2
~ x + -1t = (2k+ l)-1t o' x + -1t= 2kn±arcco('sJ2-]
4 2 4 5
~ x = kn + ~ ó x = 2kn±arccos( J2 J- ~ ·1
4 5 4
Finalme nte la solución genera l de la ecuación
propuesta es
Problema 11
Resuelva el sistema de ecuaciones ¡ 1- tan x = tan y
l+ tan x
1t
x-y =-
6
Resolución
De la segunda ecuación tenemos y = x - ~ , luego
reemplazando y e n la primera ecuación, tenemos
_1-_ta_n_x_ = tan ( x - ~ J
1 + tanx 6
tan (¡-x J = tan ( x- ~ ) ... se utilizó la identidad
de a rcos compuestos en el primer miembro.
~ sen( 2x - ~; ) =O;
5n
~ 2x - - = lm; k E Z
12

de donde despejando x se obtiene
kn: Sn:
X=-+-
2 24
Como
n:
y=x - 6'
entonces
kn: n:
y= 2 + 24
Por lo tanto, las soluciones del sis tema a
resolver son las siguientes
kn Sn: kn n
X =T+ 24 ;y=2+ 24; (kE Z )
Problema 12
Halle todas las soluciones del sistema
Jisenxlseny=-1/ 4 ... (1)
l cos(x + y)+cos(x-y) = 3/ 2 ... (2)
que satisfacen las condiciones
0<x<2n, n:<y<2n
Resolución
Si sen x >O, entonces O<x<n y isenxl = sen x,
entonces en la ecuación ( 1) obtendremos la
ecuación senxseny=-1/4 ... (3)
En la ecuación (2), por transformaciones en el
primer miembro se tiene
3 3
2cosxcosy =- ~ cosxcosy = - ... (4)
2 4
Sumando ( 4) con (3) y restando ( 4) con (3)
respectivamente formamos el siguiente sistema
r 1
t os(x-y) =2
i cos(x+ y) = 1
de donde se obtienen
1t x - y= 2kn: ± - ; x + y = 2nn,
3
siendo k y n números enteros.
Como O<x<n: ( para el caso senx>O) y
n: < y< 2n, tenemos que
-2n: < x - y < O ó n<x +y < 3n:
Entonces de
1
cos(x-y)=-
2
tenemos que
n: ' 5n:
X- y= -- O X- y=- -
3 3
y de cos(x + y) = l
tenemos que x+ y=2n
De esta manera, obtenemos dos sistemas
algebraicos lineales
{
x - y= - n: / 3 y { x-y=-Sn/ 3
X + y = 2n: X +y = 2n:
De donde tenemos dos soluciones del sistema
inicial
n: lln:
X=- · y=-
6' 6
En el problema 12, no se tiene la posibilidad de
eliminar directamente una de las incógnitas, pero
el sistema considerado allí se convierte
simplemente en una forma que permite encontrar
algunas soluciones que satisfacen condiciones
complementarias. La particularidad de este
problema consiste en que no interesan todas las
soluciones del sis tema.
Problema13
Resuelva la inecuación
sen2x > cosx

Resolución
En la figura se han construido las gráficas de las
funciones f(x) = sen2x y g(x) = cosx; la inecuación
sen2x>cosx se satisface para todos aquellos x,
donde la gráfica de f se halla por encima de g
(sin considerar los puntos de intersección).
Las abcisas de los puntos de intersección
las hallamos resolviendo la ecuación
sen2x = cosx ~ 2senxcosx = cosx
~ cosx(2senx- 1) =O
1 n Sn
senx=-2 ~ x = ... -6·' -6
y
g(x)= cosx
-1t
Periodo común a f y g es 2rc
Figura 8.15
2rt
X
Como el menor periodo común de f(x) y g(x) es
2n , bastará con resolver por ejemplo en el
segmento desde -n hasta 3n ;(véase figura 8.15)
2 2
jn n) jSn 3n) donde la solución es \6; 2 u\ 6 ; 2
Por lo tanto, la solución general de la inecuación
sen2x > cosx , será
Problema 14
Resuelva la desigualdad senx > cos2x
Resolución
Para que la desigualdad por resolver esté en
términos de se nx, utilizamos la identidad
cos2x= 1-sen2x, obteniendo la inecuación
(equivalente a la anterior)
senx > 1- sen2x
sen2x+senx-l >O
Por solución de una inecuación de segundo grado,
se obtiene en el primer miembro
[s enx+1+-.J5][ .J5-1J
2 -
senx--
2 -
>0
Además
senx < - [
1
+
2.J5l .J5 -1 ó senx>--
2
Como - 1 s; senx s; 1, entonces, intersectando
conjuntos
.J5 - 1
--<senx s-; 1
2
La solución de la desigualdad anterior que viene
a ser la misma solución que la desigualdad inicial,
la deducimos de la figura 8.16(b

