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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA PREGUNTAS DESARROLLADAS

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  • Problema 1 Halle el área de un triángulo esférico, sabiendo que sus ángulos miden 70°, 80° Y 85°, además el radio de la esfera es 12m (tome pi = 3, 14) . Resolución De los datos: A=700, B=800 y C=85° calculando el exceso esférico ~ E = A + B + C - 180° '-r------' E = 235° - 180° E = 55° luego, calculamos el área del T.E. S=R2E S = 122 x55x~ 180 S = 144x55x(3, 14) 180 S = 138,16m2 Problema 2 Dado un triángulo ABC, donde se cumple a+b+c = 180°, calcule K=(1-cosA)tanbtanc Resolución K = (l-cosA) senbsenc cosbcosc K = senbsenc - senbsenccosA ... (1) cosbcosc pero de la ley de cosenos para lados cosa = cosbcosc + senbsenccosA ~ senbsenccosA = cosa - rosbcosc ... (11) Reemplazando (lI) en (1) K = senbsenc - cosa+cosbcosc cosbcosc K = cos(b - c) - cosa cosbcosc Del dato a + (b+c) = 1800 ~ cosa= - cos (b+c) K = cos(b - c) + cos(b + c) cosbcosc K = 2~ ~ .. K =2 Problema 3 En un triángulo esférico ABC recto en C 3b tanb sen3 sen -----a R = 4tanB 3 3 ( sen a tan3a - -sen-b j 3tan3 A 4 simplifique Resolución Sea e l T. E. ABC rec to en C Por la regla de Neper b (a) (b) Figura 12.30 • sena= tanb tan (90° - B) ~ sena = tanb ... (1) tanB • senb= tana tan(900 - A) tan a ~ senb = -- ... (lI) tanA Reemplazando (1) y (lI) en R 3b sen -sen-a - -se-n3- a 4 3 R= --~-----L 3 ( sen a -sen-3b - -sen-bJ 3 4 sen3a R sen3b(3sena-'4sen3 ~) sen3a(~sen3 b .-3senq) -sen3b Simplificando obtenemos R=-I Problema 4 En un triángulo esférico ABC, se cumple que ( sec -a+2B-) sec ( -a -2-B) = 2,,f2ñ obtenga el valor de la expresión siguiente: K= cosb(senAsenC + cosc) + cosA(senbsen ccosC) Resolución K = cosbsenAsenC + cosbcosc + cosAsenbsenc - cosAcosC Agrupando convenientemente K= (cosbcosc + senbsenccosA) + (-cosAcosC + cosbsenAsenC) identificando, por la ley de cosenos para lados y ángulos K = cosa + cosB ( K = 2cos -a+2B-) cos ( -a-2B- ) .. . (1) Del dato ( cos -a+2B- ) cos ( -a -2-B) = 4.J 2 Reemplazando en (1) K=2 ( ~ )~ K= ~ Problema 5 En un triángulo esférico ABe demuestre tan( A) = sen(p - b)sen(p - c) 2 senpsen(p - a) siendo p=(a+b+c)/2 Resolución ( Se conoce tan -A2 ) = 1- cosA 1 +cosA ... (1) de la ley de cosenos para lados cosa = cosbcosc + senbsenccosA A cosa - cosbcosc ~ cos = -----senbsenc Sustituyendo en (1) 1 _ cosa - cosbcosc senbsenc 1 + cosa - cosbcosc senbsenc ( tan -A) = senbsenc - cosa + cosbcosc 2 senbsenc + cosa - cosbcosc Identificando, las identidades de arcos compuestos tan ( - = A J cos(b - c) - cosa 2 cosa - cos(b+c) Transformando a producto en el radical Del perímetro del T.E. tenemos a+b-c . 2p = a + b + c ~ = p - c 2 análogamente c+a - b = p- b 2 b+c-a ---=p - a 2 De donde finalmente obtenemos que tan( ~ ) = sen(p - c)sen(p - b) senpsen(p - a) Problema 6 De una base militar B ubicada en el Polo Norte se dispara un misil por el Meridiano de Greenwich impactando en una ciudad B (Iat 300 S; long 0°). De otra ciudad C (Iat 0° ; long 45°E) parte una misión exploradora. Halle la distancia más corta entre By C, sabiendo que el radio terrestre mide aproximadamente 6300 km. Considere arccos( ~ ) = 52° Resolución Meridiano o E (a) Resolviendo el triángulo esférico rectángulo BMC de la figura 12.3I(a). B 3°UfooD· 45° 45° (b) (e) (d) Figura 12.31 Empleando la Regla 11 de Neper (véase figura 12.31) sen(900 - x) = cos300cos45° J3..fiJ6 cosx=-x-=- 2 2 4 x =arccos( ~) =52° La m BC , expresamos en radianes X=520(~)= 13n 180° 45 Cálculo de la longitud del arco BC, en el sector circular