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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA PROBLEMAS RESUELTOS









Problema 1

Halle el área de un triángulo esférico, sabiendo que sus ángulos miden 70°, 80° Y 85°, además el radio de la esfera es 12m (tome pi = 3, 14) .
Resolución
De los datos: A=700, B=800 y C=85°
calculando el exceso esférico
~ E = A + B + C - 180°
'-r------'
E = 235° - 180°
E = 55°
luego, calculamos el área del T.E.
S=R2E
S = 122 x55x~
180
S = 144x55x(3, 14)
180
S = 138,16m2

Problema 2
Dado un triángulo ABC, donde se cumple a+b+c = 180°, calcule K=(1-cosA)tanbtanc

Resolución
K = (l-cosA) senbsenc
cosbcosc
K = senbsenc - senbsenccosA ... (1)
cosbcosc
pero de la ley de cosenos para lados
cosa = cosbcosc + senbsenccosA
~ senbsenccosA = cosa - rosbcosc ... (11)
Reemplazando (lI) en (1)
K = senbsenc - cosa+cosbcosc
cosbcosc
K = cos(b - c) - cosa
cosbcosc
Del dato a + (b+c) = 1800
~ cosa= - cos (b+c)
K = cos(b - c) + cos(b + c)
cosbcosc
K = 2~
~
.. K =2

Problema 3
En un triángulo esférico ABC recto en C 3b
tanb sen3 sen -----a
R = 4tanB 3
3 (
sen a tan3a - -sen-b j
3tan3 A 4
simplifique

Resolución
Sea e l T. E. ABC rec to en C
Por la regla de Neper
b
(a)
(b)
Figura 12.30
• sena= tanb tan (90° - B)
~ sena = tanb ... (1)
tanB
• senb= tana tan(900 - A)
tan a
~ senb = -- ... (lI)
tanA
Reemplazando (1) y (lI) en R
3b
sen -sen-a - -se-n3- a
4 3
R= --~-----L
3 (
sen a -sen-3b - -sen-bJ
3 4
sen3a
R sen3b(3sena-'4sen3 ~)
sen3a(~sen3 b .-3senq)
-sen3b
Simplificando obtenemos R=-I

