FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS PROBLEMAS RESUELTOS





















¿Qué funciones son inyectivas?
Resolución
a) Por definición si fea) = f(b) demostremos que a=b para que la función sea inyectiva.
Otra forma
Este es un mecanismo práctico mediante el  cual podemos construir el gráfico. Si trazamos una recta horizontal, debe intersectar a la gráfica por lo menos en un solo punto, así
Efectivamente la recta horizontal que corta a f es un solo punto, entonces concluimos que es inyectiva
Construya el gráfico de la función definida por...
Halle la regla de correspondencia de la gráfica de la función f, presentada en la figura 7.108.
Halle el área de la región sombreada
Trasladando regiones (por simetría) convenientemente, formamos un rectángulo de dimensiones b y h, entonces el área de la región sombreada es...
Determine el valor de
E = cosl are tan ~ - arccos~ J
Resolución
Hacemos que
También
Reemplazando y efectuando por la identidad de
arcos compuestos la expresión a calcular
Problema 10
Trigonometría
Determine el dominio y rango de la función
Resolución
f(x) =
arcsenx
arccosx
Determinamos el dominio de f considerando
Cálculo del rango de f; expresando f únicamente
Multipli cando por ( ~ J
Sumando (-1)
Problema 11
Determine los valores de la función fy represente
su gráfico.
f(x) =sen(arccosx) cos(arcsen x)
Resolución
Ira. forma
La gráfica de la función f se muestra en la figura
Recordando el teorema, de la página 536
Como es evidente para -1::; x::; 1, se obtiene
Problema 12
Determine el dominio de la siguiente función f,
cuya regla de correspondencia es
f(x)= arctanlxl_1
arccotx
Resolución
Funciones trigonométricas
Como es sabido 0< arccotx < 1t , entonces no
existe un x, tal que arccotx=O.
Analizando el radicando de la expresión f(x)
Resolviendo la
inecuación gráficamente (ver
figura 7.115) se observa que la desigualdad
anterior se cumple si x;:: I
Problema 13
Figura 7.115
Exprese W en términos de x
W=sen(sen-1x - cos-I2x) -1 <x<O
Resolución
También W se puede escribir como
W = sen (arc senx - arc cos 2x)
donde xE[-1/2;0)
Sea
porque 8E[-1t/6;0)
p = arccos2x =} cosp= 2x; -1::; 2x <O
porque PE (%; 1t ]
Efectuando la expresión W aplicando las
identidades de arcos compuestos
W = sen(8- P) = sen8cosp- cos8senp
Sustituyendo valores
Simplifique la siguie nte sumatori a 
Resolución 
Larctan(tank) 
kol 
De signemos S a dicha suma toria, la cual
expresada por extensión resulta 
S = arctan(tan 1) +arctan(tan2) + arctan(tan3)
+ arctan(tan4) +arctan(taRS) 
Aquí conviene utilizar la propiedad de la tangente 
inversa
a rctan(tany)
Analizando para cada caso 
arctan(tanl) = 1; puesto que IE(- %;%) 
arctan(tan2) = arctan(tan(2- 1I )) = 2-11
arctan(tan3) = arctan(tan(3-1I ))=3- n 
arctan(tan4) = arctan(tan( 4- 11)) =4- 11 "
arctan(tan5) = arctan(tan(5-211 ))=5-211 
Funciones t ri gonométri cas 
En cada una de estas igualdades se buscó el equivalente
con un arco ((2 - 11) ; (3 - 11) ; (4 - n) ; (5 - 211)) los 
cuales
se hall an en el intervalo (- %; %) 
(Véase la figura 7.117) 
Por ejemplo el arco
tan 2 = tan (2- 11)
Luego, sustituyendo valores 
S = 1 + (2 - 11) + (3 - n)+ (4 - n) +(5 - 2n) 
:. S = 15 - 5n 
Problema 11 
Determine el rango de la función 
f(x) = xsen(arc sen x) - 2 cos(arc cos x) + 1 
Resolución 
Sabemos que 
Determine la abscisa del punto de intersección
entre las gráficas de las funciones 
f(x) =2 a rc tanx 1\ g(x) = 1t-arcsen-
Resolución 
Como el enunciado del problema indica que las
gráficas
de las funciones f y g se intersectan, es
decir existen puntos comunes, entonces para
dichos puntos se cumple f(x)=g(x), lu ego el
problema se reduce a resolve r la ecuación: 
Cal cul e la suma de los n primeros términos de la siguiente suma

Cal cul e la suma de los n primeros términos de la siguiente suma
Resolución
Para la simplificación de la expresión M, escribimos sólo en tangentes y buscamos la forma del
enésimo término:
Desarrollando cada uno de los términos como una diferencia de arcos tangentes

Sumando miembro a miembro, obtenemos

Funciones trigonométri cas
Problema 35
Calcule la suma de los n primeros términos en la serie
Resolución
S = arctan 2 + arctan 2 + arctan 2 + .. .
Es evidente la forma del enésimo término

Pero debe saber que no hay una fórmula para sumar n arcos tangentes por lo que buscaremos
descomponer cada uno de los sumandos como una diferencia de términos.
Luego, a
cada arctan lo expresamos como diferencia, así
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