Entonces la solución de la desigualdad - 1 ~sen 2x ~} considerando x :t. { ~; 3
2
n} y O< x < 2n , nos
dará la solución solicitada. Para esto nos ayudamos de la figura 8.17(b)
y f(x)=sen2x L
(b)
Figura 8.17
Entonces, la solución de la inecuación inicial, considerando
Problema16
0 < X < 2n y X ::f. 2: . 3 2: 2, 2,
Resuelva la siguiente inecuación
sera, x =/\ O; ln2] u [S}r2c ;1}32rc] u [ l127n; 2n)
tan 2 x - -1
3 >0 J3 -(senx+cosx)
Resolución
X
Como el denominador del primer miembro de la inecuación es positivo VCJ.E IR (esto se deduce de la
propiedad -.J2 :<:::; senx+cosx :<:::; .J2, vista en a rcos compuestos); entonces el respectivo numerador
también deberá ser positivo, por lo tanto resolver la inecuación inicial es lo mismo que resolver la
inecuación
2 1 2 1 J3 J3 tan x-- > O => tan x > - => tan x < -- ó tanx>
3 3 3 3
Las soluciones de las inecuaciones anteriores, las deducimos de la figura
---~

Igualando cada factor del numerador a cero, tenemos
tan x = 1 ; sen 2x cos 2x = 1 ; sen x cos x = 1
Como es sabido
1 1
-- ~ senxcosx ~- entonces solo consideramos la ecuación tanx= 1
2 2'
Las soluciones de la ecuación anterior serán las soluciones de la ecuación f(x) = g(x), entonces
considerando O< x < 5n , tendremos que estas soluciones son
x=n/4; 5n/ 4; 9n/ 4; J3n/4; l?n / 4 ... (5 soluciones)
Por lo tanto, el número de puntos de intersección pedido será 5
Problema lB
Calcule el número de soluciones de la ecuación sen2x= 2x; que satisfagan -2n ~ x ~ 2n
Resolución
Al graficar las funciones f(x) =sen2x y g(x)=2-', por cada punto de intersección de estas gráficas se
tendrá una solución de la ecuación sen2x=2"'. (Ver figura 8. 19)
y
-1
Figura 8.19
De la figura 8.19 anterior, como el número de puntos de intersección entre las gráficas de f y
g son c uatro ; entonces por lo expuesto, el número de soluciones de la ecuación
sen2x= 2' que satisfacen - 2n ~ x ~ 2n , será también cuatro.
Problema 19
Calcule el número y suma de soluciones, de la
ecuación
X X 9sen--- =O
2 2
Resolución
La ecuación planteada es equiv

Por álgebra, la discriminante de la ecuación cúbica
x3 +px+q=0 es L\.=(~J +(fJ;entonces
Si t.::,.< O, la ecuación tiene tres soluciones reales
Si L\.= O , la ecuación tiene tres soluciones reales
pero dos conjugadas
Si Ll.> O , la ecuación tiene una solución real y dos
soluciones complejas conjugadas
Según la nota, la ecuación
x 3 - 12x+8 =Ü
tiene tres soluciones reales, ya que
( Sj2
( -12 )
3
L\.= l 2) + 3 = -48 <o
Como
x = asen8=4sen8 (ya que a=4)
tendremos que encontrar tres valores diferentes
para sen G
Asignando en (3), a k los valores O, 1, 2, 3, 4,
obtenemos
e = 1 oo ; 8 = soo ; e = 130° ;
8 = 170° ; e = 2soo
y así sucesivamente asignandó a k los valores 5,
6, 7 ...
Se comprobará fácilmente que los valores de
sen 8 son iguales a una de las tres cantidades
siguientes: sen 1 Ü0
; sen50° ; -sen70°
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación inicial
son 4sen 1 0°; 4sen50°, -4sen70°
Como algo adicional, la ecuación x;l_12x+ }$=0
es equivalente a x3+8=12x
Entonces graficando las funciones f(x)= x3+8 y
g(x) = 12x, se notará que estas gráficas tienen tres
puntos de intersección que corresponden a las
tres soluciones reales que se halló para la
ecuación inicial (véase figura 8.21)
Figura 8.21
Problema 21
Resuelva la ecuación trigonométrica
cotx = 2cos( ~ -¡ J
Resolución
Para reducir la ecuación anterior, realizando
X TI
cambio de variable 2 - ¡ = 8 ... (1)
ahora x = ~ + 28
2
Reemplazando en la ecuación inicial
co{ ~ + 28 ) = 2 cose
~ -tan28 = 2cos8

Observe que si x va de O a !:_ :=::} la gráfica es de la forma creciente como se presenta en
la figura 8.22(c) 2
1t
Observe que si x va de 2 a n :=::} la gráfica es de la forma decreciente
y
-rt: ',
---- ......
; f(x)=log(senx)
r P(x) ~ senx
- --- ... 1
,' -0-~ senx¿ )--,:
(e)
'
' ' - X
Nótese que la gráfica de f(x) = log(senx) no está definida cuando - 1 ::; sen x < O ; es decir esta función
1t
no estará definida si x E IIIC, IVC o es un arco de la forma ( 4k + 3) 2; k E Z ya que el logaritmo de un
número negativo no está definido en el conjunto de los números reales; expuesto lo anterior no se
realizará ningún gráfico en el intervalo cuya forma general es (C2k - l)n; 2kn); k E Z.
A partir de la figura 8.22 (e) obtenemos la función g(x) = llog senx 1 por simetría respecto del
eje X, entonces la gráfica a obtener, teniendo en cuenta la simetría será la mostrada en la
figura 8.22(d).
y r g(x) = l log(senx) 1
-1!: o 11
2
(d)
2~ :3n
'
'
'
X










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