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ECUACIONES TRIGONOMETRICAS PROBLEMAS RESUELTOS DE NIVEL UNI















1)Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica... Resolución Se ha usado... operando dividiendo ambos miembros por (3) .... Empleando degradación... reemplazando tenemos senx(2cos2x-1) =0 Igualando cada factor a cero... Por lo tanto, la solución general de la ecuación es:. Problema 2 Resuelva ... Resolución Se ha utilizad.... operando ... degradado por dobles 1-cos2x = 1 => cos2x = O 2x = 2kn ± a rccos(O) (expresión general para el arco en coseno) 2x = 2kn ±% ( se sabe que arccos(O) = ~ J 1t . . X = kn ± - ; k E Z Otra forma de hallar la solución general de la ecuación anterior, es utilizando circunferencia trigonométrica. Figura 8.12 Como Calcule la suma de soluciones de la ecuación e os 6x = ( ese 2x 1 + sen6x J sec2x que verifiquen O::;; x ::;; n Resolución 6 r 1 +sen 6x l 1 COS X= 1 sen2x cos2x De lo anterior, es obvio que cos2x =f. O y sen 2x =f. O. entonces operando tenemos 6 cos2x(l+sen6x) COS X=----- -- sen2x sen2xcos6x= cos2x + sen6xcos2x 0=cos2x+sen6xcos2x- sen2xcos6x sen 6x e os 2x - sen 2x e os 6x +e os 2x =O sen(6x- 2x) +cos2x =O sen4x+cos2x=O 2sen2xcos2x+ cos2x=O cos2x(2sen2x+ 1) =O ==> cos2x =O ó ... 1 sen2x = - - 2 Pero, inicialmente e os 2x =f. O 1\ sen 2x =f. O entonces, nos quedamos con la ecuación sen2x = - 1 2 Como O::;; x ::;; n , e ntonces O::;; 2x ::;; 2n, por lo tanto, las únicas soluciones posibles de 2x sE>rán ( \ er figura 8. 13) y C. T. X Figura 8.13 7n 11n 2x=-· v 2x=- 6 1 6 7n 11n x =-·vx=- 12 1 12 Por lo tanto, la suma pedida será 7n 11n 3n -+-=- 12 12 2 Problema 6 Resuelva la ecuación senx+tan8cosx = 2sen8 donde O es un valor conocido. Resolución senO sen x +--cosx = 2sen0 cose sen xcos8 + cosxsenO = 2sen8cos0 sen(x +O)= sen 20 Como un valor de (x + 8) es 28, podemos generalizar de la siguiente manera x+8 = kn+(- 1)k28 ; kEZ : .x= kn+( - 1)k28 - 8;kE l 1t cos2x=0=> 2x=(2k+l)- 2 1t :. X = (2k + 1) -; k E l 4 lj!ji, Nota . X C. T. Los conjuntos {kn±~nó {C2k+1)¡} , donde k E Z son equivalentes, es decir, tienen los mismos elementos. Entonces, la respuesta a este problema podría ser cualquiera de estos dos conjuntos. Luego sen(2x + 8) = J5 => 2x + 8 = kn+ e -l)k arcsen( )s J .. . (!) (expresión general para el seno); arcsen ~ =~-8 '-15 2 Reemplazando en 1 2x+e = kn+c-nk ( ~ =- e j Si k=-2=>x=-n+~-~-~=- 3 4 2 2 4n -8 .. .} e!-rc1, 1] 11 e e n Si k=O=>x=O+-----=--e 4 2 2 4 2n n e e Sn Si k = 2 => x = - +----- = --e 2 4 2 2 4 (véase figura 8.14(b)) 616 E [-11;n] Por lo tanto, las soluciones de la ecuación 3sen2x- cos2x- 2scnxcosx=O que verifican -11::; x::; n son { - 311 . ~ _ 0 . ~ . Sn _e} 4 '4 '4, 4 ; donde 8 = arctan(2) C. T. (b) y (e) Figura 8.14 Otro método Como la ecuación 3sen2x-cos2x-2senxcosx=O no se verifica para todo x = (2k+l)~;k El, 2 entonces podemos dividir a ambos miembros por 3sen ~ x cos2 x 2senxcosx O cos2 x - cos2 x- cos2 x cos2 x ~ 3tan2x-l-2tanx=O ~ 3tan2x-2tanx-1 =O ~ (3tanx+ l)(tanx-1)=0 ... 1 ~ tanx =-- ó 3 tanx= 1 x = kn+arctan( -±J ó x = kn+ arctan(l) Expresión general para la tangente 1 7t x=kn - are tan- ó x = kn+- 3 4 Hallando algunas soluciones de Si x = kn- arctan .!_ (Véase f~ura 8. 