ÁREAS CUADRANGULARES EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS

OBJETIVOS :

• Reconocer que todo cuadrilátero encierra una superficie llamada región cuadrangular la cual posee una medida llamada área.

• Conocer diversas fórmulas para el cálculo de áreas de regiones cuadrangulares.

• Aplicar las diversas fórmulas para la resolución de ejercicios sobre áreas.

PREGUNTA 1 :

Hallar el área de la región de un rombo si su perímetro es 116 cm y una de sus diagonales 42 cm.

a) 728 cm²

b) 720

c) 840

d) 960

e)180

Rpta. : "C"

PREGUNTA 2 :

Un terreno tiene forma rectangular y se sabe que su perímetro mide 46 m, siendo su diagonal igual a 17 m. ¿Cuál es el área del terreno?

a) 120 m²

b) 140

c) 160

d) 80

e) 60

Rpta. : "A"

PREGUNTA 3 :

Hallar el área de la región de un rombo si su perímetro es 116 cm y una de sus diagonales 42 cm.

a) 728 cm²

b) 720

c) 840

d) 960

e) 180

Rpta. : "C"

FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA

El área de una región cuadrangular es igual al semiproducto entre las longitudes de sus diagonales por el seno de la medida angular que éstas determinan.

Región cuadrangular convexa

Demostración:

Para cualquiera de los dos casos planteados la idea es calcular el área como la adición de dos 𝐵 𝑑1 𝐴 𝐶 𝜃 𝑑2 𝐷 𝑁 𝑑1 𝐿 𝜔 Sea 𝑄 = 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐷 Sabemos: 𝑃 𝔸 áreas de regiones triangulares. + =(𝑑2)(𝑚 + 𝑛)𝑠𝑒𝑛𝜃 Se cumple: 𝑀 Se cumple: 𝑑2 𝑨𝑩𝑪𝑫 Pero: 𝑚 + 𝑛 = 𝑑1 Reemplazamos: 2 (𝒅𝟏)(𝒅𝟐) ∴ 𝔸 𝑨𝑩𝑪𝑫 = 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝟐 TEOREMA: FÓRMULA GEOMÉTRICA (M. DONAIRE) El área de una región cuadrangular es igual al producto de la longitud de 𝐵 Demostración Del gráfico: uno de sus lados con las distancias a él desde los vértices opuestos, todo esto divido entre el doble de la distancia del punto de intersección de las diagonales hacia el mismo lado. 𝔸 𝑨𝑩𝑪𝑫 = (𝐵𝐷)(𝐴𝐶) 𝑠𝑒𝑛𝛼 2 ÷ (𝐵𝐷)(𝐴𝑄) ℎ1 𝐶 𝛼 𝑄 Región cuadrangular convexa 𝐵 𝔸 𝑨𝑩𝑫 = 𝔸 𝑨𝑩𝑪𝑫 𝐴𝐶 = 𝑠𝑒𝑛𝛼 2 … (𝑖) ℎ ℎ2 𝐿 𝑆 𝔸 𝑨𝑩𝑫 𝐴𝑄 𝐴 𝐷 𝑏 Luego: ⊿𝐴𝐶𝑆 ~⊿𝐴𝑄𝐿 → 𝐴𝐶 𝐴𝑄 = ℎ2 ℎ … (𝑖𝑖) Reemplazamos (𝑖𝑖) en 𝑖 : 𝔸 𝑨𝑩𝑪𝑫 = ℎ2 … (𝑖𝑖𝑖) Además: 𝔸 𝑨𝑩𝑫 𝔸 𝑨𝑩𝑫 ℎ = 𝑏 ∙ ℎ1 … (𝑖𝑣) 2 𝐴 𝑏 𝐷 Se cumple: Finalmente (𝑖𝑣) en (𝑖𝑖𝑖): = ℎ2 ℎ ∴ 𝔸 𝑨𝑩𝑪𝑫= 𝒃 ∙ 𝒉𝟏 ∙ 𝒉𝟐 𝟐𝒉 PRACTICANDO LO APRENDIDO 𝑨𝑷𝑳𝑰𝑪𝑨𝑪𝑰Ó𝑵 Resolución: B Piden 𝔸 𝑀𝐵𝑁 𝔸 𝐴𝑀𝑁𝐶 b • En el 𝐴𝐵𝐶: 𝐴𝐶 = 13 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, los catetos 𝐴𝐵 y 𝐵𝐶 tienen longitudes 5 cm y 12 a cm respectivamente, si 𝐼 es el incentro del triángulo y las rectas 𝐴𝐼, 𝐶𝐼 intersecan a los 5 M I catetos 𝐴𝐵 y 𝐵𝐶 en 𝑀 y en 𝑁 respectivamente, calcule la razón de las áreas de las regiones 𝑀𝐵𝑁 y 𝐴𝑀𝑁𝐶. a r 𝐵 N • Sean 𝐵𝑀 = 𝑎, 𝐵𝑁 = 𝑏 12 → 𝔸 = 𝑎 ∙ 𝑏 …(i) 𝑀𝐵𝑁 2 b A H S C 13 𝐶 • Como 𝐼 es incentro, entonces: • En el triángulo 𝐴𝐵𝐶: T. Poncelet ℎ1 ℎ ℎ2 𝐴𝑁 bisectriz: 𝐶𝑀 bisectriz: 𝑁𝐵 = 𝑁𝑆 = 𝑏 𝑀𝐵 = 𝑀𝐻 = 𝑎 5 + 12 = 13 + 2𝑟 → 𝑟 = 2 𝐴 Se cumple: 𝐷 → 𝔸 𝐴𝑀𝑁𝐶= • De (i) y (ii): 𝔸 𝑀𝐵𝑁 13(𝑎 ∙ 𝑏) 2𝑟 𝑎 ∙ 𝑏 • Reemplazando en (iii): …(ii) 𝑟 𝔸 𝐴𝑀𝑁𝐶 2 13(𝑎 ∙ 𝑏) 2𝑟 = …(iii) 13 Resolución: Piden 𝔸 𝐴𝑁𝑀𝐶 • Trazamos 𝑁𝐿 y 𝑀𝑆 • Para este caso, emplearemos la fórmula geométrica 𝐷 perpendiculares a 𝐴𝐶. • Luego notamos que: 𝑎 𝐵 𝑀 ⊿𝐴𝑀𝑆~⊿𝐴𝐷𝐶 → ℎ2 9 → ℎ2 = 6 2𝑎 = 3𝑎 𝑏 𝑁 9 ⊿𝐶𝑁𝐿~⊿𝐶𝐵𝐴 → ℎ1 6 2𝑏 = 3𝑏 6 2𝑎 𝟒 =𝒉𝟏 𝟏𝟖 ℎ = 2𝑏 𝒉𝟐= 𝟔 → ℎ1 = 4 • Además por teorema de semejanza: 18 𝟓 ℎ = 6 ∙ 9 6 + 9 → ℎ = 5 𝐿 𝑆 𝐴 10 • Finalmente, tenemos: 𝐶 𝔸 𝐴𝑁𝑀𝐶 = 10 ∙ 4 ∙ 6 2 ∙ 𝐵 𝑎 𝐶 𝑀 𝑎 Si 𝑩𝑴 = 𝑴𝑪, 𝑨𝑵 = 𝑵𝑫 Del gráfico, se cumple: 𝐴 𝑏 𝑁 𝑏 𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un trapecio de bases 𝐴𝐷 y 𝐵𝐶 𝐵 𝐶 Si 𝐴𝑀 = 𝑀𝐵 Se cumple: ℎ Se cumple: 𝐴 𝐷 𝐵 𝐶 𝐷 Se cumple: Además: Si 𝐶𝑀 = 𝑀𝐷 Se cumple: Donde: ℎ, es la longitud de la altura. 