BAC º B~C = -13xn (6300 km) = 1820n km 4S Problema 1 Del gráfico que se muestra: ABC es un triángulo esférico, cuya 343n 2 área es -2- cm . ¿Cuál es e l valor del radio de la esfera que contiene el triángulo? Resolución Recuerde, el área de un triángulo esférico es S=E.R2 Oo, (1) Tenemos que e l exceso esférico E, se calcula así E=A+B+C - 180°, véase figura 12.32 (b) B =} E = 45° + 85° + 120°-180° => E = 70°, en radianes es 7n E = -rad 18 luego, reemplazando en (1) S=7n.R2 fu¡;, 18 R=21cm , , :R , , , A Figura 12.32 C (b) Problema 8 El rumbo inicial de un derrotero a lo largo de una circunferencia a partir de una ciudad A(Iata N, long $ W) es S; (180°<8 --="" -="" -a="" -b="" -c="" -senx="-cosx" 0="" 10="" 11="" 12.33="" 12.34="" 12.35.="" 12.35="" 12.36="" 12="" 16="" 18="" 1:3="" 1="" 1t="" 20="" 22="" 2="" 2a="" 2c="" 2cos2="" 2j3="" 2p="a+b+c" 2sen="" 341="" 34="" 35="" 3="" 400="" 400n="" 40="" 45="" 47="" 4="" 5i="" 60="" 6="}" 73="" 74="" 9="" :.="" :="" _se_n-="" a="" a_="" abc="" abe="" adem="" al="" an="" analizando="" ans="" aplicando="" arccos="" arcos="" arcsen="" arctan="" as="2040" asn="" at="" ay="" b--="" b....l="" b="" bases="" c.="" c="" c_="" calculamos="" calcule="" cercano="" circunferencia="" ciudad="" ciudades="" como="" compuestos="" coordenadas="" corta="" cos400="" cos600="" cos="" cosa="" cosb="" cosc="" cosenos="" cosi200cos="" cosx="-" cot="" cuyas="" dado="" dato:="" datos:="" de="" degradaci="" del="" demuestre="" derrotero="" desde="" determine="" distancia="" distribuidas="" donde="" dos="" e.="" e="A+B+C-n" ecuador.="" el="" en="" encuentra="" encuentran="" encuentre="" entre="" enunciado="" equidista="" es="" esf="" est="" este="" factorizando="" ficas="" fico="" figura="" forma:="" geogr="" gr="" greenwich="" halle="" hasta="" i="" identificando="" inicial="" j3="}" j="" l="" la="" lado="" lados.="" lados="" largo="" las="" lat300s="" latitud="" ley="" lo="" localice="" logamente="" long27="" long="" longitud="" los="" luego="" m="" mah="" menor="" meridiano="" milla="" millas="" n300="" n="" neper="" ngulo="" no="" norte="" o="" oeste="" olvidemos="" ong78="" os="" para="" partir="" polo="" por="" problema="" punto="" puntos="" que="" recorrido="" reduciendo="" reemplazando="" reglas="" resoluci="" resolviendo="" respectivamente.="" rico="" rminos="" rumbo="" s.="" s="(Iat68°N" s_e_n_="" sabe="" se="" sen-="" sen1200sen="" sen34="" sen45="" sen="" sena="tanxcotS" senasenc="" senatan8="" senb="" senbsenc="" senbsenccosa="" senc="" seni="" senn="sen" senx="" seny="0,38" si="" siguiente="" son:="" son="" sur="" sustituyendo="" t.e.="" t.e.r="" t="" tan73="" tan="" tans="" tanx="-" tenemos="" teorema="" tg="" tiene="" tierra.="" tres="" tri="" ubicamos="" ubican="" ubicando="" ubiquemos="" un="" una="" utica="" uticas="" valores="" x="" xima="" y="">sen(-+-)=cos-. 2 2 2 c cos- 2 Análogamente ~cos -+-b cos( A + B ) = sen C . 2 2 2 c cos - 2 => como E=A+B+C-n .... (1) .... (2) .... (3) cos -- cos -- Prop.I edad sen ( -A+2B-) = cos ( -C2-E- ) 5aI-b) ( C-E) Reemplazando de (1) Y (2) tenemos => 2 = 2 c C cos (-a-2-b ) -cosci = cos ( -C2--E) ~cose2 Empleando proporciones ( cos -a-2-b ) + cosci cos ( -e -2-E) + cos e 2 Transformando a producto y reduciendo ( p-a) (P-b) (e E) E tan - 2- tan - 2- =tan 2-4 .tan 4 .... (4) ( de (3) cos -A+2-B ) = sen ( -e-2E- ) reemplazando de (2) tenemos ~cos - +2-b __ sen ( -e-2E- ) - - reduciendo análogamente que (4) tenemos c cos - 2 e sen - 2 .... (5) Multiplicando (4) Y (5) tenemos cos - cos - 2 2 ( esto es lo que se J buscaba demostrar
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