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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA ASPECTOS TEORICOS, EJEMPLOS Y EJERCICIOS














Circunferencia Máxima

Es aquella circunferencia que se forma al ser cortada una superficie esférica por un plano, tal que pase por el centro de la misma 
Circunferencia Mínima
Se genera cuando el plano que intersecta a la superficie esférica no pasa por el centro de ésta.

Son los extremos del diámetro perpendicular al plano que contiene a una circunferencia máxima.  
polar es el arco de circunferencia máxima de todo los lugares que distan 90° de los polos.  AP = PB = 90°
Ángulos diedros. Cuando dos planos se intersectan (tienen una recta común), entonces determinan ángulos diedros. ( 

El ángulo formado en una esfera por dos ateos secantes de circunferencias máximas se denomina ángulo esférico. En la figura 12.4(a) se muestra un ángulo esférico cuya medida es ex.
La medida de un ángulo esférico viene dada por el ángulo diedro formado por los planos de las circunferencias máximas cuyos arcos constituyen los lados del ángulo esférico. (Ver figura 12.4(b))

Circunferencias Máximas
e : ángulo esférico
e = m4:Diedro A-PP'-B=m4:AOB
P : vértice del ángulo esférico APB
P Y P' : polos de ~
Figura 12.4

TRIÁNGULO ESFÉRICO
Definición
Es la región de la superficie de una esfera
limitada por los arcos de tres circunferencias
máximas, que se cortan dos a dos tal como
se indica en la figura l2.5(a).
e
B
(a) (b)
Los elementos de un triángulo esférico ABC son sus
tres lados a, b, c (se miden en unidades angulares) y
sus tres ángulos A, B Y C. (FIgura 12.5 (b))
Triángulo Euleriano. Son triángulos esféricos
cuyos elementos (un lado o un ángulo) son
siempre menores que 180°, en caso contr:;rrio
se les llama triángulos no eulerianos.
En la figura 12.5(c), el triángulo esférico
(T.E.) sombreado es euleriano pero el T.E.
donde un ladoesADBmide3600-cnoeseuleriano.
(e)
Figura 12.5
Propiedades de los Triángulos Esféricos
En la figura 12.6, se tiene el ángulo triedro
(figura geométrica formada por tres regiones
angulares y mismo vértice) O-ABC, entonces
de cualquier propiedad de los ángulos diedros
se puede inferir una propiedad análoga a los
triángulos esféricos y viceversa.
Observe que las caras del ángulo triedro
son las medidas de los lados del triángulo
esférico y los ángulos diedros del triedro son
los ángulos esféricos de ABC (Ver figura 12.6)