Problema 4
En un triángulo esférico ABC, se cumple que
(
sec -a+2B-) sec ( -a -2-B) = 2,,f2ñ
obtenga el valor de la expresión siguiente:
K= cosb(senAsenC + cosc) + cosA(senbsen ccosC)
Resolución
K = cosbsenAsenC + cosbcosc + cosAsenbsenc
- cosAcosC
Agrupando convenientemente
K= (cosbcosc + senbsenccosA)
+ (-cosAcosC + cosbsenAsenC)
identificando, por la ley de cosenos para lados y
ángulos
K = cosa + cosB
(
K = 2cos -a+2B-) cos ( -a-2B- ) .. . (1)
Del dato
(
cos -a+2B- ) cos ( -a -2-B) = 4.J 2
Reemplazando en (1)
K=2 ( ~ )~ K= ~
Problema 5
En un triángulo esférico ABe demuestre
tan( A) = sen(p - b)sen(p - c)
2 senpsen(p - a)
siendo p=(a+b+c)/2
Resolución
(
Se conoce tan -A2 ) = 1- cosA
1 +cosA
... (1)
de la ley de cosenos para lados
cosa = cosbcosc + senbsenccosA
A
cosa - cosbcosc
~ cos = -----senbsenc
Sustituyendo en (1)
1 _ cosa - cosbcosc
senbsenc
1 + cosa - cosbcosc
senbsenc
(
tan -A) = senbsenc - cosa + cosbcosc
2 senbsenc + cosa - cosbcosc
Identificando, las identidades de arcos compuestos
tan ( - =
A J cos(b - c) - cosa
2 cosa - cos(b+c)
Transformando a producto en el radical
Del perímetro del T.E. tenemos
a+b-c .
2p = a + b + c ~ = p - c
2
análogamente c+a - b = p- b
2
b+c-a
---=p - a
2
De donde finalmente obtenemos que
tan( ~ ) = sen(p - c)sen(p - b)
senpsen(p - a)
Problema 6
De una base militar B ubicada en el Polo Norte se
dispara un misil por el Meridiano de Greenwich
impactando en una ciudad B (Iat 300 S; long 0°).
De otra ciudad C (Iat 0° ; long 45°E) parte una
misión exploradora. Halle la distancia más corta
entre By C, sabiendo que el radio terrestre mide
aproximadamente 6300 km.
Considere arccos( ~ ) = 52°
Resolución
Meridiano
o E
(a)
Resolviendo el triángulo esférico rectángulo BMC
de la figura 12.3I(a).
B 3°UfooD· 45° 45°
(b) (e) (d)
Figura 12.31
Empleando la Regla 11 de Neper (véase figura 12.31)
sen(900 - x) = cos300cos45°
J3..fiJ6 cosx=-x-=-
2 2 4
x =arccos( ~) =52°
La m BC , expresamos en radianes
X=520(~)= 13n
180° 45
Cálculo de la longitud del arco BC, en el sector
circular BAC
º B~C = -13xn (6300 km) = 1820n km
4S
Problema 1
Del gráfico que se
muestra: ABC es un
triángulo esférico, cuya
343n 2
área es -2- cm .
¿Cuál es e l valor del
radio de la esfera que
contiene el triángulo?
Resolución
Recuerde, el área de un triángulo esférico es
S=E.R2
Oo, (1)
Tenemos que e l exceso
esférico E, se calcula así
E=A+B+C - 180°,
véase figura 12.32 (b)
B
=} E = 45° + 85° + 120°-180°
=> E = 70°,
en radianes es
7n
E = -rad
18
luego, reemplazando en (1)
S=7n.R2
fu¡;, 18
R=21cm
, ,
:R , , ,
A
Figura 12.32
C
(b)
Problema 8
El rumbo inicial de un derrotero a lo largo de una
circunferencia a partir de una ciudad
A(Iata N, long $ W) es S; (180°<8<270°). Halle
las coordenadas geográficas de M, (en términos
de a, e y $ ) donde el recorrido corta al Ecuador.
Resolución
Del enunciado; ubicando al punto A
Meridiano
de Greenwich
(a) (b)
Figura 12.33
En el T.E. MAH, por las reglas de Neper, se tiene
sena = tanxtan(2700 - S)
sena = tanxcotS
~ tanx = senatanS ~ x = arcot(sena tanS)
luego las coordenadas geográficas de M son
M=(IatO°; long(arctan(senatan8)+$)W)
Problema 9
Tres bases A, B Y e se encuentran distribuidas de
la siguiente forma: B equidista de Ay C. Determine
la latitud de B, si se sabe que se encuentra en la
long 18°0. Además, A está en el Polo Norte y e :
(Iong78°0 ; lat300S).
Dato: tan73°53'= 2J3
Resolución
Ubiquemos los puntos A, B Y e en la Tierra.
N
Meridiano
de
(a)
Resolviendo el triángulo esférico ABe
A
e
(b)
Figura 12.34
