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TRASLACION Y ROTACION DE EJES ASPECTOS TEORICOS Y EJEMPLOS DESARROLLADOS

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    La figura 11.1 (a) se llama doble cono circular recto o simplemente cono. Se genera por una recta que se hace girar alrededor de un eje fijo , de modo que la recta pase siempre por un punto fijo denominado vértice y haga el mismo ángulo con el eje; las curvas cónicas pueden obtenerse al intersectar un cono con un plano (se les suele llamar cónicas o secciones cónicas) Las cónicas más importantes son las elipses, parábolas e hipérbolas, una muestra gráfica se da a continuación........ Obtenemos la parábola cuando interceptamos un plano inclinado con uno de los mantos del cono. Eje Obtenemos la hipérbola cuando se intercepta un plano inclinado con los mantos del cono. Cuando el plano de corte se elige de modo que pase por el vértice, es posible obtener en la intersección un punto o un par de rectas (a estas curvas cónicas se les denomina secciones cónicas degeneradas). SECCIONES CÓNICAS Definición de Parábola Una parábola es el conjunto de puntos en el plano, tales que equidistan de un punto fijo F (llamado foco) y recta fija (llamada directriz). y Eje de la parábola ... Directriz Para obtener una ecuación sencilla de una parábola asumimos que el eje Y sea el eje de la parábola con vértice en el origen Para un número real p t:- O , entonces el punto P(x;y ) equidista de F(O; p) y de P'(x;- p), es decir ~(x - Oi +(y- p) Simplificando la expresión 2 = ~(x - x) 2 + (y+p) 1 2 ( es la ecuación de la parábola ) Y= 4p X vertical con vérti cé en el origen Análogamente 1 ( es la ecuación de la parábola J X= -l 4p hori zontal con vértice en el origen Ejemplo 1 Halle la ecuación de la parábola con vérti ce en el origen y foco en (2;0) Resolución Como se tiene el foco F(2;0), entonces el eje de la parábola es horizontal. Así tenemos x = - Traslación y rotación de ejes Figura 11.3 Como p=2, : . x = L ó l = 8x (figura 11.3) Ejemplo 2 Calcule el vértice, el foco y la directriz de la parábola x Resolución De la ecuación dada y = - - Llevando a la forma normal y = y x 2 Figura 11.4 6 x2 4 ( _ ~ X 1 Entonces se trata de una parábola con eje vertical de vértice en 0(0;0) para P= - ~ (la parábola se abre hacia abajo; véase figura 11.4); entonces el foco es F( 0;- %) y directriz y=% Definición de Elipse Una elipse es el conjunto de puntos en e l plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos , ll amados focos, también e n e l pl ano, es igual a una constante. Para obtener una ecuación sencill a de una elipse, consideramos al eje X como la recta que pasa por Jos focos F y F', y e l centro en el origen (véase figura 11.5(a)) si c>O, entonces FF'=2c. y M__:.(O_;b-'-)~- P(x;y) -- ' V'(-a;O) V(a;O) F'(-c;O) O F(c;O) X M'(O;-b) (a) La suma constante de las distancias de P a F y a F' será 2a para a>c entonces P(x;y) está en la elipse si FP+ PF'=2a; es decir Simplificando r(a 2 -c 2 )+a y2 =a 2 2 (a 2 -c En el t::>.FOM' (ver figura 11.5(b)) Reemplazando obtenemos 2 ) Es la ecuación canónica de una elipse con . centro en (0;0) con eje mayor sobre e l eje X r , donde a>b (véase gráfico 11.5(b)) 792 y M(O;b) Trigonometría V' (-a;O) F'(-c;O) F(c;O) V(a;O) M'(O;-b) (b) Figura 11.5 Los vértices son (- a;O) y (a;O) Los puntos extremos del eje me nor son (O;b) y (0; -b) Los focos están en (-c;O) y (c;O) donde c Eje mplo 1 Halle la ecuación para una elipse con centro en 0(0;0), foco (2;0) y vértice (3;0) Resolución Como es evidente si un foco es F(2;0) e l otro es F'(- 2;0) ya que el centro es e l origen, Juego c=2. V'(- 3;0) y F' o (0;./5) (0;-Js) Figura 11.6 F 2 X =a V(3;0) Además con e l vért ice V(3;0), te ne mos V'(- 3;0) e ntonces a=3 Pero b 2 x2 l = a 2 c 2 ~ b . . - +-= 1 (fi gura 11.6) Ejemplo 2 Dada la ecuación x los focos y los vértices. Resolución 2 2 + L = 1 , calcule el centro, De la ecuación identificamos a 2 = 1 · b 2 =4 , 4 entonces el ej e mayor es vertical y a2= b2 -c2 =:> c=J3 :. 