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FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS EJERCICIOS RESUELTOS

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  • El lector muchas veces encuentra que la teoría de las funciones trigonométricas inversas es muy complicada ya que tiene gran cantidad de fórmulas difíciles de demostrar. Podemos decir que este capítulo no es difícil, para ello lo desarrollaremos de una forma sencilla y didáctica, sin obviar las definiciones formal es, para esto es suficiente conocer lo elemental de Trigonometría. A manera de introducción, podemos señalar que el tema tiene gran aplicación en diversos campos como mecánica, medicina, astronomía, robótica, etc. NOCIÓN DE LA FUNCIÓN INVERSA En el capítulo anterior se estableció que una función asigna a cada elemento del dominio, una y solamente una imagen que desde luego puede ser común a varios o a todos los' elementos del dominio. Si la función tiene además la propiedad de que la imagen es exclusiva o sea que cada imagen en el recorrido lo es de un solo elemento del dominio, se dice entonces que esta función establece una correspondencia biunívoca o biyectiva entre los elementos del dominio y los del recorrido. ángulo de elevación del cañón, di cho ángulo Ejemplos Identifique si las siguientes funciones son o no univalentes. Resolución Si se desea averiguar si una funci ón es inyectiva se deberá plantear f(x y de esta ecuación se debe obtener como única condición XI =X 1. Aplicando la definición Por diferencia de cuadrados obtenemos que se cumple dos condiciones I y se debió obtener solo una XI =x :. f no es univalente, pues no cumple la defin ición. 11. Apli cando la defi nici ón Por diferencia de cubos no tiene soluciones reales I excepto XI = x Luego sólo se cumple XI =x : . fes uni valente. Funciones trigonométricas 111 . Aplicando la defi nición =2nn; k, n E l se relaci onan de muchas fo rmas, no sat i sface la definición :. f no es univalente IV. Apli cando la defi nición f(x De donde XI = x Pero Como se puede ve ri ficar, es ta ~ond i ció n 1 no se cumple porque O < XI < - De el ) k = 2 = XI = x Como O< x Como se puede ve rifi car, esta TIcondición 1 no se cumple porque O < XI < - Para k=3; 4; ... , así como para valores negati vos notaremos que siguiendo el crit eri o expuesto, dichas posibilidades no se cumpli eron. => La única que cumple es XI =x :. La función fes i nyectiva. 519 Lumbreras Editores Ejemplos aplicativos a. La función f(x) = Ix- l I no es monótona (revise la página 460) en todo su dominio, pero 520 si elegimos un intervalo donde f es si empre creciente o decreciente (tal como se mues tra y en el gráfico adjunto) es tas serán unival entes. Como f no es estrictamente creciente o decreciente :=;, f no es univalente como f es decreciente => fes univalente como f es creciente => fes unival ente Trigonometría b. La funciónf(x)=senx; XEC2T!; 5;) Grafi cando y consi derando sólo el i nterval o Para el i n terval o dado XE (3 creciente, entonces es una función unival ente en di cho intervalo. c. La función f(x) = secx; XE [-T!; 0]- {- ~ } Graficando Para el i nterval o dado ' 0< senx < 1 2 es decir O dex) < 1 => Ran f = (O; 1) Y se observa que el conjunto de llegada [O; 11 no coi ncide con el rango Ran f = (O; 1) Función Biyectiva Una funci ón f se llama biyecti va si f es inyecti va y sobreyectiva Eje mplo La funci ón f: [ O; rr 1-7 [-1; 1], f(x) = cos x, es biyectiva, dado que O ~ x ~ rr => - 1 ~ cosx ~ 1 => Ran f = [-1 ; 11 entonces l a función es sobreyectiva. Sea f(a) = f(b) => cos a=cos b cos a - cos b = Por l o ta nto la función fex) =cosx es biyecti va Definición de Función Inversa Sea f una función biyectiva, entonces f posee inversa denotada por f - 1 o f ' , y se define de la siguiente manera: f - I = {(y; x) / yE f(x) ; X E Domf} • La función r- I también es inyectiva. • La reg l a de correspondenci a de la