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LEY DE SENOS Y COSENOS RESOLUCION DE TRIANGULOS OBLICUANGULOS ASPECTOS TEORICOS Y EJEMPLOS DESARROLLADOS





















¿Qué significa resolver un triángulo?
Significa calcular las longitudes de sus lados y la medida de sus ángulos. Para esto necesitamos
conocer por lo menos la longitud de un lado junto con otras dos cantidades ya sean dos ángulos o los·
otros dos lados o bien un ángulo y un lado. Así, hay cuatro posibilidades por considerar.
CASO I
CASO 11
CASO III
CASO IV
Se conoce un lado y dos ángulos.
Se conoce dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
Se conoce dos lados y el ángulo entre ellos.
Se conoce tres lados.
TEOREMAS TRIGONOMÉTRICOS
La ley de senos se usa para resolver los triángulos de los casos I y Il.
La ley de cosenos se usa para resolver los triángulos de los casos III y IV
En todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
a b c --=--=--
senA senB senC
Demostración
Consideraremos un triángulo acutángulo (figura
6.2(a)) y obtusángulo (figura 6.2(b)) por ser la
primera demostración, y veremos que las
conclusiones son las mismas......
De la figura 6.2(a) y 6.2(b) en el triángulo
rectángulo CDO, se tiene
a entonces....
bajo procedimientos similares, obtendremos los
siguientes resultados

Por lo cual queda demostrado dicho teorema.
Queda para el lector verificar que dicho teorema
también es válido para un triángulo rectángulo.
~ ..Observa';~1I
Cada lado se puede expresar como el diámetro
de la circunferencia circunscrita al triángulo,
multiplicado por el seno del ángulo que se opone
a dicho lado, así tenemos
a= 2RsenA b = 2RsenB e = 2RsenC
Se conoce un Lado y dos Ángulos
Ejemplo 1
Resuelva el triángulo ABC, si m-;rA= 120°,
m-r C = 45° Y a = 4
Resolución
La figura 6.3 muestra el triángulo que queremos
resolver.
La m<l:B la calculamos así
m<l:B= 180° -(120° + 45°)
m<l:B= 15°
Utilizamos la ley de senos para el cálculo de los lados b y c....
sen45°
Ejemplo 2
En el gráfico adjunto, calcule la distancia desde
un punto B de la orilla de un río, a un árbol A que
queda en la otra orilla. Dado en la orilla una base
BC y desde cada extremo de la base se dirige,
con el teodolito, una visual a la base del árbol y
otra al otro extremo de dicha base. Datos:...
Figura 6.4
Resolución
En la figura 6.4 ya se indican los datos, luego por
la ley de senos
AB BC
---=---
sen45° sen 75°
despejando la incógnita
AB = BC x sen45°
sen75°
sustituyendo valores
12 30x2 60
AB= =-- 16+12 J3+1
4
El caso ambiguo
El caso 11eLLA) que se aplica a triángulos donde dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos se
conocen, se llama caso ambiguo porque la información disponible puede dar lugar a un triángulo, a
dos triángulos o a ningún triángulo. Supongamos que nos dan los lados a y b Y m~, con esto
mostraremos, en las siguientes figuras, las cuatro posibilidades que hay.
I ra. Posibilidad 2da posibilidad
a Aa_-, A
Una solución, se ha formado un
triángulo rectángulo de hipotenusa b
ya que a=bsenA
(b)
b ,
bsená:
A
Ninguna solución,
si a < bsenA
(o)
3m. Posibilidad 4ta Posibilidad
~senA a ' a ,,
A " - --- "
,,
:bsenA
,
a
,t
Dos soluciones,
si a > bsenA 1\ a < b
(e)
Una solución, si a ~ b
(d)
Figura 6.5
Se conocen dos Lados y el Ángulo Opuesto a uno de ellos
Ejemplo 3
Tenemos un triángulo ASe en el cual se da
a=2, b=4 y m~ = 60°.
Resuelva el triángulo.
De la ley de senos
a b
senA senS
Despejando senS y evaluando
Resolución
Aquí se presenta la primera posibilidad del
caso ambiguo.
F3
senS = bsenA = 4sen600 = 4 x 2 = F3 =: I 73
a 2 2 '
.. AB = ~ x J3 - 1 = 30(J3 -l)m J3+1 J3-1
Como ningún ángulo tiene el seno mayor que
uno, en este ejemplo no hay solución. Es decir,
es imposible construir un triángulo con los datos
de este ejemplo (Véase figura 6.6).
