METRICAS EN TRIANGULOS OBLICUANGULOS EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRIA

OBJETIVOS 

► Aplicar correctamente los teoremas fundamentales de las relaciones métricas en triángulos oblicuángulos. 

► Entender que las relaciones métricas en triángulos oblicuángulos vienen a ser la generalización del Teorema de Pitágoras. 

► Conocer las diferentes relaciones métricas de los elementos de los triángulos oblicuángulos. 

► Conocer los cálculo de las lineas notables. 

► Saber aplicar los teoremas en los diferentes problemas tipo examen de admisión.

INTRODUCCION : 

En la obra “Los Elementos de Euclides”, al final de libro II hay dos proposiciones que establecen la generalización del Teorema de Pitágoras y que conocemos actualmente como “Ley de Cosenos”. A dichas proposiciones se les conoce como Teorema de Euclides. 

Claudio Ptolomeo autor del famoso Almagesto, el gran aporte griego sobre astronomía, en el primero de los trece libros consigna una tabla, que da las longitudes de las cuerdas de todos los ángulos centrales en una circunferencia de radio 60, en intervalos de medio grado desde hasta 180°. Junto a la tabla se encuentra una explicación suscinta de su deducción, lo que se conoce como “Teorema de Ptolomeo”. 

En el siglo xvi Matthew Stewart establece un teorema para el cálculo de la longitud de una ceviana, dicho teorema fue enunciado sin demostración en 1746.

RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS 

TEOREMA DE LAS PROYECCIONES 

Demostración: 𝑎 𝑥 Se cumple Proyecciones 𝑏 de los lados 𝑎 𝑥 𝑦 𝑏 ℎ 𝑦 𝑎2 = 𝑥2 + ℎ2 𝑏2 = 𝑦2 + ℎ2 (−) 𝑎2 − 𝑏2 = 𝑥2 − 𝑦2 𝑎2 − 𝑏2 = 𝑥2 + ℎ2 − 𝑦2 − ∴ 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 TEOREMA DEL COSENO Del gráfico, calcule Se cumple: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2 𝑏 𝑐 𝑐𝑜𝑠𝜃 Resolución Respecto a la medida angular que deseamos relacionar con las longitudes de los lados. 2 5 10 𝑐𝑜𝑠𝛽 45 = 25 + 100 − 100𝑐𝑜𝑠𝛽 Lo mismo se cumple para calcular 5 el lado 𝑏 y 𝑐. 𝛽 4 100𝑐𝑜𝑠𝛽 = 80 4 → 𝑐𝑜𝑠𝛽 = 5 ∴ 𝜷 = 𝟑𝟕° CÁLCULO DE LA CEVIANA (Teorema de Stewart) B Sea 𝐵𝑄 ceviana interior del triángulo 2 ABC 𝑎 B 𝑥 Aplicando el Teorema: Cuando 𝑩𝑸 es mediana 2 A 𝑐 2 Q 𝑐 C 2 𝑐 Aplicamos el cálculo de la ceviana 𝑎2 A C + 𝑏2 𝑐 = 𝑥2 𝑐 + 𝑐 𝑐 Se cumple: Factorizamos (𝑎2 2 + 𝑏2)= 𝑎2 𝑛 + 𝑏2 𝑚 = 𝑥2 𝑐 + 𝑚 𝑛 𝑐 CÁLCULO DE LA MEDIANA B Apliquemos lo aprendido Del gráfico, si 𝐵𝐶 ∥ 𝐴𝐷. Calcule 𝑥. 𝐵 3 𝐶 𝐴 8 𝐸 5 𝐷 A 𝑚 Q 𝑚 Resolución 𝐵 3 𝐶 C 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜 13 Piden: 𝑥 • Por C trazamos 𝐶𝑅// 𝐴𝐵, para formar el paralelogramo ABCR. • En el ∆RCD: por cálculo de la mediana Se cumple: 2 9 9 𝑥 92 + 132 = 2𝑥2 + 102 2 𝐴 3 𝑅 5 8 𝐸 5 𝐷 81 + 169 = 2𝑥2 + 50 250 = 2𝑥2 + 50 200 = 2𝑥2 ∴ 𝒙 = 𝟏𝟎 CÁLCULO DE LA BISECTRIZ B Del gráfico, calcule 𝑥 B A Q C 7 A Se cumple: 𝑥2 = 𝑎 𝑏 − 𝑚 𝑛 Resolución B Por el teorema de la bisectriz: 𝜔 6 𝐴𝑄 = 8 𝑄𝐶 𝑥 6 𝐴𝑄 = 8 7 − 𝐴𝑄 Luego: Por el teorema del cálculo de la bisectriz 𝑥2 = 6 8 − 3 4 𝑥2 = 48 − 12 𝑥2 = 36 → 𝐴𝑄 = 3 A 3 𝑄 4 7 C ∴ 𝒙 = 𝟔 CÁLCULO DE LA ALTURA (Teorema de Herón) B Sea un triángulo de lados 5, 7 𝑦 8. Calcula la altura relativa al lado mayor. Primero Resolución Piden ℎ • Primero calculamos el semiperímetro: calculamos el semiperímetro 𝑝 = 5 + 7 + 8 2 → 𝑝 = 10 7 A Q C ℎ 𝑐 • Luego, por teorema de Herón: ℎ = 2 8 Sea: 𝑝 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2 1 8 ℎ = 4 10 5 3 2 Se cumple ℎ = 2 𝑐 ∴ 𝒉 = 𝟓 𝟑 𝟐 OBSERVACIÓN: 13 ℎ 15 14 𝑆𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒: ℎ = 12

1. Se muestra la vista superior de cilindros tangentes, además, A, B y C son puntos de tangencia. Halle mAB. 50 m 30 m 20 m B A C A) 90° B) 45° C) 60° D) 53° 2. En el gráfico, AB=5, BC=8 y HQ=4. Calcule BH. θ θ A H Q C B A) 2 6 B) 2 3 C) 4 3 D) 4 3. Hugo es un clavadista amateur y está practicando un nuevo estilo de salto. Calcule la altura a la que se encuentra Hugo con respecto a la superficie de la piscina. 15 m 4 m 13 m A) 12 m B) 8 m C) 9 m D) 10 m 4. En un parque se observan tres bancas de madera como muestra el gráfico. Si Carlos se sienta exactamente en el punto H, ¿a qué distancia del extremo A de la banca de 4 m se ha sentado Carlos? 8 m 4 m 6 m A H A) 2 m B) 2,5 m C) 2,75 m D) 3,25 m 5. Según el gráfico, P es punto medio de AC, además, AB= 10 y AC= 14. Calcule OP. A) 1 0 A P B C B) 2 C) 3 D) 4