FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS ASPECTOS TEORICOS Y EJEMPLOS DESARROLLADOS





























El lector muchas veces encuentra que la teoría de las funciones trigonométricas inversas es muy  complicada ya que tiene gran cantidad de fórmulas difíciles de demostrar.  Podemos decir que este capítulo no es difícil, para ello lo desarrollaremos de una forma sencilla y didáctica, sin obviar las definiciones formal es, para esto es suficiente conocer lo elemental de Trigonometría. 
A manera de introducción, podemos señalar que el tema tiene gran aplicación en diversos  campos como mecánica, medicina, astronomía, robótica, etc. 
NOCIÓN DE LA FUNCIÓN INVERSA 
En el capítulo anterior se estableció que una función asigna a cada elemento del dominio, una y solamente una imagen que desde luego puede  ser común a varios o a todos los' elementos del  dominio. Si la función tiene además la propiedad de que la imagen es exclusiva o sea que cada imagen en el recorrido lo es de un solo elemento del dominio, se dice entonces que esta función establece una correspondencia biunívoca o biyectiva entre los elementos del dominio y los del recorrido.
ángulo de elevación del cañón, di cho ángulo
Ejemplos

Identifique si las siguientes funciones son o no
univalentes.
Resolución
Si se desea averiguar si una funci ón es inyectiva
se deberá plantear f(x
y de esta ecuación
se debe obtener como única condición XI =X
1. Aplicando la definición
Por diferencia de cuadrados
obtenemos que se cumple dos condiciones I
y se debió obtener solo una XI =x

:. f no es univalente, pues no cumple la
defin ición.
11. Apli cando la defi nici ón
Por diferencia de cubos
no tiene soluciones reales I
excepto XI = x
Luego sólo se cumple XI =x
: . fes uni valente.
Funciones trigonométricas
111 . Aplicando la defi nición
=2nn; k, n E l
se relaci onan de muchas fo rmas,
no sat i sface la definición
:. f no es univalente
IV. Apli cando la defi nición
f(x
De donde XI = x
Pero
Como se puede ve ri ficar, es ta ~ond i ció n 1
no se cumple porque O < XI < -
De el ) k = 2 = XI = x
Como O< x
Como se puede ve rifi car, esta TIcondición 1
no se cumple porque O < XI < -
Para k=3; 4; ... , así como para valores negati vos
notaremos que siguiendo el crit eri o expuesto,
dichas posibilidades no se cumpli eron.
=> La única que cumple es XI =x
:. La función fes i nyectiva.
519
Lumbreras Editores
Ejemplos aplicativos
a. La función f(x) = Ix- l I no es monótona
(revise la página 460) en todo su dominio, pero
520
si elegimos un intervalo donde f es si empre
creciente o decreciente (tal
como se mues tra y
en el gráfico adjunto) es tas serán unival entes.
Como f no es estrictamente
creciente
o decreciente
:=;, f no es univalente
como f es decreciente
=> fes univalente
como f es creciente
=> fes unival ente

Trigonometría
b. La funciónf(x)=senx; XEC2T!; 5;)
Grafi cando y consi derando sólo el i nterval o

Para el i n terval o dado XE (3

creciente, entonces es una función unival ente
en di
cho intervalo.
c. La función f(x) = secx; XE [-T!; 0]- {- ~ }
Graficando
Para el i nterval o dado '<I x E / -T!' -~) f es