C
2
A
Figura 6.6
Ejemplo 4
Resuelva el triángulo ASC, si a=4, b=6 y
m.ffi = 30°
Resolución
Aquí se presenta la 3,a.Posibilidad (2 Soluciones)
1ra solución
De la ley de senos
_a_=_b_ ~ senS= bsenA = 6sen300
senA senS a 4
6 x 1
= __ 2 =~
4 4
En un triángulo, un ángulo interior puede ser
agudo, recto u obtuso.
Si es agudo u obtuso el seno es positivo y menor
a uno; si es recto el seno es igual a uno.
Como
senS=- 3 = O75~ S = 48°30' O
4 '
(usando calculadora)
S = 131°30'
Por lo tanto, se pueden construir dos triángulos
con los datos del ejemplo 4 (Véase la figura 6.7).
e
b=6 4
A
Figura 6.7
Así la resolución puede ser
Si S = 48°30'
~ C = 180° - (30° + 48°30')
.. C = 101°30'
De la ley de senos
c=---asenC
sen 30°
c 4sen 101°30' 4xO,9799 = = ----'----
0,5 0,5
.. c = 7,84
2da. Solución
~ C = 1800- (30° + 131°30')
De la ley de senos
c=---asenC
sen300
c=--4--x-sen28°30'
0,5
4xO,4772
0,5
.. c = 3,82
Teorema de los cosenos (ley de cosenos)
En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual
a la suma de los cuadrados de los otros dos,
menos el doble producto de estos lados por el
coseno del ángulo que forman
a2=b2 + c2
- 2bccosA
b2=a2 + c2
- 2accosB
c2=a2 + b2
- 2abcosC
Demostración
En la figura 6.8 se ha trazado la altura AD sobre la
prolongación de CB.
A
Figura 6.8
En el triángulo rectángulo ADC, por resolución de
triángulos rectángulos tenemos
AD=bsen(1800-C) y
DCr=bcosf l Sü? - C)
~ AD=bsenC y
DC=- bcosC
Por el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo
rectángulo ADB tenemos:
AB2 = AD2 +DB2
~ c2 = (bsenf')" +C - bcosC + a)?
222 2
==) C = b sen C + (a - b cosC)
==) c2 = b2 (sen2C + cos2c) + a2 - 2abcosC
1
Del mismo modo se demuestra los otros dos
teoremas
Consecuencia: El coseno de un ángulo se puede
expresar en función de los lados, así:
.......................................... " ..~.
! b2 + c2 _ a2 ¡ a2 + c2 _ b2
:cosA= ¡ , ¡cosB=----
2bc i ' 2ac -, -_/ \, . _/
,.,. ....
¡ a2+b2_c2
,cosC=----
. _" ,~._~-2-a~b~~....~..~
Uso de la Ley de Cosenos para resolver un
Triángulo LAL
Ejemplo 5
En el triángulo ABC, a = 24, c = 32 y m <l: B= 120°
Resuelva el triángulo.
Resolución
Vea la figura 6.9, la ley de cosenos permite
encontrar fácilmente el lado b.
b2 = a2 + c2-2accosB
C
B c = 32 A
Figura 6.9
Sustituyendo valores:
b2 = 242 + 322- 2x24x32x cos l Zü? '-.r-----' -1/2
b2 =2368
:. b = 48,67
Para calcular la medida del ángulo A, utilizamos
la ley de senos así ..J3
b = _a_ ~ senA = asen 1200 = 24 x 2
sen 120° senA b 48,67
~ senA = 0,4270 ....
Como el ángulo A es agudo ya que B es obtuso,
entonces con el uso de calculadora tenemos
A = 25°15'
Hallando la m <l: C
C=180° - (A+B) = 180° - (25°15' + 120°) ;
entonces: C = 34°45'
Uso de la Ley de Cosenos para resolver un
Triángulo
Ejemplo 6
Un jardín triangular tiene lados que miden 12 m,
15 m y 10m. Obtenga los ángulos del jardín.
Resolución
Con los datos del ejemplo se tiene la figura 6.10
que representa al jardín donde a,~ y 8 son los
ángulos correspondientes al jardín.
10 12
Jardín
a o
15
Figura 6.10
De la ley de cosenos
222
cosa = 10 + 15 - 12 = ~ == O 6033
~ 2x10x15 300 '
• 152 = 102 + 122-2x10x12xcos~
222 ~ cosf = 10 + 12 - 15 = ~ == O 0792
2x10x12 240 '
~ Observación
Con respecto a los ángulos interiores de un
triángulo, si el coseno de uno de ellos es positivo y
menor a uno este será agudo; y si el coseno es
negativo y mayor a -1 este será obtuso y finalmente
si el coseno es igual a cero este será recto.
