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TRASLACION Y ROTACION DE EJES ASPECTOS TEORICOS Y EJEMPLOS DESARROLLADOS


 



La figura 11.1 (a) se llama doble cono circular  recto o  simplemente cono. Se genera por una recta que se hace girar alrededor de un eje fijo , de modo que la recta pase siempre por un punto fijo denominado vértice y haga el mismo ángulo con el eje; las curvas cónicas pueden obtenerse al intersectar un cono con un plano (se les suele llamar cónicas o secciones cónicas)  
Las cónicas más importantes son las elipses, parábolas e hipérbolas, una muestra gráfica se da  a continuación........
Obtenemos la parábola cuando interceptamos un plano inclinado con uno de los mantos del cono. 
Eje Obtenemos la hipérbola cuando se intercepta un plano inclinado con los mantos del cono. 

Cuando el plano de corte se elige de modo que pase  por el vértice, es posible obtener en la intersección 
un punto o un par de rectas (a estas curvas cónicas
se les denomina secciones cónicas degeneradas). 
SECCIONES CÓNICAS 
Definición de Parábola  Una parábola es el conjunto de puntos en el plano, tales que equidistan de un punto fijo F  (llamado foco) y recta fija  (llamada directriz). 
y  Eje de la parábola ...
Directriz 

Para obtener una ecuación sencilla de una parábola asumimos que el eje Y sea el eje de la
parábola con vértice en el origen 
Para un número real p t:- O , entonces el punto  P(x;y ) equidista de F(O; p) y de P'(x;- p), es decir 
~(x - Oi +(y- p)
Simplificando la expresión
2
= ~(x - x)
2
+ (y+p)
1 2 ( es la ecuación de la parábola )
Y= 4p X vertical con vérti cé en el origen
Análogamente
1 ( es la ecuación de la parábola J
X= -l
4p hori zontal con vértice en el origen
Ejemplo 1
Halle la ecuación de la parábola con vérti ce en el
origen
y foco en (2;0)
Resolución
Como se tiene el foco F(2;0), entonces el eje de
la parábola es horizontal.

Así tenemos x = -
Traslación y rotación de ejes
Figura 11.3

Como p=2, : . x = L ó l = 8x (figura 11.3)
Ejemplo 2

Calcule el vértice, el foco y la directriz de la
parábola x
Resolución

De la ecuación dada y = - -
Llevando a la forma normal y =
y
x 2
Figura 11.4
6
x2
4
( _
~
X
1
Entonces se trata de una parábola con eje vertical
de vértice en 0(0;0) para P= - ~ (la parábola se
abre hacia abajo; véase figura 11.4); entonces el
foco es F( 0;- %) y directriz y=%
Definición de Elipse
Una elipse es el conjunto de puntos en e l
plano tales que la suma de sus distancias a dos
puntos fijos , ll amados focos, también e n e l
pl
ano, es igual a una constante.
Para obtener una ecuación sencill a de una
elipse, consideramos al eje X como la recta que
pasa por Jos focos F y F', y e l centro en el origen
(véase figura 11.5(a)) si c>O, entonces FF'=2c.
y
M__:.(O_;b-'-)~- P(x;y)
-- '
V'(-a;O)
V(a;O)
F'(-c;O) O
F(c;O)
X
M'(O;-b)
(a)
La suma constante de las distancias de P a F
y a F' será 2a para a>c entonces P(x;y) está en la
elipse si
FP+ PF'=2a; es decir
Simplificando
r(a
2
-c
2
)+a
y2 =a
2
2
(a
2
-c
En el t::>.FOM' (ver figura 11.5(b))
Reemplazando obtenemos
2
)
Es la ecuación canónica de una elipse con .
centro en (0;0) con eje mayor sobre e l eje X r ,
donde a>b (véase gráfico 11.5(b))
792
y
M(O;b)
Trigonometría
V'
(-a;O) F'(-c;O)
F(c;O) V(a;O)
M'(O;-b)
(b)
Figura 11.5
Los vértices son (- a;O) y (a;O)
Los puntos extremos del eje me nor son (O;b) y
(0;
-b)
Los focos están en (-c;O) y (c;O) donde c
Eje mplo 1
Halle la ecuación para una elipse con centro en
0(0;0), foco (2;0) y vértice (3;0)
Resolución
Como es evidente si un foco es F(2;0) e l otro es
F'(- 2;0) ya que el centro es e l origen, Juego c=2.
V'(- 3;0)
y
F'
o
(0;./5)
(0;-Js)
Figura 11.6
F
2
X
=a
V(3;0)
Además con e l vért ice V(3;0), te ne mos V'(- 3;0)
e
ntonces a=3
Pero b
2
x2 l
= a
2
c
2
~ b
. . - +-= 1 (fi gura 11.6)