0(0;0), F(O ; J3), F' (O ;-J3) y veo; 2) , veo;- 2) (vea la figura 11. 7) (0;2) y F (-1 ;O) (1 ;O) o X (0;-2) F' Figura 11.7 Definición de Hipérbola Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos en un plano, tales que la diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos, también en el plano, es una constante. Para obtener una ecuación sencilla de una hipérbola, considera mos al eje X como la recta que pasa por los focos F y F' y el punto medio de FF' es el origen o centro de la hipérbola (véas.€ figura 11.8(a)). Traslación y rotación de ejes y o (a) P(x,y) ... --- ,' Si c>O, entonces FF'=2c. La diferencia constante de P a F' y F será 2a. Si P(x;y) está en la hipérbola se cumpl e 1 d(P;F')- d(P;F) 1 = 2a, es decir 1 ~(x - c) 2 + (y - 0) 2 -~(x+c) 2 l Simplificando x .. - = 1 Entonces a• c 2 - a 2 2 + ( y-0) 2 Es la ecuación canónica de una hipérbola con centro en (0;0) con eje mayor en el eje X. Los vértices son (-a;O) y (a;O), (véase la figura 11.8(b)) -bx y= a ------ \_ y M(O;b) .... .. :.----- --- --;-r F'(-c;O) ' -- -- : F(c;O) V'(-a;O) , _,-- --- -- , V(a;O) X )-l::.: ____ __ __ _ .... _.!.. __ M'(O;-b) - (b) Figura 11.8 Los puntos extremos del eje conjugado son (O;b) y (0;-b) l os focos están en (-c;O) y (c;O), donde asíntotas de la hipérbola. b -b 1 = 2a y = -x, y =-x son a a TRASLACI ÓN DE EJES Se da cuando e l origen de coorde nadas se tra slada a un determinado punto del pla no XY manteniendo sus respectivos ejes homólogos paralelos (en el nuevo si stema X ' Y', X' es homólogo de X e Y' de Y) , también deben mantener la misma unidad de escala, esto es, si en el sistema XY la ::1 _- --- -------- - ----------------¡ .-:J---- - - ------- --- - ~ P(x ; y) distancia entre dos puntos Ay Bes 10 entonces en el sistema X ' Y' sigue siendo 10. Gráficamente y : 1 : 1 ! 1 y' . : Y -- "- ------------- -¿¡¡,;k)ó -O;(o;tÍJ "' x' ... ~ ---- --· ......... X· k 0'-------....,------_./ h C(h; k): origen del nuevo sistema X' Y'. X Figura 11.11 P(x';y') Además, estará usted observando que el punto P tiene dos formas de poder expresarlo: • En el sistemaXY : P(x; y) • En el sistema X ' Y' : P'(x'; y ') Luego, de la figura 11.11 obtenemos r-· l [ X =X'+h f y=y'+k ¡ ... (1) '---.:.__····--····-----' Estas relaciones mostradas sirven para encontrar las coordenadas en el sistema XY (x;y) cuando nos dan como dato las coordenadas (x';y ' ) de un punto cuando los ejes se han trasladado a un nuevo origen O'(h; k). El caso recíproco ocurre cuando a partir de la ecuación (1) se despeja x' e y ' , así se obtiene r;~ :~:-1 - -- ( 2 ) \. ...... ...................... _. •.......... ~ A las ecuaciones (1) y (2) se les llama Ecuaclbn de traslación. X jemplo 1 Halle las coordenadas del punto P(3;5) en el nuevo sistema X ' Y' cuando el origen se ha trasladado al punto (1 ;2) y Y'' (2;3) para el sistemaX' Y' l . p { (3;5) para e l siste ma XY 5 3 _ ____ _ ~ Q (9;4) pa ra el s1stemaXY 4 2 ~ _____ ~ ____ __ __________ ss_; :;) para el sistema X ' Y' 3 1- 2 O' (1 ;2) 1 o 1 ·1 ·· 1 1 1 1 1 · 23456789 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Figura 11.12 De los datos P(x,y) = (3;5) y O'(h;K) = (1 ;2) Aplicando la fórmula 2 x '= x - h = 3 - 1 ~ x' = 2 y' = y-K = S-2 ~ y' = 3 :. (x' ; y') = (2; 3) (coordenadas de P en el sistema X'Y' ) De la misma forma usted puede verifi car para las coordenadas del punto Q. Eje mplo 2 + l = 1) en un nuevo sistema X ' Y' , cuyo origen esta en el punto Halle la ecuación de la C.T. (x (-1; -1). Res olución 2 Dado el enunci ado, como el radio de la circunferencia trigonométrica es uno y la distancia del origen a l os ejes X e Y es uno tambi én, entonces podemos plantear el siguiente gráfico (vea la figura 11. 