FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS

OBJETIVOS

• Conocer la relación entre las funciones trigonométricas inversas y directas.

• Determinar el dominio y el rango de una función trigonométrica inversa.

• Identificar y aplicar las propiedades que cumplen las funciones trigonométricas directas.

Sea f una función uno a uno con dominio X y rango Y. La inversa de f es la función 𝑓−1 cuyo dominio es Y y rango es X. Es decir: 𝐷𝑜𝑚𝑓−1 = 𝑅𝑎𝑛𝑓 𝑅𝑎𝑛𝑓−1 = 𝐷𝑜𝑚𝑓 ¿ 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑓? 𝑆𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑥 𝑑𝑒 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑒𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑦. 𝐶𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑥 𝑝𝑜𝑟 𝑦, 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑦 𝑝𝑜𝑟 𝑥. 𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐: 𝑆𝑒𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 8 , 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑢𝑛𝑜 𝑎 𝑢𝑛𝑜 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑥: 𝑥 = 3 𝑦 − 8 𝐶𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠: 𝑦 = 3 𝑥 − 8 𝐿𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑓 𝑒𝑠: 𝑓−1 = 3 𝑥 − 8 𝑮𝒓á𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒅𝒆 𝒇 𝒚 𝒇−𝟏: Las gráficas de las funciones 𝑓−1 y 𝑓 son simétricas respecto a la recta 𝑦 = 𝑥. FUNCIÓN ARCO SENO F U N C I Ó N A R C O S E N O 𝐃𝐄𝐅𝐈𝐍𝐈𝐂𝐈Ó𝐍: 𝒀 𝜋 1; 𝜋 2 2 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥 𝐂𝐀𝐑𝐀𝐂𝐓𝐄𝐑Í𝐒𝐓𝐈𝐂𝐀𝐒: • 𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛: 𝑥 ∈ −1; 1 𝒚 = 𝒙 1 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 • 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛: 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥 ∈ − 𝜋 𝜋 2 ; 2 𝜋 − 2 −1 (0; 0) 𝑿 1 𝜋 2 𝑬𝑱𝑬𝑴𝑷𝑳𝑶𝑺: ∗ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 0 = 0 ∗ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 1 = 𝜋 2 𝜋 ∗ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 ∗ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 = 𝜋 6 = − 𝜋 4 𝜋 −1; − 2 2 ∗ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 −1 = − 2 Encuentre el dominio f x = arcsen(x + 2) Encuentre el dominio y el rango de la función 2 f x = π arcsen 2x + 3 + 1 • Calculo del rango: Π π − ≤ arcsen(2x + 2) ≤ 2 2 2 +1 Por definición: −1 ≤ x + 2 ≤ 1 −2 −3 ≤ x ≤ −1 Domf = −3; −1 RESOLUCIÓN • Calculo del dominio: Por definición: −1 ≤ 2x + 3 ≤ 1 0 ≤ π arcsen 2x + 2 + 1 ≤ 2 0 ≤ f(x) ≤ 2 Ranf = 0; 2 −3 −4 ≤ 2x ≤ −2 ÷ 2 −2 ≤ x ≤ −1 Domf = −2; −1 FUNCIÓN ARCO COSENO 𝐃𝐄𝐅𝐈𝐍𝐈𝐂𝐈Ó𝐍: 𝒀 𝛑 F U N C I Ó N A R C O C O S E N O f(x) = arccosx 𝛑 𝟐 1 𝐲 = 𝐱 𝐂𝐀𝐑𝐀𝐂𝐓𝐄𝐑Í𝐒𝐓𝐈𝐂𝐀𝐒 • Dominio de la función: x ∈ −1; 1 • Rango de la función: arccosx ∈ 0; π 𝐄𝐉𝐄𝐌𝐏𝐋𝐎𝐒: −𝟏 0 𝟏 g x = cosx 𝑿 π π π ∗ arccos 0 = 2 ∗ arccos 1 = 0 π ∙∗ arccos = 3 π ∗ arccos = 4 2 ∗ arccos −1 = π −1 Calcule el valor de M = sen Calcule el N = cos luego N = cos(θ − α) N = cosθcosα + senθsenα RESOLUCIÓN P2) Encuentre el dominio de P3) Encuentre el rango π M = A) 5π 12 B) π 12 C) π 4 D) 2π 3 3π f x = arccos x − 2 + 8 A) −1 ; 1 B) 1 ; 3 C) 0; 2 D) −π; 2π f x = 3arcsenx + 2 A) −π; 2π B) 0; 2π C) −π; 2π D) −π; 2π CLAVES DEL TEST AB A

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Bruno montes