Ejemplo 2
Dada la ecuación x
los focos y los vértices.
Resolución
2
2
+ L = 1 , calcule el centro,
De la ecuación identificamos
a
2
= 1 · b
2
=4
,
4
entonces el ej e mayor es vertical y
a2= b2
-c2
=:> c=J3
:. 0(0;0), F(O ; J3), F' (O ;-J3) y
veo; 2) , veo;- 2)
(vea la figura 11. 7)
(0;2)
y
F
(-1
;O)
(1 ;O)
o
X
(0;-2)
F'
Figura 11.7
Definición de Hipérbola
Una hipérbola es el conjunto de todos los
puntos
en un plano, tales que la diferencia de
distancias a dos puntos fijos llamados focos,
también
en el plano, es una constante.
Para obtener una ecuación sencilla de una
hipérbola, considera
mos al eje X como la recta
que pasa
por los focos F y F' y el punto medio de
FF' es el origen o centro de la hipérbola (véas.€
figura 11.8(a)).
Traslación y rotación de ejes
y
o
(a)
P(x,y)
... --- ,'
Si c>O, entonces FF'=2c. La diferencia constante
de P a F' y F será 2a.
Si P(x;y) está en la hipérbola se cumpl e
1 d(P;F')- d(P;F) 1 = 2a, es decir
1 ~(x - c)
2
+ (y - 0)
2
-~(x+c)
2 l
Simplificando x .. - = 1
Entonces
a• c
2
- a
2
2
+ ( y-0)
2
Es la ecuación canónica de una hipérbola con
centro en (0;0) con eje mayor en el eje X. Los
vértices son
(-a;O) y (a;O), (véase la figura 11.8(b))
-bx
y= a
------ \_
y
M(O;b)
.... .. :.----- --- --;-r
F'(-c;O) ' -- -- : F(c;O)
V'(-a;O) , _,-- --- -- , V(a;O) X
)-l::.: ____ __ __ _ .... _.!.. __
M'(O;-b) -
(b)
Figura 11.8
Los puntos extremos del eje conjugado son (O;b)
y (0;-b) l os focos están en (-c;O) y (c;O), donde
asíntotas de la hipérbola.
b -b
1 = 2a
y = -x, y =-x son
a a
TRASLACI ÓN DE EJES
Se da cuando e l origen de coorde nadas se tra slada a un determinado punto del pla no XY
manteniendo sus respectivos ejes homólogos paralelos (en el nuevo si stema X ' Y', X' es homólogo
de
X e Y' de Y) , también deben mantener la misma unidad de escala, esto es, si en el sistema XY la
::1 _- --- -------- - ----------------¡ .-:J---- - - ------- --- - ~ P(x ; y)
distancia entre
dos puntos Ay Bes 10 entonces en el sistema X ' Y' sigue siendo 10.
Gráficamente
y
: 1
: 1
! 1
y' . :
Y -- "- ------------- -¿¡¡,;k)ó -O;(o;tÍJ "' x' ... ~ ---- --· ......... X·
k
0'-------....,------_./
h
C(h; k): origen del nuevo sistema X' Y'.
X
Figura 11.11
P(x';y')
Además, estará usted observando que el punto P tiene dos formas de poder expresarlo:
• En el sistemaXY : P(x; y)
• En el sistema X ' Y' : P'(x'; y ')
Luego, de la figura 11.11 obtenemos
r-· l
[ X =X'+h
f y=y'+k ¡ ... (1)
'---.:.__····--····-----'
Estas relaciones mostradas sirven para encontrar las coordenadas en el sistema XY (x;y) cuando
nos dan como dato las coordenadas (x';y ' ) de un punto cuando los ejes se han trasladado a un nuevo
origen
O'(h; k).
El caso recíproco ocurre cuando a partir de la ecuación (1) se despeja x' e y ' , así se obtiene
r;~ :~:-1 - -- (
2
)
\. ...... ...................... _. •.......... ~
A las ecuaciones (1) y (2) se les llama Ecuaclbn de traslación.
X