Aplicando la ley de cosenos para lados en la figura
12.34(b)
cos(900-x) = cosI200cos(900-x) +
sen1200sen(900 - x)cos600
Reduciendo y sustituyendo valores
I J3 1
~ senx = --.senx+-cosx.-
2 2 2
3 J3
=} -senx = -cosx
2 4
J3
=} tanx=-
6
=} cot x = 2../3
No olvidemos que tan 73°53' = 2J3
:. x = 90°-73°53' = 16°07'
Problema 10
Encuentre la menor distancia entre dos ciudades
A y S cuyas coordenadas geográficas son:
latitud 45° Norte ; longitud 40° Oeste y latitud 45°
Sur ; longitud 20° Este, respectivamente.
Resolución
Del enunciado; ubicamos los puntos A y S en la
figura 12.35.
S
Figura 12.35
Del gráfico T.E. ANS, por ley de cosenos para lados
cosx = cos45°cosI 35° + sen45°senI 35°cos600
~cos x= ~ x( -~ J + ~ x ~ x ~
l 1t
~cosx=- ¡; como 2 <x <1t
~ x = arccos( -¡ J
I x = 1t - arccos -
4
Problema 11
El rumbo inicial de un derrotero a lo largo de una
circunferencia máxima, a partir de una ciudad A
(Iat 400N, long 74°W) es N300 E. Localice un punto
S del recorrido más cercano al Polo Norte(N) y
calcule (en millas náuticas) la distancia en la
circunferencia máxima desde A hasta la ciudad S.
Datos:
1
• "2 cos400= 0,38 • arcsen(0,38) = 22°
• 1:3 tg 22° = 0,68 • arcsen(0,68) = 341'
• sen34°/cos400= 0,73 • arcsen(0,73) = 47°
Resolución
Del enunciado, se ubican los puntos A y S en la
figura 12.36 del T.E.R ANS tenemos
(a)
Figura 12.36
Por Neper en el T.E.R ASN se tiene
• seny = cos40°cos60°
seny = .!. cos400
2
(b)
seny = 0,38 ~ y=arcsen(0,38) ~ y = 22°
• senx = tan600tany
senx = 1:3 tg 22°
senx = 0,68 ~ x=arcsen(0,68)
~ x = 34°
• senx = cos40°cos(900 - N)
senx
senN = cos 400 '
senN= sen 34° = O 73 ~ N=arcsen(0,73)
cos400 '
~ N = 47°
Identificando las coordenadas de S
S = (Iat(900 - y)N ; long(74° - 47°)W)
S = (Iat68°N , long27°W)
Luego calculamos la distancia AS
As =x=34°
como l' = 1 milla náutica
~ As = 34 x 60'=2040'
:. AS = 2040 millas náuticas
Problema 12
Dado un triángulo esférico ABC se tiene que E=A+B+C-n y 2p=a+b+c
demuestre que
Resolución
Analizando el lado a por teorema de cosenos para lados.
cosa = cosbcosc + senbsenccosA
A
cosa - cosb cosc
~ cos =------senb
senc
Por degradación 2A A 2sen -= I-cosA /\ 2cos2 - =I+cosA
2 2
Reemplazando tenemos 2 sen 2 -A = cos(b-c)-cosa /\ 2c os 2 -A = -co-sa--co-s-('b--+--c")-
2 senb senc 2 senbsenc
A
~ sen-=
2
_se_n-",(_a_+_~_-_c_),-s_e_n_(,,-a_+_~-_b....L) /\ COS A =
senbsenc 2
sen( a +~ +C } en( b +~ -a )
senbsenc
Análogamente para sen B cos -B , sen -C y cos -C "2 ' 2 2 2
por arcos compuestos sen ( - - = sen - cos - + cos - sen-
A +B) A B A B
2 2 2 2 2
reemplazando
sen( ~ ~ - c } en( a + ~ - b ) sen( a+~+c } en( a +~ -b )
sen( A;B)=
senbsenc senasenc
+
sen( a+~+c )sen( b+~-a ) sen( b+~ -a }en( a + ~ -c)
senbsenc senasenc
Factorizando tenemos
5I) -b
A B C cos --
=>sen(-+-)=cos-. 2
2 2 c
cos-
2
Análogamente
~cos -+-b
cos( A + B ) = sen C . 2
2 2 c
cos -
2
=> como E=A+B+C-n
.... (1)
.... (2)
.... (3)
cos -- cos --
Prop.I edad sen ( -A+2B-) = cos ( -C2-E- ) 5aI-b) ( C-E)
Reemplazando de (1) Y (2) tenemos => 2 = 2
c C
cos (-a-2-b ) -cosci = cos ( -C2--E) ~cose2
Empleando proporciones
(
cos -a-2-b ) + cosci cos ( -e -2-E) + cos e
2
Transformando a producto y reduciendo
(
p-a) (P-b) (e E) E tan - 2- tan - 2- =tan 2-4 .tan
4
.... (4)
(
de (3) cos -A+2-B ) = sen ( -e-2E- ) reemplazando de (2) tenemos
~cos - +2-b __ sen ( -e-2E- )
- - reduciendo análogamente que (4) tenemos
c cos -
2
e sen -
2
.... (5)
Multiplicando (4) Y (5) tenemos
cos - cos -
2 2
(
esto es lo que se J
buscaba demostrar

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