Figura 12.6
Cualquier lado de un triángulo esférico es
menor que la suma de los otros dos y mayor
que la diferencia de estos.
La suma de los lados de un triángulo esférico
es mayor que 0° y menor que 360°.
La suma de los ángulos de un triángulo
esférico es mayor que 180° y menor que 540°.
Exceso Esférico (E)
El exceso esférico de un triángulo esférico,
denotado por la letra E, es el valor angular en el
cual la suma de los ángulos del triángulo esférico
excede a 180°.
Ejemplo
En un triángulo esférico cuyos ángulos son
A=60°, B=80° y C=112°
el exceso esférico(E) se calculará de la siguiente
manera E=A+B+C-1800, y reemplazando sus
valores respectivos obtendremos la siguiente
igualdad: E= (60° + 80° + 112°) - 180°
De donde E=72°
Pero debe saber usted también que el exceso
esférico puede expresarse en una función de los
tres lados (fórmula de L'Huilier y Serret); dicha
relación la presentamos a continuación:
Siendo
entonces p
Ejemplo
p semiperímetro
a +b+c
2
del T.E. ABC
En un triángulo esférico equilátero, su perímetro
es 180°. Calcule el exceso esférico si
7,89° = arctan (2 _.J3) 3/2
Resolución
Sea el T.E. ABC, entonces 2p=180° => p=900
Entonces a=b=c=600
Luego
~ tan5:.=)(2 - .J3)3 ~ ~=arctan~(2 - .J3)3
4 4
~ E=4arctan~(2 - .J3)3
.. E=31,56°
Área del Triángulo Esférico (S)
El área de un triángulo esférico es el área de la superficie de la esfera, el cual
se obtiene al multiplicar el cuadrado del radio con el exceso esférico.
[~"·:··~.E ]
Siendo
E: Exceso esférico expresado en radianes.
R: Radio de la esfera.
Demostración
B
b
(a)
C
En la demostración de la fórmula para calcular el área(S), es necesario considerar que el área de un
huso esférico (véase figura 12.7(c)), siendo a ángulo expresado en radianes, se calcula por la siguiente
fórmula: o • ~'~''''''''''"'-:J. Afea del ;::: 2 .n2
h ro • 0-" uso es.enco
(b)
Figura 12.7
, ,, , , , ,
,,: ~,, R'
, ,
, , ,
(e)
Adicionalmente, dadas tres circunferencias máximas, se determina (véase figura 12.7 (b)) sobre la
esfera triángulos esféricos simétricos (ABC y A'B'C'; A'BC y AB'C', etc) los cuales tienen igual área . -.... respectivamente.
Sean:
luego
S: área de T.E. ABC , SI :área del TE. A'BC, S2: área del TE. AB'C
S+SI = 2AR2 ....... (i)
S+S2 = 2BR2 ....... (ii)
Además como el T.E. A'BC es simétrico con el T.E. AB'C' luego estos triángulos tendrán igual área, es decir
S2=área del T.E. AB'C'
Luego SI +S2=2( n-C)R2 ....... (im
Si hacemos (i) + (m- (iii)
S = (A + B + C - n)R2 E: exceso esférico expresado en radianes
'---------v----
E •
:. S=ER2 (esto es lo que se buscaba demostrar)
Triángulo Polar o Suplementario
El triángulo polar de un triángulo esférico es
otro triángulo esférico que se obtiene por arcos
de circunferencias máximas cuyos polos son los
vértices del triángulo dado. (Véase figura 12.8 (a))
(a)
• A' es polo del lado a.
• B' es polo del lado b.
Reladón entre lados y ángulos de un triángulo
esférico y su polar correspondiente.
A = 180°-a' 8=1800-b' C=1800-c'
A' = 1800 -a 8'=1800-b C=1800-c
Demostración
De la figura 12.8 (a), graficamos la curva ~ .la cual
es un arco de circunferencia máxima, tomando
como polo 8, análogamente ~ con polo en C y
~ con polo en A, entonces el triángulo A' 8' C'
es triángulo polar del triángulo A8e.
(b)
Figura 12.8
1. Si A es un polo; de 8 'C' (arco de
circunferencia máxima).
lIJ. Por definición de distancia polar
8'N = Me' = 90°
==} a'=1800-A
.. A = 180°-a'
Ejemplos
• Halle los lados de los triángulos polares de
los triángulos esféricos que ti e nen los
siguientes ángulos:
1. A=40°, 8=80°, C= 110°
Resolución
a' = 140°, b ' = 100°, c' = 70°
11. A=70010', 8 =56°20 ', C=92°15'
Resolución
a'=109°50', b'=123°40', c'=87°45'
• Halle los ángulos de los triángulos polares de
los triángulos es féricos que tienen los
siguientes lados:
1. a=80°, b=50° y c=IOO°
Resolución
A' = 100°, 8 ' = 130°, C' = 80°
11. a = 74°42' , b = 95°06' , c = 66°25'
Resolución
A'= 105°18'
8 '=84°54'
C= 113°35'
Triedros polares o suplementarios
Son los triedros que corresponden a dos triángulos esféricos
suplementarios.
Propiedad de los triedros suplementarios
Cada arista de un triedro es perpendicular a una cara de su triedro
polar. En efecto, esta arista corta la esfera en el polo del plano de la
cara correspondiente.
Triángulo Esférico Rectángulo (T.E.R.)
Se llama triángulo esférico rectángulo a un triángulo esférico tal
que uno o más de sus ángulos sea recto. En el triángulo ABC recto en
C, (véase figura 12.10) se cumplen las diez relaciones fundamentales
siguientes:
l. sena senAsenc
2. tana = tanAsenb
3. tana = cosBtanc
4. cosc cosa cosb
5. cosA = senBcosa C
6. senb senBsenc
7. tanb = tanBsena A
8. tanb cosAtanc (a)
9. cosc cotAcotB Figura 12.10
10. cosB senA cosb
B lJa A C
b
(b)
La deducción de estas relaciones aparece en los problemas resueltos del presente capítulo.
Un triángulo esférico rectángulQ pueden ser de uno, dos o tres ángulos rectos, veamos:
Triángulo
Rectángulo
(a)
Triángulo
Birectángulo
(b)
Figura 12.11

