ECUACIONES DE LA ELIPSE EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS
PREGUNTA 1 :
Halle la ecuación de la elipse cuyo eje mayor mide 12 y los focos son el origen de coordenadas y el punto F(0; –10).
A) 36x² + 11y2 + 11y + 121 = 0
B) 36x² + 11y2 + 11y – 121 = 0
C) 36x² + 11y2 + 110y – 100 = 0
D) 36x² + 11y2 + 110y – 90 = 0
E) 36x² + 11y2 + 110y + 90 = 0
PREGUNTA 2 :
Halle la ecuación de la elipse con centro en el origen de coordenadas y eje focal sobre el eje X, la curva pasa por el punto (2 ; 3) y el lado recto es el triple de la semidistancia focal.
A) 3x² + 4y² = 24
B) 3x² + 4y² = 12
C) 3x² + 4y² = 48
D) 3x² + 4y² = 40
E) 3x² + 4y² = 49
PREGUNTA 3 :
Una elipse de ejes paralelos a los ejes coordenados es tangente a estos, si su foco de mayor abscisa es (9; 3). Hallar la longitud del eje menor.
A) 3
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
PREGUNTA 4 :
Calcular la ecuación de la elipse que pasa por los puntos (1 ; 6) y (3 ; 2).
Tiene su centro en (1 ; 2) y su eje menor es horizontal.
A) 4x² + y² – 8x – 4y = 8
B) 4x² + y² + 8x + 4y = 8
C) 4x² + 4y² – 4x + 8y = 8
D) x² + y² – 8x – 4y = 8
E) 4x² + y² – 8x + 4y = 8
ELEMENTOS DE LA ELIPSE L1 L2 − Vértices: V1 y V2 −Eje mayor: V1V2; d V1; V2 = 2𝑎 −Eje menor: B1B2; d B1; B2 = 2𝑏 −Focos: F1 y F2 Eje focal −Distancia focal: F1F2; d F1; F2 = 2𝑐 −Centro: C 𝑐 −Excentricidad: 𝑒 = 𝑎 −Rectas directrices: L1 y L2; d L1; L2 = −Cuerda focal: AB R A −Diámetro: DE B2 −Radio focal: F2A; F2B −Lado recto: LR; LR = − 𝑎2= 𝑏2 + 𝑐2 2𝑏2 𝑎 ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN DE CORDENADAS APLICACIÓN Halle la ecuación de la elipse de focos −2; 0 y 2; 0 2 y excentricidad igual a . 3 RESOLUCIÓN ECUACIÓN DE LA ELIPSE DE CENTRO EN EL PUNTO C(h;k) EJERCICIO Demuestre que la ecuación de la elipse ℰ de centro en el punto 𝐶 ℎ; 𝑘 y eje focal paralelo al eje 𝑋 es DEMOSTRACIÓN APLICACIÓN Dada la ecuación de la elipse ℰ: 3𝑥2 + 18𝑥 + 4𝑦2 − 16𝑦 + 31 = 0; halle el lado recto y la gráfica de dicha elipse. RESOLUCIÓN EJERCICIO Determine las coordenadas del foco de coordenadas positivas de la elipse 4𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 + 4𝑦 = 8 RESOLUCIÓN EJERCICIO Los focos de una elipse están en las rectas 𝐿1: 3𝑥 − 5𝑦 + 12 = 0 𝑦 𝐿2: 2𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0 Si el eje mayor es igual a 10 u y la recta 𝑥 = 6 es el eje focal. Halle la ecuación de dicha elipse. RESOLUCIÓN RECTA TANGENTE A UNA ELIPSE EJERCICIO Halle la ecuación de la recta tangente a la elipse ℰ: 2𝑥2 + 3𝑦2 = 5 en el punto 𝑃 1; −1 . RESOLUCIÓN 𝑥2 𝑦2 𝑌 𝐿𝑇 Sea 𝑃 𝑥0; 𝑦0 un punto de tangencia de la elipse Se cumple que Se cumple que 𝑏2𝑥0 𝑚 = − 𝑎2𝑦 es la pendiente de la recta 𝐿𝑇 𝑎2𝑥0 𝑚 = − 𝑏2𝑦 es la pendiente de la recta 𝐿𝑇 APLICACIÓN EJERCICIO Demuestre que la ecuación de la recta tangente a la elipse 𝑥2 𝑦2 ℰ: 𝑎2 + 𝑏2 = 1 en el punto 𝑃 𝑥0; 𝑦0 es de la forma: DEMOSTRACIÓN PROPIEDADES DE LA ELIPSE EJERCICIO En la elipse mostrada, halle el producto de las distancias de los focos a la recta tangente ℒ en el vértice 𝑉2. RESOLUCIÓN 𝑥2 En una elipse, el producto de las distancias de los focos a una recta tangente a la elipse es igual al cuadrado de la longitud del semieje menor. 𝑌 𝑦2 PROPIEDAD DE LA REFLEXIÓN DE LA ELIPSE La recta tangente a una elipse en un punto forma ángulos iguales con los radios focales de ese punto.
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