TRASLACION Y ROTACION DE EJES ASPECTOS TEORICOS Y EJEMPLOS DESARROLLADOS

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se llama doble cono circular recto o simplemente cono. Se genera por una recta que se hace girar alrededor de un eje fijo , de modo que la recta pase siempre por un punto fijo denominado vértice y haga el mismo ángulo con el eje; las curvas cónicas pueden obtenerse al intersectar un cono con un plano (se les suele llamar cónicas o secciones cónicas) Las cónicas más importantes son las elipses, parábolas e hipérbolas, una muestra gráfica se da a continuación........ Obtenemos la parábola cuando interceptamos un plano inclinado con uno de los mantos del cono. Eje Obtenemos la hipérbola cuando se intercepta un plano inclinado con los mantos del cono. Cuando el plano de corte se elige de modo que pase por el vértice, es posible obtener en la intersección un punto o un par de rectas (a estas curvas cónicas se les denomina secciones cónicas degeneradas). SECCIONES CÓNICAS Definición de Parábola Una parábola es el conjunto de puntos en el plano, tales que equidistan de un punto fijo F (llamado foco) y recta fija (llamada directriz). y Eje de la parábola ... Directriz Para obtener una ecuación sencilla de una parábola asumimos que el eje Y sea el eje de la parábola con vértice en el origen Para un número real p t:- O , entonces el punto P(x;y ) equidista de F(O; p) y de P'(x;- p), es decir ~(x - Oi +(y- p) Simplificando la expresión 2 = ~(x - x) 2 + (y+p) 1 2 ( es la ecuación de la parábola ) Y= 4p X vertical con vérti cé en el origen Análogamente 1 ( es la ecuación de la parábola J X= -l 4p hori zontal con vértice en el origen Ejemplo 1 Halle la ecuación de la parábola con vérti ce en el origen y foco en (2;0) Resolución Como se tiene el foco F(2;0), entonces el eje de la parábola es horizontal. Así tenemos x = - Traslación y rotación de ejes Figura 11.3 Como p=2, : . x = L ó l = 8x (figura 11.3) Ejemplo 2 Calcule el vértice, el foco y la directriz de la parábola x Resolución De la ecuación dada y = - - Llevando a la forma normal y = y x 2 Figura 11.4 6 x2 4 ( _ ~ X 1 Entonces se trata de una parábola con eje vertical de vértice en 0(0;0) para P= - ~ (la parábola se abre hacia abajo; véase figura 11.4); entonces el foco es F( 0;- %) y directriz y=% Definición de Elipse Una elipse es el conjunto de puntos en e l plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos , ll amados focos, también e n e l pl ano, es igual a una constante. Para obtener una ecuación sencill a de una elipse, consideramos al eje X como la recta que pasa por Jos focos F y F', y e l centro en el origen (véase figura 11.5(a)) si c>O, entonces FF'=2c. y M__:.(O_;b-'-)~- P(x;y) -- ' V'(-a;O) V(a;O) F'(-c;O) O F(c;O) X M'(O;-b) (a) La suma constante de las distancias de P a F y a F' será 2a para a>c entonces P(x;y) está en la elipse si FP+ PF'=2a; es decir Simplificando r(a 2 -c 2 )+a y2 =a 2 2 (a 2 -c En el t::>.FOM' (ver figura 11.5(b)) Reemplazando obtenemos 2 ) Es la ecuación canónica de una elipse con . centro en (0;0) con eje mayor sobre e l eje X r , donde a>b (véase gráfico 11.5(b)) 792 y M(O;b) Trigonometría V' (-a;O) F'(-c;O) F(c;O) V(a;O) M'(O;-b) (b) Figura 11.5 Los vértices son (- a;O) y (a;O) Los puntos extremos del eje me nor son (O;b) y (0; -b) Los focos están en (-c;O) y (c;O) donde c Eje mplo 1 Halle la ecuación para una elipse con centro en 0(0;0), foco (2;0) y vértice (3;0) Resolución Como es evidente si un foco es F(2;0) e l otro es F'(- 2;0) ya que el centro es e l origen, Juego c=2. V'(- 3;0)