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LEY DE SENOS Y COSENOS RESOLUCION DE TRIANGULOS OBLICUANGULOS ASPECTOS TEORICOS Y EJEMPLOS DESARROLLADOS

Teorema de los cosenos (ley de cosenos) En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo que forman


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  • ¿Qué significa resolver un triángulo?

    Significa calcular las longitudes de sus lados y la medida de sus ángulos. Para esto necesitamos conocer por lo menos la longitud de un lado junto con otras dos cantidades ya sean dos ángulos o los· otros dos lados o bien un ángulo y un lado. Así, hay cuatro posibilidades por considerar. CASO I CASO 11 CASO III CASO IV Se conoce un lado y dos ángulos. Se conoce dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Se conoce dos lados y el ángulo entre ellos. Se conoce tres lados. TEOREMAS TRIGONOMÉTRICOS La ley de senos se usa para resolver los triángulos de los casos I y Il. La ley de cosenos se usa para resolver los triángulos de los casos III y IV En todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. a b c --=--=-- senA senB senC Demostración Consideraremos un triángulo acutángulo (figura 6.2(a)) y obtusángulo (figura 6.2(b)) por ser la primera demostración, y veremos que las conclusiones son las mismas...... De la figura 6.2(a) y 6.2(b) en el triángulo rectángulo CDO, se tiene a entonces.... bajo procedimientos similares, obtendremos los siguientes resultados Por lo cual queda demostrado dicho teorema. Queda para el lector verificar que dicho teorema también es válido para un triángulo rectángulo. ~ ..Observa';~1I Cada lado se puede expresar como el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo, multiplicado por el seno del ángulo que se opone a dicho lado, así tenemos a= 2RsenA b = 2RsenB e = 2RsenC Se conoce un Lado y dos Ángulos Ejemplo 1 Resuelva el triángulo ABC, si m-;rA= 120°, m-r C = 45° Y a = 4 Resolución La figura 6.3 muestra el triángulo que queremos resolver. La m bsenA 1\ a < b (e) Una solución, si a ~ b (d) Figura 6.5 Se conocen dos Lados y el Ángulo Opuesto a uno de ellos Ejemplo 3 Tenemos un triángulo ASe en el cual se da a=2, b=4 y m~ = 60°. Resuelva el triángulo. De la ley de senos a b senA senS Despejando senS y evaluando Resolución Aquí se presenta la primera posibilidad del caso ambiguo. F3 senS = bsenA = 4sen600 = 4 x 2 = F3 =: I 73 a 2 2 ' .. AB = ~ x J3 - 1 = 30(J3 -l)m J3+1 J3-1 Como ningún ángulo tiene el seno mayor que uno, en este ejemplo no hay solución. Es decir, es imposible construir un triángulo con los datos de este ejemplo (Véase figura 6.6). C 2 A Figura 6.6 Ejemplo 4 Resuelva el triángulo ASC, si a=4, b=6 y m.ffi = 30° Resolución Aquí se presenta la 3,a.Posibilidad (2 Soluciones) 1ra solución De la ley de senos _a_=_b_ ~ senS= bsenA = 6sen300 senA senS a 4 6 x 1 = __ 2 =~ 4 4 En un triángulo, un ángulo interior puede ser agudo, recto u obtuso. Si es agudo u obtuso el seno es positivo y menor a uno; si es recto el seno es igual a uno. Como senS=- 3 = O75~ S = 48°30' O 4 ' (usando calculadora) S = 131°30' Por lo tanto, se pueden construir dos triángulos con los datos del ejemplo 4 (Véase la figura 6.7). e b=6 4 A Figura 6.7 Así la resolución puede ser Si S = 48°30' ~ C = 180° - (30° + 48°30') .. C = 101°30' De la ley de senos c=---asenC sen 30° c 4sen 101°30' 4xO,9799 = = ----'---- 0,5 0,5 .. c = 7,84 2da. Solución ~ C = 1800- (30° + 131°30') De la ley de senos c=---asenC sen300 c=--4--x-sen28°30' 0,5 4xO,4772 0,5 .. c = 3,82 a2=b2 + c2 - 2bccosA b2=a2 + c2 - 2accosB c2=a2 + b2 - 2abcosC Demostración En la figura 6.8 se ha trazado la altura AD sobre la prolongación de CB. A Figura 6.8 En el triángulo rectángulo ADC, por resolución de triángulos rectángulos tenemos AD=bsen(1800-C) y DCr=bcosf l Sü? - C) ~ AD=bsenC y DC=- bcosC Por el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo ADB tenemos: AB2 = AD2 +DB2 ~ c2 = (bsenf')" +C - bcosC + a)? 222 2 ==) C = b sen C + (a - b cosC) ==) c2 = b2 (sen2C + cos2c) + a2 - 2abcosC 1 Del mismo modo se demuestra los otros dos teoremas Consecuencia: El coseno de un ángulo se puede expresar en función de los lados, así: .......................................... " ..~. ! b2 + c2 _ a2 ¡ a2 + c2 _ b2 :cosA= ¡ , ¡cosB=---- 2bc i ' 2ac -, -_/ \, . _/ ,.,. .... ¡ a2+b2_c2 ,cosC=---- . _" ,~._~-2-a~b~~....~..~ Uso de la Ley de Cosenos para resolver un Triángulo LAL Ejemplo 5 En el triángulo ABC, a = 24, c = 32 y m AC=ccosA + acosC En el triángulo ABC, si trazamos las otras dos alturas correspondientes a los lados AB y BC, obtendremos las otras dos relaciones restantes del teorema. -~- --< Como ya se planteó al inicio de este capítulo, cuando se dan tres elementos cualesquiera de un triángulo, siempre que al menos uno de ellos sea un lado, los teoremas que hemos demostrado nos permiten hallar los valores numéricos de los elementos no conocidos del triángulo; pues en cualquier ecuación que relacione cuatro cantidades donde tres de ellas sean las conocidas, podrá hallarse la cuarta. Así por ejemplo, si e, a y B son dados, podemos calcular b con la fórmula: y si B,"'Cy b son conocidos, hallamos e por medio de la fórmula c b senC senB RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS SEMIÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO EN FUNCiÓN DEL SEMIPERíMETRO y LADOS En un triángulo ABC,se desea calcular las razones tn.gonometn,c. as die" os semlangu 1os -A, -B y -C 222 ParaN2: En un triángulo ABC, el ángulo interior A debe A verificar O < A < 180°, entonces O < 2 < 90°. Utilizando identidades del arco mitad tenemos sen- A2 = l-COS2A ... ()1 De la ley de cosenos tenemos b2+c2_a2 cosA= 2bc ... (2) Reemplazando (2) en (1) tenemos A sen-= 2 sen-=A ~(a+b-C)(a-b+C) (3) 2 4bc ... Asumimos que el perímetro del triángulo ABC sea 2p=a + b + C. Despejando a+b=2p-c ; a+c=2p-b y reemplazando en (3) obtenemos A (2p - 2c) (2p - 2b) 2(p - c)2(p - b) sen- = = 2 4bc 4bc :. senA= !Cp-b) (p-c) 2 ~ bc Análogamente utilizando la identidad cos- A = l+COSA y 2 2 b2+c2_a2 cosA = se obtiene 2bc ' cosA =)p(p-a) 2 bc A ~(P - b)(p - c) A sen-2 be como tan - = -- = ---'-=======-- 2 cosA ~ 2 ~~ A :. tan- = 2 (p - b)(p - c) p(p - a) Fórmulas de las razones trigonométricas de los semiángulos de un triángulo ABe senA =)(P-b)(P-C) . cosA =)p(p-a) . tan A = (p-b)(p-c) 2 be ' 2 bc' 2 p(p - a) sen'§_=)(p-a)(p-c) ; cos'§_=)P(P-b); tan'§_= (p-a)(p-c) 2 ac 2 ac 2 p(p-b) senc=)(p-a)(p-b); cosC=)P(P-C) ;tanC= (p-a)(p-b) 2 ab 2 ab 2 p(p - e) don d"é p = a r b r c , es e l serrup.,enrnetro del tria,ngulo ABC . 