Como cosa == 0,6033 y cosf == 0,0792
a == 52,89° ~ == 85,46°
Hallando O:
8 = 180° - (a + ~) =41,65°
Teorema.!!_etangentes (ley de tangentes) . l
En todo triángulo, la diferencia de dos lados es a
su suma, como la tangente de la semidifcrcncia
de los ángulos opuestos a estos lados es a la
tangente de la semisuma de estos ángulos.
(
A-Cl
a - c _ tan -2-) .
a + c - tan ( A ; e) ,
b-c
b+c
A continuación presentamos una forma de
demostración
De la ley de senos
a b a senA
--=--~-=--
senA senB b senB
por propiedad de proporciones
a-b senA-senB
~ --=-----
a + b senA + senB
por transformaciones trigonométricas
(
a - b = 2cos A-2+Bi )sen (A--B2-)
2sen( A; B )cos( A; B J
~ ::~ = cot( A; B }an( A; B ) ; pero
a+b
esto es lo que se buscaba demostrar
De la ley de senos, si utilizamos --A- = --C- y = sen sen senB senC
y realizamos un procedimiento similar al anterior, obtendremos las otras dos expresiones restantes del
Teorema de tangentes.
Teorema de las proyecciones (ley d~.ilt:lsproyecciones)
En todo triángulo, se cumple que un lado cualquiera es igual a la suma de sus otros dos lados multiplicados
cada uno por los cosenos de los ángulos adyacentes a dicho lado.
a = bcosC + ccosB
b = acosC + ccosA
c = acosB + bcosA
Demostración
En la figura 6.11 se ha trazado la altura BO. Asimismo en el
triángulo rectángulo AOB y BOC, tenemos
.'. b = acosC + ccosA
B
c a
A C
A O C
1 b
Figura 6.11
AO=ccosA y OC=acosC
Pero AC = AO + OC => AC=ccosA + acosC
En el triángulo ABC, si trazamos las otras dos alturas
correspondientes a los lados AB y BC, obtendremos las
otras dos relaciones restantes del teorema.
-~- --<
Como ya se planteó al inicio de este capítulo, cuando se dan tres elementos cualesquiera de un triángulo,
siempre que al menos uno de ellos sea un lado, los teoremas que hemos demostrado nos permiten hallar
los valores numéricos de los elementos no conocidos del triángulo; pues en cualquier ecuación que
relacione cuatro cantidades donde tres de ellas sean las conocidas, podrá hallarse la cuarta. Así por ejemplo,
si e, a y B son dados, podemos calcular b con la fórmula:
y si B,"'Cy b son conocidos, hallamos e por medio de la fórmula
c b
senC senB
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS SEMIÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO EN FUNCiÓN
DEL SEMIPERíMETRO y LADOS
En un triángulo ABC,se desea calcular las razones
tn.gonometn,c. as die" os semlangu 1os -A, -B y -C
222
ParaN2:
En un triángulo ABC, el ángulo interior A debe
A
verificar O < A < 180°, entonces O < 2 < 90°.
Utilizando identidades del arco mitad tenemos
sen- A2 = l-COS2A ... ()1
De la ley de cosenos tenemos
b2+c2_a2
cosA= 2bc ... (2)
Reemplazando (2) en (1) tenemos
A
sen-=
2
sen-=A ~(a+b-C)(a-b+C) (3) 2 4bc ...
Asumimos que el perímetro del triángulo ABC
sea 2p=a + b + C.
Despejando a+b=2p-c ; a+c=2p-b y
reemplazando en (3) obtenemos
A (2p - 2c) (2p - 2b) 2(p - c)2(p - b)
sen- = =
2 4bc 4bc
:. senA= !Cp-b) (p-c)
2 ~ bc
Análogamente utilizando la identidad
cos- A = l+COSA y
2 2
b2+c2_a2
cosA = se obtiene
2bc '
cosA =)p(p-a)
2 bc
A ~(P - b)(p - c)
A sen-2 be
como tan - = -- = ---'-=======--
2 cosA ~
2 ~~
A :. tan- =
2
(p - b)(p - c)
p(p - a)
Fórmulas de las razones trigonométricas de los semiángulos de un triángulo ABe
senA =)(P-b)(P-C) . cosA =)p(p-a) . tan A = (p-b)(p-c)
2 be ' 2 bc' 2 p(p - a)
sen'§_=)(p-a)(p-c) ; cos'§_=)P(P-b); tan'§_= (p-a)(p-c)
2 ac 2 ac 2 p(p-b)
senc=)(p-a)(p-b); cosC=)P(P-C) ;tanC= (p-a)(p-b)
2 ab 2 ab 2 p(p - e)
don d"é p = a r b r c , es e l serrup.,enrnetro del tria,ngulo ABC .
