EJERCICIOS DE POLIGONOS DESARROLLADOS DE GEOMETRÍA
¿PARA QUE PUEDE SERVIR UN POLÍGONO?
La respuesta dependerá de quien la responda como por ejemplo: quienes lotizan los terrenos generalmente utilizan la forma cuadrangular para realizar tal actividad, así mismo los tableros de las carpetas y de las mesas tiene forma rectangular; esto es debido a que si se realizará en forma de otras figuras se perdería espacio o sería incómodo.
En la propia naturaleza al observar los panales de las abejas notará que en ellas hay cavidades que tiene forma hexagonal.
Para un estudiante el conocer las características del polígono le servirá para realizar el estudio de las propiedades de otras figuras.
UN POLÍGONO MUY PARTICULAR: LA CIRCUNFERENCIA
El número de lados de un polígono puede ser tan grande como se quiere; así, por ejemplo construir polígonos irregulares de 20 lados (icoságono), de 100 lados, 1 000 lados, etc. Al aumentar el número, éstos se hacen cada vez más pequeños.
Si pudiésemos construir polígonos regulares de una infinidad de lados, sucedería que cada uno de ellos no sería un segmento, sino un punto, con lo cual habríamos construido un polígono muy particular, la circunferencia, caracterizada por el hecho de que todos sus puntos están a igual distancia del centro.
Reconoceremos en la circunferencia los mismos elementos que aparecían en los polígonos regulares, si bien, algunos reciben nombres diferentes.
El radio de la circunferencia equivale a la apotema del polígono regular, y la longitud de la circunferencia al perímetro de éste.
El círculo es la porción del plano interior a la circunferencia. Por tanto, no confundas circunferencia con círculo. La circunferencia es una línea y el círculo es una superficie.
El anillo sugiere la idea de circunferencia y la moneda de círculo.
TRAZADO DE POLÍGONOS REGULARES
El trazado de polígonos regulares a mano alzada es prácticamente imposible, como tú mismo puedes comprobar. Por ello se hace necesario recurrir a métodos de dibujo. A continuación exponemos dos métodos para construir un polígono regular. a. Conociendo el lado del polígono Sea L el lado. Trazamos dos arcos desde sus extremos y obtenemos el centro B, y describimos una circunferencia que nos contendrá seis veces al lado. El radio de éste, , lo dividiremos en seis partes iguales, obteniendo los puntos 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Si hacemos centro de 1 y radio hasta C dibujaremos una circunferencia que contiene ocho veces el lado L y así sucesivamente hasta llegar a tomar como centro el punto 6 y radio hasta C, lo que permite dibujar una circunferencia que contiene doce veces al lado L. b. Dada una circunferencia. Uno de los problemas que con más frecuencia nos encontraremos será la necesidad de tener que dividir la circunferencia en un número determinado de partes iguales. A pesar de que existen diversos procedimientos, exponemos aquí el más conocido y que podemos llamar general porque sirve para todos los casos que se nos puedan presentar. Empezaremos por dibujar la circunferencia dada.
El diámetro lo dividiremos en un número de partes igual al que queremos dividir la circunferencia, en este caso siete. Tomando como radio el diámetro de la circunferencia y centro de los extremos de éste, A y B, describimos dos arcos que al cortarse nos dará el punto C. Se une mediante una recta el punto C con el 2 y se prolonga, obteniendo el D.
El arco es la séptima parte del total de la circunferencia. En todos los casos se opera del mismo modo, teniendo siempre presente que la recta que une el punto exterior C ha de pasar por el 2 (segunda división del diámetro). Es la figura geométrica determinada por los puntos P1, P2, P3, ......Pn coplanarios, donde no hay tres puntos colineales, y n3, entonces a la reunión de los segmentos P1 P2, P2 P3, P3 P4, ......, Pn-1 Pn, Pn P1 se denomina polígono. Estos segmentos no deben intersectarse más que en sus extremos. Elementos: Vértices: P1, P2, P3, ....., Pn Lados: Notación: Polígono: P1 P2 P3 ...... Pn Medida de los ángulos Internos: b1, b2, b3, ......, bn Externos: a1, a2, a3, ......., an En todo polígono convexo se cumple que el número de vértices es igual al número de lados e igual al número de ángulos. Diagonal Es el segmento que une dos vértices no consecutivos. En la figura , ....... diagonales. Diagonal media Es el segmento cuyos extremos son los puntos medios de dos lados. En la figura: , ....... diagonales medias Conjunto convexo, un conjunto A se denomina convexo, si para cada dos puntos M y N del conjunto, todo el segmento está en A. Ejemplo: Conjunto no convexo Un conjunto B se denomina no convexo, si para dos puntos P y Q del conjunto, parte del segmento PQ no está en B. Ejemplo: Denotación de los polígonos
CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS
I. Según la región que limitan a. Polígono convexo: Es el polígono que limita una región convexa. b. Polígono no convexo: Es el polígono que limita una región no convexa. II. Según la medida de sus lados y ángulos internos determinados a. Polígono equiángulo: Es aquel polígono convexo cuyos ángulos son congruentes. b. Polígono equilátero: Es aquel polígono cuyos lados son congruentes. c. polígono regular: Es aquel polígono convexo que es a la vez equiángulo y equilátero. Ángulo central de un polígono regular: Es aquel cuyo vértice es el centro del polígono regular y sus lados pasan por dos vértices consecutivos del polígono. O : Centro del polígono regular. a : Medida del ángulo central.
FÓRMULAS PARA TODO POLÍGONO DE n LADOS A. Suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono convexo (Si) B. Suma de las medidas de los ángulos exteriores de un polígono convexo (Se) C. Número de diagonales trazadas desde un vertice. (NºDTV) D. Número total de diagonales. E. Número de diagonales trazadas desde M vértices consecutivos. (Nm) F. Número total de diagonales medias (NTDM) FÓRMULAS PARA TODO POLÍGONO REGULAR DE n LADOS