decreci ente, entonces en di cho interval o es
unival ente.
Para el i nterval o dado '<I x E ( - ~; o), f es
decreci ente, entonces en di cho interval o es
unival ente.
Funciones trigonométricas
Interpretación Geométrica de una Función Inyectiva
Una [unción [es inyectiva si cual quier recta horizontal corta a l a gráfica de [ a lo más en un
punto.
y
(0;-1 )
(a)
La recta horizontal corta en dos puntos 01 gráfico de
la (unción y=x'-I. entonces la función no es
univalente .
Ej emplo
La recta horizontal corta en un sólo punto al gráfico
de la (unción y=x
univalente.
+ l. entonces la (unción es
En este caso lo recta horizontal corta al gráfico de la (unción y = senx en infinitos plintos. entonces lo (unción seno no es
inyectiva. de igual (orma la recta horizontal en la figura 7. 7Bld) corta a la (unción y= tanx en varios puntos por lo que afirmomos
que dicha (unción tangente no es inyectiva.
Se observa, la recta horizontal corta al gráficor
de f en un sol o punto, entonces para O < x < - la
función es inyectiva.
Función Sobreyectiva
Una función f se ll ama sobreyectiva,
suryecti va o sobre si el conjunto d e ll egada
coincide con el rango de f. También podemos
definirl a de la siguiente forma
522
Dada la función f
Ejemplo
Trigonometría
La func i ón f: (O; ~) -7 [0; 1] , f(x)=senx no es
sobreyectiva, dado que
Si O < x < 2:l: => 0< senx < 1
2
es decir O dex) < 1 => Ran f = (O; 1)
Y se observa que el conjunto de llegada [O; 11 no
coi
ncide con el rango Ran f = (O; 1)
Función Biyectiva
Una funci ón f se llama biyecti va
si f
es inyecti va y sobreyectiva
Eje
mplo
La funci ón f: [ O; rr 1-7 [-1; 1], f(x) = cos x, es
biyectiva, dado que
O ~ x ~ rr => - 1 ~ cosx ~ 1 => Ran f = [-1 ; 11
entonces l a función es sobreyectiva.
Sea f(a) = f(b) => cos a=cos b
cos a - cos b =
Por l o ta nto la función fex) =cosx es biyecti va
Definición de Función Inversa
Sea f una función biyectiva, entonces f posee
inversa denotada por f - 1 o f ' , y se define de la
siguiente manera:
f - I = {(y; x) / yE f(x) ; X E Domf}
• La función r-
I
también es inyectiva.
• La reg l a de correspondenci a de la función
inversa se obtiene a partir de l a ecuación:
X=¡I(y) , sustituyendo simultáneamente x por
y, eypor x.
Luego se concluye que Df-I=Rf, Rf-I=Df
Ej emplo
Halle la regl a de correspondencia de la fu nción
i nver
sa de
Resolución
Como estas funciones son biyectivas, por lo tanto
poseen inversa.
y = ~ x - 2 es la función i nversa de f.
Además Dom ¡I = IR, Ran ¡I = IR
Funciones trigonométricas
Gráfica de una función inversa
La gráfica de l a función i nversa y=r
(x) se
obtiene de la gráfi ca de l a función y= f(x) por la
represen
tación simétrica de la recta y=x.
Para cualquiera que sean l os puntos ex; y) e (y; x)
son simétricos respecto a la recta y=x.
A continuación se muestran l os gráfi cos de
las funci ones y=2x, y = <!x-2 , y de sus
respecti vas i nversas.
Recuerde que para que una función te nga inversa la función debe ser biyectiva.
La figura 7.82 muestra una senoide, esta función no es biyectiva, pues todo número de su rango
(contradominio o ámbito) es el valor de la función de más de un número de su dominio.
Por consiguiente, la función seno no tie ne inversa, obsérvese sin embargo que en el intervalo de
cualquier recta horizontal sólo corta a esta porción de la gráfica en un punto. De esta forma la
Entonces, las Funciones Trigonométricas por
ser periódicas no son biyectivas, pero se pueden
elegir muchos intervalos de su dominio tal que
cumpla la definición de función biyectiva.
Seguidamente consideramos el siguie nte
cuadro (convencional)
de restricciones, para que
las funciones trigonométricas
sean biyecti vas y por
tanto tengan inversa.
524
Función
Dominio

Hacemos la aclaración que los norteamericanos
e ingleses emplean e = ft~'(n)
Para los números reales que son elementos del
conjunto solución
de la ecuación cos e =~, tal como
este conjunto de números se da el nombre especial
Arccos Z que se puede leer como "arco cuyo
coseno es ~ ", otro ejemplo que podemos citar es
Explicaremos posteriormente la diferencia entre
sugerimos al lector no confundir estas dos
igualdades, la primera indica los valores generales y
la segunda indica el valor principal. Inclusive
hay
discrepancia en algunos autores con
referencia a este punto.
Análogamente se definen los conjuntos Arcsen,
Arcsec, Arccsc.
Como
ejemplos citaremos lo siguiente:
Funciones trigonométricas
Función Arco Seno
A partir de la función y=senx dado que;
considerando el siguiente procedimiento
• Despejando x, en términos de y
x=arcseny o x=sen~ 1 y
• Cambiando la variable x por y e y por x, se tiene
y=arcsenx o y=sen~lx
(se lee: "y es un arco cuyo seno es x").
Obteniéndose así la función inversa definida
con regla de correspondencia f(x)=arcsenx
Del gráfico observamos que la función
Domf=[- I;I]
Ranf = [_2:'~J
• es inyectiva
• es impar
no es periódica
• la función es creciente en todo su dominio.
Lumbreras Editores
Función Arco Coseno
A partir de la función y=cosx dado que
O $ x $ 11: obtenemos su función inversa
considerando que x = arccosy Ó x=cos-1y
además cambiando la variable x por y e y por x;
obteniéndose
y = arccosx o y=cos-1x
(se lee: "y es un arco cuyo coseno es x")
Obteniéndose la regla de correspondencia
Del gráfico observamos que
es periódica
la función es decreciente en todo su dominio
Del mismo modo, definimos otras funciones
trigonométricas inversas.
Función Arco Tangente
Dominio de f es IR
Rango de fes (-i; i)
Trigonometría
• La función es impar.
La función es creciente en todo su dominio
Función Arco Cotangente
Figura 7.86
Dada la gráfica de la función f(x)=arccotx
se observa
• Dominio de f es IR
Rango de f es (O; 11:)
• La función no es par, ni impar.
• La función es decreciente en todo su dominio.
Función Arco Secante
Figura 7.87
Del gráfico observamos que la función
f(x) = arcsecx
Dominio de fes IR - (-1; 1).
Rango de fes [O ; nJ- {i}
La función, no es par ni impar.
• La función es creciente en el intervalo



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