Triángulo
Trirectángulo
(e)
Reglas de Neper
John Neper (1550 - 1617), matemático inglés, establece las siguientes reglas para facilitar la obtención
de las diez relaciones fundamentales mencionadas para el caso de un triángulo esférico rectángulo. Se
sustituye del triángulo original, alIado c por (90°- c), el ángulo A por (90°- A), el ángulo B por (900-B).
C C
(b) (e)
Figura 12.12
Observe que los elem entos se encuentran en el círculo mostrado (véase figura 12.12(c)), de donde
Neper menciona las siguientes reglas
El seno de cualquier elemento es igual al producto de las tangentes de los elementos adyacentes.
Ejemplo
• Considerando al lado b como el elemento intermedio, entonces sus elementos adyacentes son
a y 90°-A, entonces senb=tanatan(900- A) ~ senb = tanacotA
:. tana=tanAsenb (es la relación 2)
Considerando al lado a como el elemento intermedio, entonces sus elementos adyacentes son
by 900-B sena=tan(900 - B)tanb ~ sena=cotBtanb
: . tanb=tanBsena (es la relación 7)
El seno de cualquier elemento es igual al producto de los cosenos de los elementos opuestos.
Ejemplo 1

Para el elemento a, sus elementos opuestos son 900-A y 900-C
sena = cos(900- A) cos(900- c) ~ sena=senAsenc (es la relación 1)
Para el elemento 90°- e, sus elementos opuestos son a y b .
sen(900- c) = cosacosb ~ cosc=cosacosb (es la relación 4)
Ejemplo 2
Del siguiente triángulo esférico, (vea la figura 1~. 13) calcule 2sen2 ~
B
Figura 12.13
Resolución
Por las reglas de Neper, cambiamos por su complemento a los elementos A, c y B.
(a) (e)
Figura 12.14
Por la regla I
sen (90° - B) =tan45°tan 16°
=> cosB = tan45° tan 16°
7
=> cosB= I x -
24
=> cos B = -7 => I - 2 sen 2-B = -7 => 2 sen 2-B = -17
24 2 24 2 24
Dado el triángulo esférico ABe, la re lación (1)
sena=senAsenc. Para determinar si a es menor
o mayor que 90°, se necesita una información
adicional, esta información se obtiene de la regla
de los cuadrantes.
Regla de cuadrantes
1. El lado a y el ángulo A (lo mismo que lado b
yel ángulo B) pertenecen al mismo cuadrante.
2. Si c< 90°, entonces los lados a y b (lo mismo
que los ángulos A y B) pert~necen al mismo
cuadrante; si c>90° , entonces los lados a y
b (lo mismo que los ángulos A y B)
pertenecen a diferentes cuadrantes.
Ejemplos
1. Si A= 100° => a> 90° ... (1ra. regla)
11. Si c= 120° => b < 90° /\ a > 90° }
... (2da regla)
ó b > 90° /\ a < 90°
Si c=40° => b > 90° /\ a > 90° } •
... (2da regla)
ó b<90° /\ a < 90°
Resolución de triángulo esférico isósceles Se
realiza en forma análoga a la de un triángulo
isósceles plano, es decir dividiéndolo en dos
triángulos esféricos rectángulos iguales por un
arco de circunferencia máxima, trazado desde
el vértice, perpendicular a la base . (Véase
figura 12.15 (a)).
B
e
A
(a)
Triángulo Cuadrantal
Es un triángulo esférico tal que uno de sus
lados es un cuadrante (igual a 90°). Por tanto; para
resolver se realiza mediante su polar. (Véase
figura 12.15(b)).
B
e C'
(b)
Figura 12.15
Triángulo Esférico Oblicuángulo
Un triángulo esférico oblicuángulo es un triángulo esférico, tal que ninguno de sus ángulos son
rectos, un triángulo esférico oblicuángulo está definido cuando se conocen tres elementos cualesquiera
(excepto los casos de ambigüedad). Para resolver estos triángulos se estudian las siguientes leyes:
1) Ley de senos
f
sena - senb - senc "1 En todo triángulo esférico ABC se cumple --- --- --
~nA senB sen C ,
Demostración
Dado el triángulo esférico ABC cualquiera.
Por C trazamos una circunferencia máxima que corta perpendicularmente a AB en F. (Véase figura
12.16)