13(a)) 796 X ' X Y' y Trigonometría (-1 ;-1) O' X' (a) Se observa que un punto P(x;y) del sistema XY se puede escribir como X=X'+h y= y'+ k donde O'(h;k) es el nuevo ori gen, luego x=x'- 1} y = y'- 1 ... (a) : . La ecuación de la circunferencia en el sistema X' Y' deberá estar en términos de x' e y', por l o que reemplazamos (a) en la ecuación x 2 + l = 1 ~ (x'- 1) 2 + (y'- 1) 2 = 1 Esta ecuación es para el sistema X' Y' (véase la fig ura 11.1 3(b)) Y' O' ' • .' (1 ;1) (b) Figura 11.13 X' Ejemplo 3 Realice la gráfica y= 2 sen( x-~ J + 1; por el método de traslación de ejes. Resolución Dada la ecuación original y= 2 sen( x- ~ J + 1, acomodamos esta expresión y -1 = 2 sen( x-% J Debido a que y - 1 puede ser cambiado por y' (nuevo sistema) y x-~ puede ser cambiado por x' (nuevo sistema) 2 Y , __ 2 senx , ( La gráfica de esta ecuación para un sistema X' Y' es) Entonces queda bastante sencilla y la mostramos a continuación. Y' -2 y'=2senx' (a) Sn 2 4n X' Y la pregunta que se hará el lector es ¿dónde está el sistema XY? A continuación le informamos que debido a las e~:c::~s deducidas en (2) ¡ x· = x _ _:: , _ _k en nuestro caso son 2 y -y y'= y -1 De donde 0'(0;0) en el sistema X' Y' tendrá el siguiente par ordenado o· ( ~; 1 J respecto del sistema XY como se muestra en la figura 11.14(b). y Y' 3 2 3- y' =2senx' (Ecuación de la curva si suponemos que sólo existe el sistema X 'Y') y=2sen(x-K)+ 1 (Ecuación de la curva vista desde el sistemaXY) 2 (b) Figura 11.14 3rt X' X Del ejemplo anterior, notamos que la curva es lamisma y, sin embargo, se escribe de diferente forma, esto se debe a que toda curva puede ser escrita de qcuerdo al sistema de referencia que se considere, es decir, una misma curva puede tener varias ecuaciories, una para cada uno de los sistemas que se consideren. 797 ROTACIÓN DE EJES Dado que la ubicación de un punto en un plano puede ser representado de varias formas (distintos pares ordenados) de acuerdo al sistema de referencia que se utilice, dicho sistema puede ser obtenido mediante una traslación o rotación de ejes. En la presente sección haremos más énfasis en lo último. Como se sabe, las secciones cónicas presentan muchas aplicaciones, pero mayormente cuando se requiere analizarlas están escritas en su forma canónica (más sencillo de analizar), esto es cuando los ejes de la sección cónica son paralelos a los ejes del sistema de referencia, como por ejemplo lo que se muestra en las figuras ll.IS(a) y 11.15(b). 798 y y o ~ (2;-3) (a) Eje mayor de la elipse paralela al eje Y Eje focal de la parábola paralela al eje X (b) X X Trigonometría Pero hay ocasiones en las cuales dichos ejes no son paralelos a los ejes X o Y, como es el caso de y Eje mayor de la elipse, -\--como se observa no es paralela ni al eje X ni al eje Y. (e) Figura 11. 15 X Algo más que podemos acotar sobre la forma de la ecuación de dicha elipse, la cual la obtenemos a partir del punto P(x;y) que pertenece a la elipse, teniendo como dato adicional que la distancia V V =6 Para que sea una elipse debe cumplir que => ~(x -1) 1 2 2 - - -- dPF¡ + dPF +(y-2) 2 2 = V V 1 + ~,--(x_+_l-) 2 2 _+_(_y_+-2)--=- Elevando al cuadrado dos veces obtenemos la siguiente ecuación 8x 2 4xy+ 5l = 36 La cual presenta el término cruzado -4xy que indicará en adelante que los ejes de dicha sección cónica no son paralelos a los ejes del sistemaXY. Una pregunta inmediata por parte del lector sería ¿por qué no rotamos los ejes del sistema de tal forma que coincidan con los ejes de