𝐴 𝐷 𝐴 𝐷 Resolución: Piden 𝔸 𝐴𝐵𝐶𝐷 • En el problema: 𝔸 𝐴𝐵𝑂 = 𝔸 𝐶𝑂𝐷 = 𝑀 • Con ello: 𝔸 𝐴𝐵𝐶𝐷 = 2𝑀 + 𝐴1 + 𝐴2 • Pero: 𝑀 = • Reemplazamos: 𝐴 𝐷 𝔸 𝐴𝐵𝐶𝐷 = 2 • Luego: 𝐴1 = 𝐴2 = • Entonces: 𝐴1 𝐴2 + 𝐴1 + 𝐴2 2 2 2 𝔸 𝐴𝐵𝐶𝐷 = 2 𝐴1 ∙ 𝐴2 + 𝐴1 + 2 𝐴2 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un paralelogramo Las regiones triangulares determinadas por las diagonales son equivalentes. Punto cualquiera Se cumple: Se cumple:  Región rectangular 𝐵 𝐶 EXAMEN UNI Resolución: Nos piden relación entre el lado mayor y menor 𝑎 𝐴 𝑏  Región cuadrada 𝐵 𝐶 𝑎 Se cumple: 𝐷 Se cumple: El perímetro de un triángulo es 50m y sobre cada lado del triángulo se forma un cuadrado cuyo lado coincida con el lado del triángulo. Como resultado, la suma de las áreas de los cuadrados formados es 900𝑚2 y el lado del primer cuadrado es al del segundo como, el lado del tercero es a la mitad del primero. La relación del mayor y menor de los lados del triángulo es de (considere que los lados del triángulo son números naturales) 𝐴) 2 𝑎 1 • Reemplazamos (𝑖𝑣) en 𝑖𝑖 : 𝟐𝒃𝒄 + 𝑏2 + 𝑐2 = 900 𝑏 + 𝑐 2 = 900 → 𝑏 + 𝑐 = 30 (𝑣) • Reemplazamos en 𝑖 : → 𝑎 = 20 • Reemplazamos en 𝑖𝑣 : → 𝑏𝑐 = 200 𝐴 𝑎 𝐷 𝐵) 5 𝑎 2 𝑖) 2𝑝∆ = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 50 • De 𝑣 𝑦 (𝑣𝑖): (𝑣𝑖)  Región rombal 𝐵 𝐴 𝐷 Se cumple: 𝐶 𝐶) 3 𝑎 1 𝐷) 5 𝑎 1 𝐸) 11 𝑎 2 𝑖𝑖) ෍ á𝑟𝑒𝑎𝑠 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = 900 𝑎 𝑖𝑖𝑖) = 𝑏 → 𝑎2 = 2𝑏𝑐 … (𝑖𝑣) 𝑏 = 10 , 𝑐 = 20 • Tenemos que el lado mayor es 20m y el menor es 10m CÁLCULO DEL ÁREA EN FUNCIÓN DE LA LONGITUD DE SUS LADOS CUADRILÁTERO CIRCUNSCRITO CUADRILÁTERO INSCRITO CUADRILÁTERO BICÉNTRICO 𝐵 𝐵 𝑏 𝑟 𝐶 𝑎 𝑐 𝐶 𝑏 𝑏 𝐶 𝐵 𝑐 𝑎 𝑐 𝑎 𝐴 𝑑 𝐷 𝐴 𝐷 𝐴 𝐷 𝑑 𝑑 Se cumple: Se cumple: Se cumple: Donde: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 𝑝 = 2 Donde: 𝑝 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 2 NOTA: Esta es la fórmula de Brahmagupta. También es válido para cuadriláteros inscriptibles. PRACTICANDO LO APRENDIDO 𝑷𝑹Á𝑪𝑻𝑰𝑪𝑨 𝑪𝑬𝑷𝑹𝑬 𝑼𝑵𝑰 Resolución: Nos piden 𝔸 𝐴𝐵𝐶 = 𝑆 • En el problema 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un cuadrilátero bicéntrico, donde 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐵𝐶 = 𝑏, 𝐶𝐷 = 𝑐 y 𝐴𝐷 = 𝑑 . Calcular el área de la región triangular 𝐴𝐵𝐶. 𝑆 𝑆1 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑐 ∙ 𝑑 … (𝑖) 𝑎 + 𝑏 𝑎𝑏𝑐𝑑 𝐴) 𝑐 + 𝑑 • Se observa que: 𝑆1 = 𝑎𝑏𝑐𝑑 −𝑆 𝑎𝑏 𝑎𝑏𝑐𝑑 𝐵) 𝑎𝑏 + 𝑐𝑑 𝑎𝑐 𝑎𝑏𝑐𝑑 𝐶) Sabemos si 𝜔 = 𝜙 ó 𝜔 + 𝜙 = 180° Área de la región limitada por un cuadrilátero bicéntrico • Reemplazamos en (𝑖): 𝐷) 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 𝑏 𝑏𝑑 𝑎𝑏𝑐𝑑 𝜔 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑎 𝑐 𝑆 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑐 ∙ 𝑑 𝑎 𝑏 𝐸) + 𝜙 𝑎𝑏𝑐𝑑 → 𝑆 𝑐𝑑 = 𝑎𝑏 𝑎𝑏𝑐𝑑 − 𝑆(𝑎𝑏) • Luego: 𝑆 𝑎𝑏 + 𝑐𝑑 = 𝑎𝑏 𝑎𝑏𝑐𝑑

ÁREAS CUADRANGULARES EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS

Bruno montes