C
{a} {b}
Figura 12.16
Por la regla 2 de Neper en el triángulo ACF se tiene:
senh=cos(900- A)cos(900-b)
senh=senA senb ... (1)
{e}
Usando la regla 2 de Neper en el triángulo CFB (figura 12.17) se tiene:
senh = cos (90°- a)cos(900-B)
=; senh = sena senB . . . (11)
C
B
{a}
h
C
{b}
Figura 12.17
{d}
{e}
Igualando (1) y (11) análogamente para los ángulos B y C
sena senB = senb senA
sena senb
senA senB
.. sena senb senc
--=--=--
senA senB senC
Ejemplo
Del T.E. ABC mostrado en la figura 12.18,
calcule el valor de M= 1 +cos2a
C
Figura 12.18
Resolución
Por ley de senos para un triángulo esférico:
sena senb
--=--
senA senS
reemplazando valores:
sena sen 60° 13
~ = ~ =) sena = sen600 =) sena = -
2
luego: M = l+cos2a = 1+ l - sen2a = 2-( ~J
.. M=~
4
2) Ley de Cosenos para Lados
En todo triángulo esférico ABC, el coseno de
un lado cualquiera es igual al producto de los
cosenos de los otros dos lados, más el
producto de los senos de estos dos lados por
el coseno del ángulo que forman:
cosa' ~" ¿o;;bcosc+se¡:;bsenccosA
cosb = cosccosa + sencsenacosB
cosc = cosacosb + senasenbcosC
3) Ley de Cosenos para Ángulos
En todo triángulo esférico ABC, el coseno de
un ángulo cualquiera es igual a menos el
producto de los cosenos de los otros dos
ángulos más el producto de sus senos por el
coseno del lado que forman
cosA = -cosBcosC + senBsenCcosa
cosB = -cosCcosA + senCsenAcosb
cosC = -cosAcosB + senAsenBcosc
Demostraciones
En el triángulo esférico ABC (figura 12.19)
Sea AF = m y en el T.E. ACF, se tiene
C
Figura 12.19
utilizando la regla 1 de Neper
• senm= tanh cotA
• senh = senb senA
• cosb = cosh cosm
ahora en el T.E. CFB, se cumple
cosa = cosh cos(c - m)
cosa = cosh(cosc cosm + senc senm)
cosa = cosh cosmcosc+ coshsenmsenc
'------v-----' '--.r----'
cos a = cosb cosc + cosh(tanh cotA) senc
cosa = cosbcosc + senh cotAsenc
~ senbsenA
Luego: cosa = cosbcosc+senbsenccosA
Análogamente para los otros lados.
La ley de senos y cosenos también podemos
demostrarla de la siguiente forma (en el ángulo
triedro O-ABC)
sea OC= 1
B
Figura 12.20
Para Ley de senos
De la figura 12.20 mostrada
se tiene el LJ PHC
A
senasenB
=)sen =---senb
sena senb
luego --=-senA
senB
C
~,enasen8
P H
Figura 12.21
Análogamente para los ángulos B y e
sena sen b sen c
--=--=--
senA senB sen e
Para Ley de cosenos (para lados)
De la figura 12.20 tomamos el cuadrilátero OB'HP
p
Figura 12.22
tenemos cosa=cosbcosc + senbsenccosA
Demostración (Ley de cosenos para ángulos)
Sea el triángulo polar A'B'C' para el T.E. ABe
donde a' = 180° - A Y A' = 180° - a,
Ejemplo
En e l sig ui e nte
tri á ngulo esfé ri co
(véase fi gura 12.23
(a)), calcule A
F = 3cosA- 2J2
Resolución
Sea el triángulo esférico ABe
B
B
b=1200
(b)
Figura 12.23
Por ley de cosenos para lados
1200
(a)
cosa = cosbcosc + senbsenccosA
e
b' = 180° - B Y c' = 180°- e, cos45° = cos60°cos 120° + sen600sen 1200cosA
se cumple
cosa' = cosb'cosc' + senb'senc'cosA' ... (i)
cosa' = cos( 180° - A) = - cosA
J2 = ~(_~)+ J3(J3)COSA 2 2 2 2 2
cosb' = cos(1800 - B) = - cosB
cosc' = cos(180° - e) = - cose
-J2 =- -1 + -3 cosA
2 4 4
Reemplazando estas relaciones en (i) 2J2 = - 1+3cosA
-cosA = (-cosB)(- cose) + (senB)(sene)(-cosa) 3cosA -2J2 = 1