la sección cónica? Esta apreciación es correcta, pero observe que no se puede rotar cualquier ángulo; para que lo mencionado suceda, para hall ar dicho ángulo de rotación es necesario tener en cuenta ciertas nociones previas. De las igualdades (III) y (IV) se concluye donde (x'; y'): (x; y) Í x = x'cosex- y'senex l l x:. :·=~~ -~~x·~?:~ J ··· cv) par ordenado del punto P en el sistema X 'Y' par ordenado del punto P en el sistemaXY ex ángulo de rotación del sistemaXYpara obtener el sistema X' Y' A las ecuaciones de la relación (V) se les llama Ecuaciones de rotación. A continuación mostramos un ejemplo de aplicación. Ejemplo Calcule las coordenadas del punto P(x;y) en el sistema XY, si en e l nuevo sistema X'Y' que se genera cuando lo ejes de XY giran un ángulo de 37°, sus coordenadas son P(25; 5). Gráficamc. 1te Luego de la rotación obtenemos 800 y ---------- - - ., P(x';y') -0=+----------~--~x Y ' (a) y (b) Para el nuevo sistema X'Y' ..- P(x';y') ' \ X' X - Trigonometría Dato: P(25;5)= P (x'y'); e n el siste ma X' Y', de donde x' =25 ; y'= 5 Án gulo de rotación: ex = 37" ; entonces x = x'cosex- y'senex y= x 'sen ex+ y' e os ex Luego de las ecuaciones de rotación obtenemos x = 25cos37° -5sen3r Para calcular e l valor de x utilizaremos 5K 4K (e) Figura 11.17 x = 25 ( * ) -5( %) = 20-3 = 17 ::::::} x=17 También y = 25 sen 37° + 5cos37° y= 25( %) + 5( i ) = 15 + 4 = 19 ::::::} y = 19 3K Por lo que podemos afirmar que e l punto P en e l sistema XY tendrá las siguientes coordenadas: P(17; 19). Pero se puede presentar e l caso contrario, es decir, se puede pedir las nuevas coordenadas ter ~ ndo como datos e l ángulo de rotación y las coordenadas en e l sistema XY. Para resolve r este tipo de ejemplos se sugie re despejar x' e y' de las ecuaciones de rotación, de las que se obtiene el siguie nte par de e cuaciones, que también se conocen con el nombre de fórmulas de rotación inversa. x' = xcosa + ysena y'= -xsena + ycosa Para e nte nder un poco más, mostramos e l s i guiente ejemplo de apli cación. Si usted observa detenidamente la última ecuación notará que tiene la forma (o es equivalente) de A'x' 2 +B'x'y'+C'y' 2 +D' x'+E'y'+F' =O y si identificamos cada coeficiente correspondiente para x' 2 , x' y', y' B' = B(cos 2 2 , x', y', se obtiene 8 -sen D' = Dcos8 +E sen 8 E'= - Dsen8+ Ecos8 2 8)+ 2(C -A)sen8cos8 F'=F Si nosotros quisiéramos eliminar el término x' y' debería verificarse que B' =O , por lo que podemos plantear B' = B(cos 2 8-sen 2 8) + (C-A)2sen 8cos8 =O '----v-' cos28 sen28 De donde B' = B cos28 + (C-A) sen28 =O Finalmente r·················· ................... ___ ] 1 A-C cot28=-- \.... ... '"_ .. ,_ .. , ___ ·--····· , ' B ... (6) Puesto que esta última ecuación (donde A; By C son constantes) puede ser positiva, negativa o incluso cero, siempre será posible satisfacerla con un ángulo 8 que verifique (O< 8 < 90°), razón por la cual se le utilizará en la rotación de ejes, ello sin negar que se puede rotar un ángulo mayor de 90° e incluso ángulos negativos, para estos casoS' se trabajará de manera análoga. (5) Ejemplo Traslación y rotación de ejes Elimine el término XY y encuentre la ecuación luego del giro de los ejes 3x 2 2.J3xy + 2x + 2J3y =O .... . (a) Resolución Dada la ecuación de segundo grado, así como la ecuación general Ax 2 -Bxy+Cl +Dx+Ey+F=O Identificando A, B y C obtenemos A = 3 · B = -2 '3 · C = 1 ' '>j;) ' Calculemos el ángulo de rotación con A-C 3-1 -J3 cot 28 = - - = --= -- B -2./3 3 Luego, en las fórmulas de rotación x = x'cos60°-y'sen60°= Y x'- •./3 2 x'./3 +y' y= x'sen60°+y' cos60°= -----"- 2 Reemplazando en la ecuación a , tenemos x' =-(y') 2 . Véase la figura 11.20 Y''", ' ' y Figura 11.20 X
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