DERIVADAS TRIGONOMETRICAS EJERCICIOS RESUELTOS

Derivada de Funciones Trigonométricas 
Tipo Seno 
Tipo Coseno 
Aquí se calculan las derivadas de seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, y se usan en el cálculo de otras funciones. 
Ahora procedemos a calcular las derivadas de algunas de las funciones trigonométricas básicas utilizando la definición y las propiedades estudiadas en capítulos anteriores. 
Luego se dará una tabla con las derivadas de las seis funciones trigonométricas básicas. 
La derivada de y = sen x 
Utilicemos le definición de derivada para determinar la derivada de la función y = sen x. Según eso tenemos: y' = = (usando la fórmula del seno de una suma de ángulos) = (reagrupando términos) = (separando límites) = sen x cos x (para efectos de límite, la variable es h) = sen x 0 + cos x 1 (porque y = 1) = cos x Es decir (sen x)'= cos x. Usted puede llevar a cabo un procedimiento parecido a éste para encontrar que (cos x)'= - sen x. La derivada de y = tan x Ahora calcularemos la derivada de y = tan x . No necesitamos hacer lo mismo que hicimos antes para calcular la derivada del seno ni lo que usted hizo para calcular la derivada de coseno, sino que usaremos esas dos derivadas y las fórmulas del Capítulo 5. En efecto, tenemos que tan x = y por lo tanto (tan x)' = = (usando la derivada de un cociente) = (porque (sen x)' = cos x y (cos x)' = - sen x) = = = sec2 x Esto es: (tan x)' = sec2 x. La derivada de las funciones trigonométricas Realizando un procedimiento análogo al anterior se puede calcular las derivadas de las restantes funciones trigonométricas básicas. A continuación se da una tabla con todas ellas. Tabla 6.3 Derivadas de las funciones trigonométricas (sen x)' = cos x (cos x)' = -sen x (tan x)' = sec2 x (cot x)' = -csc2 x (sec x)' = sec x tan x (csc x)' = -csc x cot x Ejemplo 6.Cálculo de derivadas Calcular la derivada de las siguientes funciones: (a) y = x sen x(b) y = (c) y = Solución: (a) Aquí se trata de un producto, aplicamos la regla correspondiente: y' = (x sen x)' = (x)'sen x + x (sen x)'= sen x + x cos x. 1. En este caso se trata de la derivada de un cociente: y' = = = . (c) Como = entonces se trata de la derivada de la potencia de una función: y' = = = Antes de dar algunos ejemplos más sobre el cálculo de derivadas de funciones en las que aparecen combinadas las funciones trigonométricas y las funciones algebraicas daremos una regla más para la derivación, de la cual, en el Capítulo 5 dimos un caso particular (el que usamos en el punto (c) del ejemplo precedente). Esta regla, conocida como la regla de la cadena, se refiere a la derivada de una descomposición de funciones. Teorema 6.2. Regla de la cadena Sean f y g dos funciones tales que existe g'(x) y existe f'(g(x)) entonces la derivada de la función compuesta f g existe en x, y se tiene (f g)' (x) = f'(g(x)) g'(x).

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