jemplo 1
Halle las coordenadas del punto P(3;5) en el
nuevo sistema X ' Y' cuando el origen se ha
trasladado al punto (1 ;2)
y Y''
(2;3) para el sistemaX' Y' l .
p { (3;5) para e l siste ma XY
5 3 _ ____ _ ~ Q (9;4) pa ra el s1stemaXY
4 2 ~ _____ ~ ____ __ __________ ss_; :;) para el sistema X ' Y'
3 1-
2
O' (1 ;2)
1
o
1 ·1 ·· 1 1 1 1 1 ·
23456789
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Figura 11.12
De los datos P(x,y) = (3;5) y O'(h;K) = (1 ;2)
Aplicando la fórmula 2
x '= x - h = 3 - 1 ~ x' = 2
y' = y-K = S-2 ~ y' = 3
:. (x' ; y') = (2; 3)
(coordenadas de P en el sistema X'Y' )
De la misma forma usted puede verifi car para las
coordenadas del punto Q.
Eje
mplo 2
+ l = 1) en un
nuevo sistema
X ' Y' , cuyo origen esta en el punto
Halle la ecuación de la C.T. (x
(-1; -1).
Res olución
2
Dado el enunci ado, como el radio de la
circunferencia trigonométrica es uno y la distancia
del origen a l os ejes X e Y es uno tambi én,
entonces podemos plantear el siguiente gráfico
(vea la figura 11. 13(a))
796
X '
X
Y'
y
Trigonometría
(-1 ;-1) O' X'
(a)
Se observa que un punto P(x;y) del sistema XY se
puede escribir como
X=X'+h
y= y'+ k
donde O'(h;k) es el nuevo ori gen, luego
x=x'- 1}
y = y'- 1
... (a)
: . La ecuación de la circunferencia en el sistema
X' Y' deberá estar en términos de x' e y', por l o
que reemplazamos (a) en la ecuación
x 2 + l = 1
~ (x'- 1)
2
+ (y'- 1)
2
= 1
Esta
ecuación es para el sistema X' Y' (véase la
fig
ura 11.1 3(b))
Y'
O'
'
• .' (1 ;1)
(b)
Figura 11.13
X'
Ejemplo 3
Realice la gráfica y= 2 sen( x-~ J + 1; por el método de traslación de ejes.
Resolución
Dada la ecuación original y= 2 sen( x- ~ J + 1, acomodamos esta expresión y -1 = 2 sen( x-% J
Debido a que y - 1 puede ser cambiado por y' (nuevo sistema) y
x-~ puede ser cambiado por x' (nuevo sistema)
2
Y
,
__
2
senx , ( La gráfica de esta ecuación para un sistema X' Y' es)
Entonces queda
bastante sencilla y la mostramos a continuación.
Y'
-2
y'=2senx'
(a)
Sn
2
4n X'
Y la pregunta que se hará el lector es ¿dónde está el sistema XY? A continuación le informamos que
debido a las e~:c::~s deducidas en (2) ¡ x· = x _ _::
, _ _k en nuestro caso son 2
y -y y'= y -1
De donde 0'(0;0) en el sistema X' Y' tendrá el siguiente par ordenado o· ( ~; 1 J respecto del sistema
XY como se muestra en la figura 11.14(b).
y Y'
3
2
3-
y' =2senx' (Ecuación de la curva si suponemos que sólo existe el
sistema X 'Y')
y=2sen(x-K)+ 1 (Ecuación de la curva vista desde el sistemaXY)
2
(b)
Figura 11.14
3rt X'
X
Del ejemplo anterior, notamos que la curva es lamisma y, sin embargo, se escribe de diferente forma, esto
se
debe a que toda curva puede ser escrita de qcuerdo al sistema de referencia que se considere, es decir,
una misma curva puede tener varias ecuaciories, una para cada uno de los sistemas que se consideren.
797
ROTACIÓN DE EJES
Dado que la ubicación de un punto en un
plano puede ser representado de varias formas
(distintos pares
ordenados) de acuerdo al sistema
de referencia que se utilice, dicho sistema puede
ser obtenido mediante una traslación o rotación
de ejes. En la presente sección haremos más
énfasis en lo último.
Como se sabe, las secciones cónicas presentan
muchas aplicaciones, pero mayormente cuando se
requiere analizarlas están escritas en su forma
canónica (más sencillo de analizar), esto es cuando
los ejes de la sección cónica son paralelos a los ejes
del sistema de referencia, como por ejemplo lo que
se muestra en las figuras ll.IS(a) y 11.15(b).
798
y
y
o
~ (2;-3)
(a)
Eje mayor de la
elipse paralela
al
eje Y
Eje focal de la parábola
paralela al eje X
(b)
X
X
Trigonometría
Pero hay ocasiones en las cuales dichos ejes no
son paralelos a los ejes X o Y, como es el caso de
y
Eje mayor de la elipse,
-\--como se observa no
es paralela ni al eje
X ni al eje Y.
(e)
Figura 11. 15
X
Algo más que podemos acotar sobre la forma
de la ecuación de dicha elipse, la cual la
obtenemos a partir del punto P(x;y) que pertenece
a la elipse, teniendo como dato adicional que la
distancia V
V
=6
Para que sea una elipse debe cumplir que
=> ~(x -1)
1
2
2
- - --
dPF¡ + dPF
+(y-2)
2
2
= V
V
1
+ ~,--(x_+_l-)
2
2
_+_(_y_+-2)--=-
Elevando al cuadrado dos veces obtenemos
la siguiente ecuación
8x
2
4xy+
5l
=

