ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS

PREGUNTA 1 : 
Calcule la longitud del lado recto de una hipérbola si se sabe que la distancia de uno de sus focos F (0; 3√2) a una de sus asíntotas es √2 y su centro es (0; 0). 
A) 2 
B) 4 
C) 1/2 
D) 1 
E) 1/4 
PREGUNTA 2 : 
Calcule el ángulo agudo que forman las asíntotas de la hipérbola. 
x² – 9y² – 4x+36y – 41=0 
A) 30° 
B) 37° 
C) 45° 
D) 53° 
E) 60° 
PREGUNTA 3 : 
Una hipérbola tiene su centro en el origen y su eje transverso sobre el eje X. Halle su ecuación si se sabe que su excentricidad es √6/2 y que pasa por el punto P(2; 1). 
A) x² – 2y²=1 
B) x² – 2y²=2 
C) 3x² – y²=11 
D) 2x² – y²=7 
E) x² – y²=3 
PREGUNTA 4 : 
Calcule el área de la región triangular formada por los vértices de la hipérbola de ecuación 
3x²–2y²–6x–12y–27=0 y el origen de coordenadas. 
A) 4 u² 
B) 6 u² 
C) 8 u²
D) 10 u² 
E) 12 u²
LA HIPÉRBOLA DEFINICIÓN ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA 𝐿 Centro: 𝐶 Vértices: 𝑉1 𝑦 𝑉2 Eje transverso: 𝑉1𝑉2 ; 𝑑 𝑉1; 𝑉2 = 2𝑎 Eje conjugado: 𝐵1𝐵2; Focos: 𝐹1 𝑦 𝐹2 Distancia focal: 𝐹1𝐹2; 𝑐 𝑑 𝐵1; 𝐵2 = 2𝑏 𝑑 𝐹1; 𝐹2 = 2𝑐 Excentricidad: 𝑒 = 𝑎 Asíntotas: 𝐿1 𝑦 𝐿2 Eje focal Rectas directrices: 𝐿3 𝑦 𝐿4 ; 𝑑 𝐿3; 𝐿4 = 𝑒 𝐴 Cuerda focal: 𝐴𝐵 Lado recto: 𝐿𝑅 ; ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN DE CORDENADAS 𝑦 = APLICACIÓN El centro de una hipérbola está en el origen, su eje transverso está sobre el eje 𝑋. Si un foco es el punto 4; 0 y la excentricidad es 2. Halle la ecuación de la hipérbola y la longitud de cada lado recto. RESOLUCIÓN EJERCICIO Halle la ecuación de la hipérbola cuyos focos están en los vértices de la elipse ℰ: 3𝑥2 + 4𝑦2 = 12 y las directrices pasan por los focos de dicha elipse. RESOLUCIÓN EJERCICIO Un avión está volando a lo largo de la trayectoria parabólica de ecuación 2𝑦2 − 𝑥2 = 8, determine que tan cerca llega el avión de un pueblo situado en 3; 0 . Sugerencia: denote con S el cuadrado de la distancia desde un punto 𝑥; 𝑦 sobre la trayectoria a 3; 0 y encuentre el valor mínimo de S. RESOLUCIÓN EJERCICIO ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA DE CENTRO EN EL PUNTO C(h;k) EJERCICIO Halle la excentricidad y la gráfica de la hipérbola de ecuación ℋ: 2𝑦2 − 3𝑥2 + 24𝑥 − 4𝑦 = 52 RESOLUCIÓN HIPÉRBOLA EQUILÁTERA O RECTANGULAR Una hipérbola es llamada equilátera si las longitudes de sus ejes transverso y conjugado son iguales, es decir 𝑎 = 𝑏, y sus ecuaciones son de la forma HIPÉRBOLAS CONJUGADAS Dos hipérbolas son conjugadas cuando el eje transverso de cada una es el eje conjugado de la otra. Ejemplos Excentricidad CASO PARTICULAR son hipérbolas conjugadas. son hipérbolas conjugadas. 𝑥𝑦 = −2 EJERCICIO Halle la ecuación de la conjugada de la hipérbola cuyo foco está en 𝐹 0; 2 , su directríz asociada es 𝐿𝐷: 3x + 4 = 0 y su 3 excentricidad es 𝑒 = 5 RESOLUCIÓN NOTA EJERCICIO Halle la ecuación de la hipérbola equilátera definida por un foco 𝐹 2; −1 y directríz asociada 𝑥 − 𝑦 = 0 RESOLUCIÓN RECTA TANGENTE A UNA HIPÉRBOLA Sea 𝑃 𝑥0; 𝑦0 un punto de tangencia de la hipérbola APLICACIÓN PROPIEDADES DE LA HIPÉRBOLA PRUEBA Consideremos la hipérbola de ecuación: ℋ: 𝑥 En el ⊿ 𝑂𝑉2𝐸: senα = 𝑐 Reemplazamos en I
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