2 Ejemplo 7 Si los lados de un triángulo ABe son a=10; b=9 y c=13 Calcule A A sen- y cos- 2 2 Resolución Hallando el semi perímetro p= a+b+c = 10+9+ 13 = 16 2 2 Como • sen A = !(p-b)(p-c) = (16-9)(16-13) 2 ~ bc 9 x 13 A sen-= 2 Además • cos A = )P(P - a) = 16(16 - 10) 2 bc 9 x 13 cos A = )16 x 6 = (32 2 9 x 13 ~39 A continuación se desarrollará una serie de ejemplos que tiene como objetivo deducir las diversas fórmulas que sirven para calcular semi perímetro, alturas, áreas, inradios, exradios, medianas y bisectrices correspondientes a un triángulo ABe. Ejemplo 8 Exprese el semiperímetro de un triángulo ABC en función de los semiángulos y el radio R de la circunferencia circunscrita. Resolución De la ley de senos a _ b _ c _ 2R --------- senA senB senC Por propiedad de proporciones ___ a_+_b_+_c = 2R senA + senB + senC De donde a+ b + c = 2R(senA + senB + senC) Utilizando 2p=a+b+c : 2p=2R(senA+senB+senC) Simplificando p=RCsenA+senB+senC) ... (1) Del capítulo Transformaciones trigonométricas se dedujo que si A+B+C = 180°, se cumple A B C senA + senB+senC= 4cos2cosicos2 ... (2) Reemplazando (2) en (1) tenemos (A B Cl p= R 4cos-cos-cos- 222 A B C .. P=4R cos-c2os-cos2- 2 '- o Fórmula que relaciona el semi perímetro, circunradio y semiángulos de un triángulo ABe. Ejemplo 9 Exprese cada altura de un triángulo en función del radio R del círculo circunscrito y de los ángulos. A c :h b ,, a B D C l- a I Figura 6.12 Resolución Sea ha la altura correspondiente al lado a (véase la figura 6.12). Entonces del triángulo rectángulo ADB tenemos: ha = csenB ... (1) De la ley de senos se deduce c=2RsenC ... (2) Reemplazamos (2) en (1), obteniendo ._.•._-] RsenBsenC ..... .. ~...._._- -.,."""",,_ ..-.- Análogamente se obtienen ( hb = 2RsenAsenC J y Ch:~~~~~~~~~] Ejemplo 10 Halle el radio r, del círculo inscrito en un triángulo en función de los ángulos y el radio del círculo circunscrito. Resolución A ----_ C2 <12 -="" 2="" 6.13="" b="" bc="BD+DC" bd="rcot" c="" como="" dc="rcot" de="" figura="" la="" los="" ngulos="" obtienen="" odb="" odc="" rect="" se="" tri="" y=""> BC = rcot 2" +rcot 2" Expresando, en senos y cosenos, luego efectuando sen B + C) 2 2 ===> 2RsenA= r B C sen-sen- 2 2 A ( J rcos- ===> 2R 2sen ~ cos ~ = B 2 C sen-sen- 2 2 A B C . ·lr = 4Rsen2sen2sen2 Fórmula que relaciona al inradio, circunradio y ángulos de un triángulo. Ejemplo 11 Exprese el semiperímetro de un triángulo ABC en términos del inradio y los semiángulos. (Véase figura 6.14) B z(A A b C Figura 6.14 Resolución Del ejemplo (1) A B C p= 4Rcos2"cos"2cos2 A B C r= 4Rsen-sen-sen- Del ejemplo (10) 2 2 2 Dividiendo ambos miembros 4 Reos A cos -º-cos C p 2 2 2 A B C 4Rsen-sen-sen- 222 .. p A B C Simplificando -;:-= cot2co t2cot 2 r A B C Por lo tanto p = rcot-cot-cot- 222 Fórmula que relaciona el semiperímetro, el inradio y semiángulos de un triángulo ABC
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