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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA ASPECTOS TEORICOS, EJEMPLOS Y EJERCICIOS

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  • Circunferencia Máxima
    Es aquella circunferencia que se forma al ser cortada una superficie esférica por un plano, tal que pase por el centro de la misma Circunferencia Mínima Se genera cuando el plano que intersecta a la superficie esférica no pasa por el centro de ésta. Son los extremos del diámetro perpendicular al plano que contiene a una circunferencia máxima. polar es el arco de circunferencia máxima de todo los lugares que distan 90° de los polos. AP = PB = 90° Ángulos diedros. Cuando dos planos se intersectan (tienen una recta común), entonces determinan ángulos diedros. ( El ángulo formado en una esfera por dos ateos secantes de circunferencias máximas se denomina ángulo esférico. En la figura 12.4(a) se muestra un ángulo esférico cuya medida es ex. La medida de un ángulo esférico viene dada por el ángulo diedro formado por los planos de las circunferencias máximas cuyos arcos constituyen los lados del ángulo esférico. (Ver figura 12.4(b)) Circunferencias Máximas e : ángulo esférico e = m4:Diedro A-PP'-B=m4:AOB P : vértice del ángulo esférico APB P Y P' : polos de ~ Figura 12.4 TRIÁNGULO ESFÉRICO Definición Es la región de la superficie de una esfera limitada por los arcos de tres circunferencias máximas, que se cortan dos a dos tal como se indica en la figura l2.5(a). e B (a) (b) Los elementos de un triángulo esférico ABC son sus tres lados a, b, c (se miden en unidades angulares) y sus tres ángulos A, B Y C. (FIgura 12.5 (b)) Triángulo Euleriano. Son triángulos esféricos cuyos elementos (un lado o un ángulo) son siempre menores que 180°, en caso contr:;rrio se les llama triángulos no eulerianos. En la figura 12.5(c), el triángulo esférico (T.E.) sombreado es euleriano pero el T.E. donde un ladoesADBmide3600-cnoeseuleriano. (e) Figura 12.5 Propiedades de los Triángulos Esféricos En la figura 12.6, se tiene el ángulo triedro (figura geométrica formada por tres regiones angulares y mismo vértice) O-ABC, entonces de cualquier propiedad de los ángulos diedros se puede inferir una propiedad análoga a los triángulos esféricos y viceversa. Observe que las caras del ángulo triedro son las medidas de los lados del triángulo esférico y los ángulos diedros del triedro son los ángulos esféricos de ABC (Ver figura 12.6) • • • Figura 12.6 Cualquier lado de un triángulo esférico es menor que la suma de los otros dos y mayor que la diferencia de estos. La suma de los lados de un triángulo esférico es mayor que 0° y menor que 360°. La suma de los ángulos de un triángulo esférico es mayor que 180° y menor que 540°. Exceso Esférico (E) El exceso esférico de un triángulo esférico, denotado por la letra E, es el valor angular en el cual la suma de los ángulos del triángulo esférico excede a 180°. Ejemplo En un triángulo esférico cuyos ángulos son A=60°, B=80° y C=112° el exceso esférico(E) se calculará de la siguiente manera E=A+B+C-1800, y reemplazando sus valores respectivos obtendremos la siguiente igualdad: E= (60° + 80° + 112°) - 180° De donde E=72° Pero debe saber usted también que el exceso esférico puede expresarse en una función de los tres lados (fórmula de L'Huilier y Serret); dicha relación la presentamos a continuación: Siendo entonces p Ejemplo p semiperímetro a +b+c 2 del T.E. ABC En un triángulo esférico equilátero, su perímetro es 180°. Calcule el exceso esférico si 7,89° = arctan (2 _.J3) 3/2 Resolución Sea el T.E. ABC, entonces 2p=180° => p=900 Entonces a=b=c=600 Luego ~ tan5:.=)(2 - .J3)3 ~ ~=arctan~(2 - .J3)3 4 4 ~ E=4arctan~(2 - .J3)3 .. E=31,56° Área del Triángulo Esférico (S) El área de un triángulo esférico es el área de la superficie de la esfera, el cual se obtiene al multiplicar el cuadrado del radio con el exceso esférico. [~"·:··~.E ] Siendo E: Exceso esférico expresado en radianes. R: Radio de la esfera. Demostración B b (a) C En la demostración de la fórmula para calcular el área(S), es necesario considerar que el área de un huso esférico (véase figura 12.7(c)), siendo a ángulo expresado en radianes, se calcula por la siguiente fórmula: o • ~'~''''''''''"'-:J. Afea del ;::: 2 .n2 h ro • 0-" uso es.enco (b) Figura 12.7 , ,, , , , , ,,: ~,, R' , , , , , (e) Adicionalmente, dadas tres circunferencias máximas, se determina (véase figura 12.7 (b)) sobre la esfera triángulos esféricos simétricos (ABC y A'B'C'; A'BC y AB'C', etc) los cuales tienen igual área . -.... respectivamente. Sean: luego S: área de T.E. ABC , SI :área del TE. A'BC, S2: área del TE. AB'C S+SI = 2AR2 ....... (i) S+S2 = 2BR2 ....... (ii) Además como el T.E. A'BC es simétrico con el T.E. AB'C' luego estos triángulos tendrán igual área, es decir S2=área del T.E. AB'C' Luego SI +S2=2( n-C)R2 ....... (im Si hacemos (i) + (m- (iii) S = (A + B + C - n)R2 E: exceso esférico