36
La
cual presenta el término cruzado -4xy que
indicará en adelante que los ejes de dicha sección
cónica no son paralelos a los ejes del sistemaXY.
Una pregunta inmediata por parte del lector
sería ¿por qué no rotamos los ejes del sistema de
tal forma que coincidan con los ejes de la sección
cónica? Esta apreciación es correcta, pero
observe que no se puede rotar cualquier ángulo;
para que lo mencionado suceda, para hall ar dicho
ángulo de rotación es necesario tener en cuenta
ciertas nociones previas.
De las igualdades (III) y (IV) se concluye
donde
(x'; y'):
(x; y)
Í x = x'cosex- y'senex l
l x:. :·=~~ -~~x·~?:~ J ··· cv)
par ordenado del punto P en el sistema
X 'Y'
par ordenado del punto P en el sistemaXY
ex ángulo de rotación del sistemaXYpara
obtener el sistema X' Y'
A las ecuaciones de la relación (V) se les llama
Ecuaciones de rotación.
A continuación mostramos un ejemplo de aplicación.
Ejemplo
Calcule las coordenadas del punto P(x;y) en el
sistema XY, si en e l nuevo sistema X'Y' que se
genera cuando lo ejes de XY giran un ángulo de
37°, sus coordenadas son P(25; 5).
Gráficamc. 1te
Luego de
la rotación
obtenemos
800
y
---------- - - .,
P(x';y')
-0=+----------~--~x
Y
'
(a)
y
(b)
Para el nuevo
sistema
X'Y'
..- P(x';y')
' \
X'
X -
Trigonometría
Dato: P(25;5)= P (x'y'); e n el siste ma X' Y', de
donde x' =25 ; y'= 5
Án
gulo de rotación: ex = 37" ; entonces
x = x'cosex- y'senex
y= x 'sen ex+ y' e os ex
Luego de las ecuaciones de rotación obtenemos
x = 25cos37° -5sen3r
Para calcular e l valor de x utilizaremos
5K
4K
(e)
Figura 11.17
x = 25 ( * ) -5( %) = 20-3 = 17
::::::} x=17
También
y = 25 sen 37° + 5cos37°
y= 25( %) + 5( i ) = 15 + 4 = 19
::::::} y = 19
3K
Por lo que podemos afirmar que e l punto P en e l
sistema XY tendrá las siguientes coordenadas:
P(17; 19).
Pero se puede presentar e l caso contrario, es
decir, se puede pedir las nuevas coordenadas
ter ~ ndo como datos e l ángulo de rotación y las
coordenadas en e l sistema XY. Para resolve r este
tipo de ejemplos se sugie re despejar x' e y' de
las ecuaciones de rotación, de las que se obtiene
el siguie nte par de e cuaciones, que también se
conocen con el nombre de fórmulas de rotación
inversa.
x' = xcosa + ysena
y'= -xsena + ycosa
Para e nte nder un poco más, mostramos e l
s i
guiente ejemplo de apli cación.