14( e)) 3 1 k= - 1 ~ x= -n-arctan - k=O k = 1 1 ~ x = - arctan- 3 1 ~ x = n - arctan - 3 3 1 k= 2 ~ x = 2n - arctan - 3 -l Tambié n de x = kn + ~ 4 Si 3n k= - 1 ~x=-- 4 7t k=O ~ x=- 4 Por lo tanto, las soluciones de la ecuación 3sen2x - cos2x- 2senxcosx=O ; que verifican -n ~ x ~ n , serán { - -3n · -arctan1- ·n- · n -arctan -1} 4 ' 3 '4' 3 Los conjuntos {- 3rr . .:: - e . .:: . 5n - e} y 4 '4 ' 4' 4 { -3-n · - arctan -1 · -rr · rr - arctg -1 } 4 ' 3 ' 4' 3 donde e= arctan(2) ' son equivale ntes ya que 1 1 7t are tan - +are tan - = - Como 3 2 4 1 7t 1 ~ arctan - =--arctan - 3 4 2 1 7r ~ a rctan - = - - arccot (2) 3 4 ~ arctan -1 = -7t -[-7t -arctan (2)] 3 4 2 1 7t ~ a retan 3 =-4 + arctan (2) e= 1 7r arctan (2) ~ arctan - = - - + 8 3 4 Por lo tanto 1 re 1 5re -arctan - =--e y re- arctan- = - -e Resuelva 2senx + cosx-2tanx= 1 Resolución Ira. Forma 2senx + cosx - = 1 2 sen x ( pasando a ) cos x . . . senos y cosenos Nótese que cosx 1: O, entonces multiplicando por cosx ambos miembros tenernos 2senxcosx + cos2x-2senx= cosx :=} 2senxcosx-2senx+cos2x- cosx=O :=} 2senx(cosx-1) +cosx(cosx-1) =0 => (cosx- 1) (2senx+cosx)=O Igualando cada factor a cero => cosx-1 =O ó 2senx+cosx=O 1 cosx= 1 ó tanx = - - x = 2kn ó Como 'í!x = 2kn 2 1 x = kn - arctan - ; k E "l. 2 1 ó x = kn-arctan - 2 donde k es un entero, se verifica que e os x 1: O , entonces concluírnos que la solución general de la ecuación a resolver es { 2kn u kn- arctan ~} ;k E 7L 2da. forma Utilizando las identidades (triángulo de arco doble) 2 tan ~ 1 - tan 2 ~ senx= 2 cosx= 2 1 +tan2 ~ 1 +tan2 ~ 2 2 2tan ~ y tanx----=2 - 1- tan2 ~ 2 reemplazando en la ecuación a resolver, tenernos 4 tan ~ 1- tan 2 ~ 4tan~ ---=2- =1 1- tan2 ~ -----=-2-+ ---=-2 1+ tan 2 ~ 1+tan2 x 2 2 2x 1 + tan 2 2 4 tan ~ ---=2- =1 1- tan2 ~ 2 Realizando operaciones elementales, se llega a la siguiente ecuación tan4 ~ - 4 tan3 x - tan2 x =0 2 2 2 => tan2 x ( tan2 ~ - 4tan x - 1)= 0 2 2 2 => tan ~ = O ; {tan ~ = 2 + J5 v tan~ = 2 - J5} 2 2 2 ~ = kn ; { ~ = kn + arctan ( 2 + JS) v ~ = kn + arctan ( 2- JS)} x = 2kn ; { x = 2kn + 2 arctan ( 2 + .JS) v x = 2kn + 2 arctan ( 2 - .JS)} Por lo tanto, la solución genera l de la ecuación a·resolver será { 2kn u 2kn + 2arctan(2 +JS)u 2kn +arctan (2 -.JS)};k E 7L Las soluciones generales o conjuntos solución, obtenidos en los dos métodos de solución del problema (9) son equivalentes. Problema 10 Resuelva la ecuación 2( cosx- senx) + 1 O senxcosx-5 =O Resolución Si hacemos que cosx-senx=a; e ntonces por identidades fundamentales sen x cos x = l - a 2 2 reemplazando en la ecuación por resolver, tenemos [ 1 a 2 2a + 1O - 'J 2 - - 5 = O ~ 2a - 5a2 =O ~ a(2-5a) = O Igualando cada factor a cero => a = O o' a=2- 5 Pero a=cosx-senx, además por identidades de arcos compuestos tenemos cosx - senx = .ficos( x+¡) ~ COS ( X + 41t ) = Ü O' COS ( X+ 41t ) = SJ2 ~ x + -1t = (2k+ l)-1t o' x + -1t= 2kn±arcco('sJ2-] 4 2 4 5 ~ x = kn + ~ ó x = 2kn±arccos( J2 J- ~ ·1 4 5 4 Finalme nte la solución genera l de la ecuación propuesta es Problema 11 Resuelva el sistema de ecuaciones ¡ 1- tan x = tan y l+ tan x 1t x-y =- 6 Resolución De la segunda ecuación tenemos y = x - ~ , luego reemplazando y e n la primera ecuación, tenemos _1-_ta_n_x_ = tan ( x - ~ J 1 + tanx 6 tan (¡-x J = tan ( x- ~ ) ... se utilizó la identidad de a rcos compuestos en el primer miembro. ~ sen( 2x - ~; ) =O; 5n ~ 2x - - = lm; k E Z 12 de donde despejando x se obtiene kn: Sn: X=-+- 2 24 Como n: y=x - 6' entonces kn: n: y= 2 + 24 Por lo tanto, las soluciones del