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FUNCIONES TRIGONOMETRICAS PROBLEMAS RESUELTOS


























ACERCA DE LA LETRA X
La explicación de que la x, según las enciclopedias, es el signo con el que se representa en matemática a la incógnita se encuentra en las matemáticas árabes de la Edad Media, quienes utilizaban la palabra sayun transcrita con una x para denotar lo desconocido. Pero la asociación de esta letra con lo desconocido afecto también a otros ámbitos, como el de la medicina o el de la ciencia. Mackenzie denominó enfermedad X o un conjunto de síntomas de origen desconocido que se manifiestan con trastornos intestinales, cardíacos y respiratorios. El ejemplo más famoso de esta asociación es el que le llevó al físico alemán Wilhelm Kan rad Roentgen en 1895 a denominar rayos X a su descubrimiento : los llamó así, precisamente, porque desconocía su naturaleza.
* Solo los ingenieros especializados pueden fabricar una móquina de rayos X. cuya aplicación mós conocida es la radiografia médica, siendo los musculos y pulmones poco receptivos con los rayos mientras que los huesos absorben mucho de ellos.

* Determine el dominio de las siguientes funciones
* A diferencia del problema anterior, en este
caso también hay que tomar en cuenta la
restricción de la función tangente,
es decir
Halle el rango de las siguientes funciones
1. f(x)=sen'x+2senx+ I
La función está definida \j X E lR , no es
necesario hacer alguna restricción.
Sabemos también que el rango de f son todos
los valores de f.
Para poder hallar los valores de f se sugiere
que su regla de correspondencia se exprese
en términos de un solo operador
trigonométrico, que afecte a la variable, esto
en lo posible, sino se buscará alguna forma
conocida como número más sus recíprocos,
funciones crecientes, etc.
continuación resolvemos la parte(J1) de igual forma.
11. g(x )=senx+cos2x
Como observamos, no hay ningún tipo de
restricción, por lo que afirmamos que g se
halla definido '\1 x E IR . entonces Domg = IR .
Seguidamente trataremos de expresar su
regla de correspondencia en términos de un
solo operador trigonométrico, a partir de
g(x) = senx+ cos2x .... (1)
(Presenta dos operadores trigonométricos)
De la identidad cos2x = 1-2sen2x .. .. (2)
Reemplazando (2) en (1)
g(x)=senx+ 1- 2sen2x
Seguidamente bus caremos la forma de
completar cuadrados
(presenta un solo operador trigonométrico)
Seguidamente se deberá generar la expresión
(3) a partir del dominio Domg = IR
Como X E IR , entonces
-] ::; senx
Determine el rango de la siguiente función
4sen2 xcos' x
f(x) = -(: -s-e-n-x-c-o-s-x-+- I-:)- (.,.s.-e-n-x-c-o-s-x----:-n
Resolución
Efectuando en f, tenemos
.) 2
f( )= 4sen- xcos x
x ") 2 sen- x.cos x - I
(en el denominador
se utilizó diferencia ele cuadrados)
Como Os sen' xcos' x S 2. entonces (sen2xcos2x- l )
4
nunca toma el valor de cero, por lo tanto f está
definida '\Ix E IR .
Luego f(X)=4 ( 1+ 1 1
sen' xcos2 x - 1 J
Como OS sen 2 x cos 2 x S -I
4

Halle el dominio y rango de f(x) = secx
lescxl
Resolución
Se sabe, por teoría, que la secante no está definida
11:
para arcos que adoptan la forma (2K + 1) '2 ;
11: .
(K E Z) ~ x;t(2k + I) "2 ; (KEZ) .. ......... (

De la función f, definida por f(x)= 8 2 analice
2-sec x
la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
1. Domf = IR - {(2n + I)~}; nE Z
JI. Ran f = (O; +00)
111. f es una función par
1. Para que f este definida, debemos tener en
cue nta que por ser x argumento de la secante,
rr
tenemos que x ot (2K + 1)"2 ; (n E Z)
Además, sec2 x ot 2 ~ secx ot ±fi
, . n . rr . 3n . 5n .
:=::} ); ::;t .. , , -- , - ,-,-, .. .
4 4 4 4
Entonces concluimos que

Averigüe qué func iones son pares o impares en
los s iguientes casos q ue ti ene n por reg la de
corresponde ncia.
x
1. f(x) =--
cosx
11. f(x) = secx - 1 tanx 1
I1l. fe x) = 2senx + 3cosx
IV. fex) =x\ane n x)
Resolución
De acuerd o a la definición de función par o impar,
b usquemos la ecuación de fe-x)

Sea la función f definida por la regla de
correspondencia fex) =secx+tarlX.
Si x E ( 3
2
Tl ; 2Tl] , hall e el rango.
Resolución
Transformando la fu nción r.
fex) = secx + tan x
fex) = csc( ~ -x J+ cotl ~ -x)
Aplicamos la identidad de arco mi tad

Halle el dominio y el rango de la función f, cuya
regla de correspondencia es
Resolución
De la fu nción f se observa que apare cen
func iones scno y coseno, sabemos que están
definidas en IR ,además los rad icales no afcctan
el dominio ya que l +sen2x>0 1\ l +cos2x>0;
'ti X E IR
Elevando al cuadrado

Del gráfico 7.51 (a) , ca lcu le el periodo del
cosenoide, si el área de la región sombreada Ets
3 u2
, siendo MNPQ un cuadrado.

De te rmine el periodo de las s iguie ntes funciones
1. f(x) = 2sen3x - cos2x
11. h(x) = tan(cosx)

Resolución
Recordemos que para toda función periódica
debe exis tir un número rea l T> O, ta l q ue
f(x+T)=f(x)
De (1) f(x+T)=2sen3(x+T)-cos2(x+T)
f(x+ T) =2sen(3x+3T)-cos(2x+2T) ;
f(x) = 2se n3x-cos2x

Halle el rango y construya la gráfica de la siguiente
función
f(x) = JI cscx 1(1 cscx I +cscx)
talque xE(O;2n)-{n}
Resolución
Consideremos
I. O<x<n ==> lesexl=eseX'
11. n < x < 2n ==> I esex I = -esex
Luego, sustituyendo en f(x)

¿Para qué valores de x, e l gráfico de la función
f(x) = tanx-J2senx intersecta al eje de
abscisas?
Resolución
Debemos notar que el valor de la función, tal que
el gráfico de és te intersecta al eje X, es nulo
cuando f(x) = O
Entonces

Dadas las funciones f(x) = sen4x+senx y
g(x) =cos4x, halle cuántos puntos de interseccióp
existe entre las funciones dadas en e l intervalo
I
[O; 2rr 1

En los puntos de intersección de las gráficas, de
dos funciones, se cumple que la abscisa y la
ordenada son comunes a ambas gráficas.
Es decir f(x) = g(x)

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