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MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS-PROPIEDADES Y PREGUNTAS DESARROLLADAS DE GEOMETRÍA Y MATEMÁTICAS pdf

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  • En la obra “Los Elementos de Euclides”, al final de libro II hay dos proposiciones que establecen la generalización del Teorema de Pitágoras y que conocemos actualmente como “Ley de Cosenos”. A dichas proposiciones se les conoce como Teorema de Euclides. Claudio Ptolomeo autor del famoso Almagesto, el gran aporte griego sobre astronomía, en el primero de los trece libros consigna una tabla, que da las longitudes de las cuerdas de todos los ángulos centrales en una circunferencia de radio 60, en intervalos de medio grado desde 1/2° hasta 180°. Junto a la tabla se encuentra una explicación suscinta de su deducción, lo que se conoce como “Teorema de Ptolomeo”. En el siglo xvi Matthew Stewart establece un teorema para el cálculo de la longitud de una ceviana, dicho teorema fue enunciado sin demostración en 1746. Teorema del cuadrado de un lado (teorema de Euclides) 1.- En un triángulo oblicuángulo, el cuadrado del lado que se opone a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos dos veces uno de estos dos lados por la proyección del otro lado sobre el anterior. 2.- En un triángulo oblicuángulo, el cuadrado del lado que se opone a un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados más dos veces uno de estos dos lados por la proyección del otro lado sobre el anterior. Altura de un triángulo en función de su semiperímetro y de sus lados (teorema de Herón) En un triángulo oblicuángulo, la altura relativa a uno de sus lados es igual al doble de la inversa de dicho lado multiplicado por la raíz cuadrada de los productos del semiperímetro por las diferencias de este semiperímetro con cada uno de los lados. Teoremas de la mediana 1. La suma de los cuadrados de dos lados de un triángulo oblicuángulo es igual al doble del cuadrado de la mediana relativa al tercer lado más la mitad del cuadrado del tercer lado. 2. La diferencia de los cuadrados de dos lados de un triángulo oblicuángulo es igual a dos veces el tercer lado multiplicado por la proyección sobre él de su mediana respectiva. Teorema de Euler La suma de los cuadrados de los cuatro lados de un cuadrilátero cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales más cuatro veces el cuadrado del segmento que une los puntos medios de las diagonales. Los radios de dos circunferencias concéntricas miden 9 y 7, una cuerda de la circunferencia mayor es trisecada por la circunferencia menor. Encontrar la longitud de la cuerda. A) 18 B) 14 C) 10 D) 16 E) 12 Las bases de un trapecio miden 4 y 10, sus diagonales miden 13 y 15. Encontrar la longitud de su altura. A) 9 B) 7 C) 8 D) 10 E) 12 Las bases de un trapecio miden 2 y 10; los lados no paralelos miden 6 y 7. Calcular la suma de los cuadrados de las longitudes de las diagonales. Resolución: Las medianas de un triángulo miden 6 cm, 9 cm y 12 cm, calcular la longitud del lado del triángulo donde cae la mediana mayor.
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