sis tema a resolver son las siguientes kn Sn: kn n X =T+ 24 ;y=2+ 24; (kE Z ) Problema 12 Halle todas las soluciones del sistema Jisenxlseny=-1/ 4 ... (1) l cos(x + y)+cos(x-y) = 3/ 2 ... (2) que satisfacen las condiciones 0O, entonces OO) y n: < y< 2n, tenemos que -2n: < x - y < O ó n cosx Resolución En la figura se han construido las gráficas de las funciones f(x) = sen2x y g(x) = cosx; la inecuación sen2x>cosx se satisface para todos aquellos x, donde la gráfica de f se halla por encima de g (sin considerar los puntos de intersección). Las abcisas de los puntos de intersección las hallamos resolviendo la ecuación sen2x = cosx ~ 2senxcosx = cosx ~ cosx(2senx- 1) =O 1 n Sn senx=-2 ~ x = ... -6·' -6 y g(x)= cosx -1t Periodo común a f y g es 2rc Figura 8.15 2rt X Como el menor periodo común de f(x) y g(x) es 2n , bastará con resolver por ejemplo en el segmento desde -n hasta 3n ;(véase figura 8.15) 2 2 jn n) jSn 3n) donde la solución es \6; 2 u\ 6 ; 2 Por lo tanto, la solución general de la inecuación sen2x > cosx , será Problema 14 Resuelva la desigualdad senx > cos2x Resolución Para que la desigualdad por resolver esté en términos de se nx, utilizamos la identidad cos2x= 1-sen2x, obteniendo la inecuación (equivalente a la anterior) senx > 1- sen2x sen2x+senx-l >O Por solución de una inecuación de segundo grado, se obtiene en el primer miembro [s enx+1+-.J5][ .J5-1J 2 - senx-- 2 - >0 Además senx < - [ 1 + 2.J5l .J5 -1 ó senx>-- 2 Como - 1 s; senx s; 1, entonces, intersectando conjuntos .J5 - 1 --0 J3 -(senx+cosx) Resolución X Como el denominador del primer miembro de la inecuación es positivo VCJ.E IR (esto se deduce de la propiedad -.J2 : O => tan x > - => tan x < -- ó tanx> 3 3 3 3 Las soluciones de las inecuaciones anteriores, las deducimos de la figura ---~ Igualando cada factor del numerador a cero, tenemos tan x = 1 ; sen 2x cos 2x = 1 ; sen x cos x = 1 Como es sabido 1 1 -- ~ senxcosx ~- entonces solo consideramos la ecuación tanx= 1 2 2' Las soluciones de la ecuación anterior serán las soluciones de la ecuación f(x) = g(x), entonces considerando O< x < 5n , tendremos que estas soluciones son x=n/4; 5n/ 4; 9n/ 4; J3n/4; l?n / 4 ... (5 soluciones) Por lo tanto, el número de puntos de intersección pedido será 5 Problema lB Calcule el número de soluciones de la ecuación sen2x= 2x; que satisfagan -2n ~ x ~ 2n Resolución Al graficar las funciones f(x) =sen2x y g(x)=2-', por cada punto de intersección de estas gráficas se tendrá una solución de la ecuación sen2x=2"'. (Ver figura 8. 19) y -1 Figura 8.19 De la figura 8.19 anterior, como el número de puntos de intersección entre las gráficas de f y g son c uatro ; entonces por lo expuesto, el número de soluciones de la ecuación sen2x= 2' que satisfacen - 2n ~ x ~ 2n , será también cuatro. Problema 19 Calcule el número y suma de soluciones, de la ecuación X X 9sen--- =O 2 2 Resolución La ecuación planteada es equiv Por álgebra, la discriminante de la ecuación cúbica x3 +px+q=0 es L\.=(~J +(fJ;entonces Si t.::,.< O, la ecuación tiene tres soluciones reales Si L\.= O , la ecuación tiene tres soluciones reales pero dos conjugadas Si Ll.> O , la ecuación tiene una solución real y dos soluciones complejas conjugadas Según la nota, la ecuación x 3 - 12x+8 =Ü tiene tres soluciones reales, ya que ( Sj2 ( -12 ) 3 L\.= l 2) + 3 = -48
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