función inversa se obtiene a partir de l a ecuación: X=¡I(y) , sustituyendo simultáneamente x por y, eypor x. Luego se concluye que Df-I=Rf, Rf-I=Df Ej emplo Halle la regl a de correspondencia de la fu nción i nver sa de Resolución Como estas funciones son biyectivas, por lo tanto poseen inversa. y = ~ x - 2 es la función i nversa de f. Además Dom ¡I = IR, Ran ¡I = IR Funciones trigonométricas Gráfica de una función inversa La gráfica de l a función i nversa y=r (x) se obtiene de la gráfi ca de l a función y= f(x) por la represen tación simétrica de la recta y=x. Para cualquiera que sean l os puntos ex; y) e (y; x) son simétricos respecto a la recta y=x. A continuación se muestran l os gráfi cos de las funci ones y=2x, y = <!x-2 , y de sus respecti vas i nversas. Recuerde que para que una función te nga inversa la función debe ser biyectiva. La figura 7.82 muestra una senoide, esta función no es biyectiva, pues todo número de su rango (contradominio o ámbito) es el valor de la función de más de un número de su dominio. Por consiguiente, la función seno no tie ne inversa, obsérvese sin embargo que en el intervalo de cualquier recta horizontal sólo corta a esta porción de la gráfica en un punto. De esta forma la Entonces, las Funciones Trigonométricas por ser periódicas no son biyectivas, pero se pueden elegir muchos intervalos de su dominio tal que cumpla la definición de función biyectiva. Seguidamente consideramos el siguie nte cuadro (convencional) de restricciones, para que las funciones trigonométricas sean biyecti vas y por tanto tengan inversa. 524 Función Dominio Hacemos la aclaración que los norteamericanos e ingleses emplean e = ft~'(n) Para los números reales que son elementos del conjunto solución de la ecuación cos e =~, tal como este conjunto de números se da el nombre especial Arccos Z que se puede leer como "arco cuyo coseno es ~ ", otro ejemplo que podemos citar es Explicaremos posteriormente la diferencia entre sugerimos al lector no confundir estas dos igualdades, la primera indica los valores generales y la segunda indica el valor principal. Inclusive hay discrepancia en algunos autores con referencia a este punto. Análogamente se definen los conjuntos Arcsen, Arcsec, Arccsc. Como ejemplos citaremos lo siguiente: Funciones trigonométricas Función Arco Seno A partir de la función y=senx dado que; considerando el siguiente procedimiento • Despejando x, en términos de y x=arcseny o x=sen~ 1 y • Cambiando la variable x por y e y por x, se tiene y=arcsenx o y=sen~lx (se lee: "y es un arco cuyo seno es x"). Obteniéndose así la función inversa definida con regla de correspondencia f(x)=arcsenx Del gráfico observamos que la función Domf=[- I;I] Ranf = [_2:'~J • es inyectiva • es impar no es periódica • la función es creciente en todo su dominio. Lumbreras Editores Función Arco Coseno A partir de la función y=cosx dado que O $ x $ 11: obtenemos su función inversa considerando que x = arccosy Ó x=cos-1y además cambiando la variable x por y e y por x; obteniéndose y = arccosx o y=cos-1x (se lee: "y es un arco cuyo coseno es x") Obteniéndose la regla de correspondencia Del gráfico observamos que es periódica la función es decreciente en todo su dominio Del mismo modo, definimos otras funciones trigonométricas inversas. Función Arco Tangente Dominio de f es IR Rango de fes (-i; i) Trigonometría • La función es impar. La función es creciente en todo su dominio Función Arco Cotangente Figura 7.86 Dada la gráfica de la función f(x)=arccotx se observa • Dominio de f es IR Rango de f es (O; 11:) • La función no es par, ni impar. • La función es decreciente en todo su dominio. Función Arco Secante Figura 7.87 Del gráfico observamos que la función f(x) = arcsecx Dominio de fes IR - (-1; 1). Rango de fes [O ; nJ- {i} La función, no es par ni impar. • La función es creciente en el intervalo
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