Si usted observa detenidamente la última
ecuación notará que tiene la forma (o es
equivalente) de
A'x'
2
+B'x'y'+C'y'
2
+D' x'+E'y'+F' =O
y si identificamos cada coeficiente correspondiente
para x'
2
,
x' y', y'
B' = B(cos
2
2
,
x', y', se obtiene
8 -sen
D' = Dcos8 +E sen 8
E'= - Dsen8+ Ecos8
2
8)+ 2(C -A)sen8cos8
F'=F
Si nosotros quisiéramos eliminar el término x' y'
debería verificarse que B' =O , por lo que
podemos plantear
B' = B(cos
2
8-sen
2
8) + (C-A)2sen 8cos8 =O
'----v-'
cos28 sen28
De donde
B' = B cos28 + (C-A) sen28 =O
Finalmente
r·················· ................... ___ ]
1
A-C
cot28=--
\.... ... '"_ .. ,_ .. , ___ ·--·····
, ' B
... (6)
Puesto que esta última ecuación (donde A; By C
son constantes) puede ser positiva, negativa o
incluso cero, siempre será posible satisfacerla con
un ángulo 8 que verifique
(O< 8 < 90°), razón por
la cual
se le utilizará en la rotación de ejes, ello
sin negar que
se puede rotar un ángulo mayor de
90° e incluso ángulos negativos, para estos casoS'
se trabajará de manera análoga.
(5)
Ejemplo
Traslación y rotación de ejes
Elimine el término XY y encuentre la ecuación
luego del giro de los ejes
3x
2
2.J3xy

+ 2x + 2J3y =O .... . (a)
Resolución
Dada la ecuación de segundo grado, así como la
ecuación general
Ax
2
-Bxy+Cl +Dx+Ey+F=O
Identificando A, B y C obtenemos
A = 3 · B = -2 '3 · C = 1
' '>j;) '
Calculemos el ángulo de rotación con
A-C 3-1 -J3
cot 28 = - - = --= --
B -2./3 3
Luego, en las fórmulas de rotación
x = x'cos60°-y'sen60°= Y
x'- •./3
2
x'./3 +y'
y= x'sen60°+y' cos60°= -----"-
2
Reemplazando en la ecuación a , tenemos
x' =-(y')
2
.
Véase la figura 11.20
Y''",
'
'
y
Figura 11.20
X
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