2
Ejemplo 7
Si los lados de un triángulo ABe son
a=10; b=9 y c=13
Calcule
A A sen- y cos-
2 2
Resolución
Hallando el semi perímetro
p= a+b+c = 10+9+ 13 = 16
2 2
Como
• sen A = !(p-b)(p-c) = (16-9)(16-13)
2 ~ bc 9 x 13
A sen-=
2
Además
• cos A = )P(P - a) = 16(16 - 10)
2 bc 9 x 13
cos A = )16 x 6 = (32
2 9 x 13 ~39
A continuación se desarrollará una serie de
ejemplos que tiene como objetivo deducir las
diversas fórmulas que sirven para calcular
semi perímetro, alturas, áreas, inradios, exradios,
medianas y bisectrices correspondientes a un
triángulo ABe.
Ejemplo 8
Exprese el semiperímetro de un triángulo ABC en
función de los semiángulos y el radio R de la
circunferencia circunscrita.
Resolución
De la ley de senos
a _ b _ c _ 2R
---------
senA senB senC
Por propiedad de proporciones
___ a_+_b_+_c = 2R
senA + senB + senC
De donde
a+ b + c = 2R(senA + senB + senC)
Utilizando
2p=a+b+c : 2p=2R(senA+senB+senC)
Simplificando
p=RCsenA+senB+senC) ... (1)
Del capítulo Transformaciones trigonométricas se
dedujo que si A+B+C = 180°, se cumple
A B C
senA + senB+senC= 4cos2cosicos2 ... (2)
Reemplazando (2) en (1) tenemos
(A B Cl p= R 4cos-cos-cos-
222
A B C
.. P=4R cos-c2os-cos2- 2
'- o
Fórmula que relaciona el semi perímetro,
circunradio y semiángulos de un triángulo ABe.
Ejemplo 9
Exprese cada altura de un triángulo en función
del radio R del círculo circunscrito y de los
ángulos.
A
c :h
b
,, a
B D C l- a I
Figura 6.12
Resolución
Sea ha la altura correspondiente al lado a
(véase la figura 6.12). Entonces del triángulo
rectángulo ADB tenemos:
ha = csenB ... (1)
De la ley de senos se deduce
c=2RsenC ... (2)
Reemplazamos (2) en (1), obteniendo ._.•._-]
RsenBsenC
..... .. ~...._._- -.,."""",,_ ..-.-
Análogamente se obtienen
( hb = 2RsenAsenC J y Ch:~~~~~~~~~]
Ejemplo 10
Halle el radio r, del círculo inscrito en un triángulo
en función de los ángulos y el radio del círculo
circunscrito.
Resolución
A
----_ C2 <12 - - -
C
Figura 6.13
De la figura 6.13 de los triángulos rectángulos ODB
y ODC se obtienen
B C
BD=rcot 2" y DC = rcot 2"
como
B C
BC = BD+DC ===> BC = rcot 2" +rcot 2"
Expresando, en senos y cosenos, luego efectuando
sen B + C)
2 2
===> 2RsenA= r B C
sen-sen-
2 2
A
( J
rcos-
===> 2R 2sen ~ cos ~ = B 2 C
sen-sen-
2 2
A B C
. ·lr = 4Rsen2sen2sen2
Fórmula que relaciona al inradio, circunradio y
ángulos de un triángulo.
Ejemplo 11
Exprese el semiperímetro de un triángulo ABC en
términos del inradio y los semiángulos. (Véase
figura 6.14)
B z(A A b C
Figura 6.14
Resolución
Del ejemplo (1)
A B C
p= 4Rcos2"cos"2cos2
A B C r= 4Rsen-sen-sen-
Del ejemplo (10) 2 2 2
Dividiendo ambos miembros
4 Reos A cos -º-cos C
p 2 2 2
A B C 4Rsen-sen-sen-
222
.. p A B C
Simplificando -;:-= cot2co t2cot
2
r
A B C Por lo tanto p = rcot-cot-cot-
222
Fórmula que relaciona el semiperímetro, el
inradio y semiángulos de un triángulo ABC

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