cosA = - cosBcose + senBsenecosa :. F= 1
APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRíA ESFÉRICA EN ASTRONOMíA Y NAVEGACiÓN
La teoría antes expuesta tiene su utilidad al analizar a la Tie rra, es
decir, al hacer cálculos de distancia e ntre puntos sobre la Tie rra
conside ramos a ésta como una esfera de 63 70 km de radio.
Básicamente te nemos que recordar que el movimiento rotacional
de nuestro planeta, tiene como ejes de rotación al diámetro que pasa
por los polos Norte(N) y SureS), además da una vuelta completa en 24
horas. Esto es, tarda 24 horas en girar 360° (cada hora gira 15°).
El lector debe recordar que el tiempo de 24 horas para que la Tierra
dé una vuelta completa es una aproximación, ya que lo real es que dicho
giro se realiza en 23 horas, 56 minutos y 4 segundos
Ecuador
Es la circunfe rencia máxima cuyos polos son Norte y Sur. (Vea la figura 12.24)
Figura 12.24
Meridiano
El meri diano de un lugar
(A) es la semicircunferencia
de la Tierra que pasa por los
polos Norte y Sur. (Vea la
figura 12.25).
N
Figura 12.25
Sistema de Coordenadas Geográficas
Sistema uti lizado para la ubicación de un
punto en la superficie de la Tierra, mediante las
coordenadas latitud (o) y longitud (A).
Latitud (/))
Es la distancia esférica (medida en su
meridiano) que hay desde la línea ecuatorial hasta
el círcu lo paralelo que contiene al lugar en
observación, varía de 0° a 90° y hacia el norte o el
sur.
Longitud (A)
Es la dis tancia esférica que hay desde el
meridiano de Greenwich (Inglaterra) hasta el
meridiano que pasa por el lugar de observación,
varía de 0° a 180° y hacia el este u oeste.
De la figura 12.26, las coordenadas
geográficas de P es ( Iat 1) N ,long A W)
N
, ,, Paralelo . . - --~'iL--- - ---
.---- : t.. ----_ Origen de
~-""","---1~-+Coordenadas
S
Figura 12.26
Geográficas
Meridiano
de Greenwich
Distancia entre dos puntos de la superficie de la Tierra
La distancia más corta entre dos puntos situados sobre la superficie de una esfera es el menor arco
(00 a 180°) de circun ferencia máxima. Así en la fig ura 12 .27(a) la distancia más corta entre
A (lataS; 10ng~W) y B (Iat8N; longOO) es la longitud del arco AB de circunferencia máxima. Para dicho
cálculo se puede utilizar el triángulo esférico ANB o ASB.

Rumbo
Cuando un navío o aeroplano recorre un arco de circunferencia máxima entre dos puntos, su rumbo
es el ángulo que el recorrido forma con el meridiano del navío o del aeroplano (El rumbo se mide a
partir del norte y con el sentido horario).
Ejemplo 1 Ejemplo 2
Un navío que parte de A hasta B (figura. 12.28); el
rumbo en A es el ángulo NAB= a. y el rumbo en
B es el ángulo NBC= y .
Un navío que parte de B hasta A (figura 12.29); el
rumbo en B es el ángulo NBA= e y el rumbo en A
es el ángulo NAO.

EL ESTRECHO VíNCULO ENTRE TRIGONOMETRíA Y ASTRONOMíA
E
las aplicaciones mós importantes de la Trigonometría esférica se han dado en la
Astronomía.
En efecto, la Trigonometría fue desarrollada primero por los astrónomos y durante
siglos fue estudiada solamente en conexión con la Astronomía. Nosotros estudiaremos
algunos de los problem'l.$ aplicativos que se presenta en esta ciencia .
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