expresado en radianes '---------v---- E • :. S=ER2 (esto es lo que se buscaba demostrar) Triángulo Polar o Suplementario El triángulo polar de un triángulo esférico es otro triángulo esférico que se obtiene por arcos de circunferencias máximas cuyos polos son los vértices del triángulo dado. (Véase figura 12.8 (a)) (a) • A' es polo del lado a. • B' es polo del lado b. Reladón entre lados y ángulos de un triángulo esférico y su polar correspondiente. A = 180°-a' 8=1800-b' C=1800-c' A' = 1800 -a 8'=1800-b C=1800-c Demostración De la figura 12.8 (a), graficamos la curva ~ .la cual es un arco de circunferencia máxima, tomando como polo 8, análogamente ~ con polo en C y ~ con polo en A, entonces el triángulo A' 8' C' es triángulo polar del triángulo A8e. (b) Figura 12.8 1. Si A es un polo; de 8 'C' (arco de circunferencia máxima). lIJ. Por definición de distancia polar 8'N = Me' = 90° ==} a'=1800-A .. A = 180°-a' Ejemplos • Halle los lados de los triángulos polares de los triángulos esféricos que ti e nen los siguientes ángulos: 1. A=40°, 8=80°, C= 110° Resolución a' = 140°, b ' = 100°, c' = 70° 11. A=70010', 8 =56°20 ', C=92°15' Resolución a'=109°50', b'=123°40', c'=87°45' • Halle los ángulos de los triángulos polares de los triángulos es féricos que tienen los siguientes lados: 1. a=80°, b=50° y c=IOO° Resolución A' = 100°, 8 ' = 130°, C' = 80° 11. a = 74°42' , b = 95°06' , c = 66°25' Resolución A'= 105°18' 8 '=84°54' C= 113°35' Triedros polares o suplementarios Son los triedros que corresponden a dos triángulos esféricos suplementarios. Propiedad de los triedros suplementarios Cada arista de un triedro es perpendicular a una cara de su triedro polar. En efecto, esta arista corta la esfera en el polo del plano de la cara correspondiente. Triángulo Esférico Rectángulo (T.E.R.) Se llama triángulo esférico rectángulo a un triángulo esférico tal que uno o más de sus ángulos sea recto. En el triángulo ABC recto en C, (véase figura 12.10) se cumplen las diez relaciones fundamentales siguientes: l. sena senAsenc 2. tana = tanAsenb 3. tana = cosBtanc 4. cosc cosa cosb 5. cosA = senBcosa C 6. senb senBsenc 7. tanb = tanBsena A 8. tanb cosAtanc (a) 9. cosc cotAcotB Figura 12.10 10. cosB senA cosb B lJa A C b (b) La deducción de estas relaciones aparece en los problemas resueltos del presente capítulo. Un triángulo esférico rectángulQ pueden ser de uno, dos o tres ángulos rectos, veamos: Triángulo Rectángulo (a) Triángulo Birectángulo (b) Figura 12.11 -¡ Triángulo Trirectángulo (e) Reglas de Neper John Neper (1550 - 1617), matemático inglés, establece las siguientes reglas para facilitar la obtención de las diez relaciones fundamentales mencionadas para el caso de un triángulo esférico rectángulo. Se sustituye del triángulo original, alIado c por (90°- c), el ángulo A por (90°- A), el ángulo B por (900-B). C C (b) (e) Figura 12.12 Observe que los elem entos se encuentran en el círculo mostrado (véase figura 12.12(c)), de donde Neper menciona las siguientes reglas El seno de cualquier elemento es igual al producto de las tangentes de los elementos adyacentes. Ejemplo • Considerando al lado b como el elemento intermedio, entonces sus elementos adyacentes son a y 90°-A, entonces senb=tanatan(900- A) ~ senb = tanacotA :. tana=tanAsenb (es la relación 2) Considerando al lado a como el elemento intermedio, entonces sus elementos adyacentes son by 900-B sena=tan(900 - B)tanb ~ sena=cotBtanb : . tanb=tanBsena (es la relación 7) El seno de cualquier elemento es igual al producto de los cosenos de los elementos opuestos. Ejemplo 1 • Para el elemento a, sus elementos opuestos son 900-A y 900-C sena = cos(900- A) cos(900- c) ~ sena=senAsenc (es la relación 1) Para el elemento 90°- e, sus elementos opuestos son a y b . sen(900- c) = cosacosb ~ cosc=cosacosb (es la relación 4) Ejemplo 2 Del siguiente triángulo esférico, (vea la figura 1~. 13) calcule 2sen2 ~ B Figura 12.13 Resolución Por las reglas de Neper, cambiamos por su complemento a los elementos A, c y B. (a) (e) Figura 12.14 Por la regla I sen (90° - B) =tan45°tan 16° => cosB = tan45° tan 16° 7 => cosB= I x - 24 => cos B = -7 => I - 2 sen 2-B = -7 => 2 sen 2-B = -17 24 2 24 2 24 Dado el triángulo esférico ABe, la re lación (1) sena=senAsenc. Para determinar si a es menor o mayor que 90°, se necesita una información adicional, esta información se obtiene de la regla de los cuadrantes. Regla de cuadrantes 1. El lado a y el ángulo A (lo mismo que lado b yel ángulo B) pertenecen al mismo cuadrante. 2. Si c< 90°, entonces los lados a y b (lo mismo que los ángulos A y B) pert~necen al mismo cuadrante; si c>90° , entonces los lados a y b (lo mismo que los ángulos A y B) pertenecen a diferentes cuadrantes. Ejemplos 1. Si A= 100° => a> 90° ... (1ra. regla) 11. Si c= 120° => b < 90° /\ a > 90° } ... (2da regla) ó b > 90° /\ a < 90° Si c=40° => b > 90° /\ a > 90° } • ... (2da regla) ó b
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