POLIEDROS EJERCICIOS DESARROLLADOS DE GEOMETRÍA DEL ESPACIO
Un poliedro es un sólido que esta limitado por 4 o más regiones poligonales planas.
A dichas regiones se les denomina caras; a las intersecciones de dichas caras, aristas, y a los vértices de las caras, de la misma manera.
PROBLEMA 1 :
Un poliedro convexo tiene 12 caras y 20 vértices. Indique la cantidad de aristas.
A) 22
B) 28
C) 30
D) 32
E) 34
Rpta. : "C"
PROBLEMA 2 :
Si un poliedro convexo tiene 5 caras, indique la cantidad de aristas.
A) 7
B) 8
C) 9
D) 7 y 8
E) 8 y 9
Rpta. : "E"
PROBLEMA 3 :
En un poliedro convexo, el número de caras es igual al de vértices, y la suma de los números de caras, vértices y aristas es 34. Indique qué poliedro cumple tales condiciones.
A) hexaedro
B) heptaedro
C) octaedro
D) nonaedro
E) decaedro
Rpta. : "D"
PROBLEMA 4 :
Halle la cantidad de diagonales de un poliedro limitado por 1 cara triangular, 5 caras cuadrangulares y 1 cara pentagonal.
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Rpta. : "C"
5.
Se tiene un triedro trirrectángulo O - ABC, tal que OA= 3, OB= 4 y OC= 2. Calcule la distancia de O al plano del triángulo ABC.
6.
En un ángulo triedro cuyas caras miden 53°; 37° y 60°, calcule la medida del diedro, correspondiente a la arista opuesta a la cara de mayor medida.
POLIEDRO
DEFINICIÓN
Es el sólido geométrico que esta limitado por cuatro o más regiones poligonales no coplanares
A los poliedros se les nombra según la cantidad de caras, de 4 caras es tetraedro, de Plano secante Cara Diagonal de la cara 5 caras es pentaedro, y así sucesivamente. Diagonal del poliedro A continuación se muestra un poliedro no convexo. Vértice Arista Sección plana El poliedro mostrado es convexo. Sea: 𝐶: Número de caras 𝑉: Número de vértices 𝐴: Número de aristas Sea: 𝐴: Número de aristas 𝐶1: cantidad de caras de 𝑙1 lados 𝐶2: cantidad de caras de 𝑙2 lados 𝐶3: cantidad de caras de 𝑙3 lados ⋮ ⋮ Aplicación: Un poliedro tiene 1 cara triangular, 6 caras cuadrangulares y 1 cara pentagonal, indique cuántas aristas tiene dicho poliedro. Resolución: Piden 𝐴 Se cumple: 𝐶𝑛: cantidad de caras de 𝑙𝑛 lados Se cumple: Aplicamos el teorema del número de aristas. 1 3 + 6 4 + 1 5 𝐴 = 2 Aplicación: Un poliedro tiene 8 caras y 16 aristas, indique cuántos vértices tiene dicho poliedro. Resolución: Piden 𝑉 Por teorema de Euler: 𝐶 = 8, 𝐴 = 16 → 8 + 𝑉 = 16 + 2 ∴ 𝑽 = 𝟏𝟎 Sea: 𝐶: Número de caras 𝑉: Número de vértices 𝐴: Número de aristas Se cumple: 3 + 24 + 5 32 𝐴 = 2 = 2 ∴ 𝑨 = 𝟏𝟔 Sea: 𝑁𝐷𝑃: Número de diagonales del poliedro 𝑉: Número de vértices 𝐴: Número de aristas Del gráfico mostrado calcule la cantidad de diagonales del poliedro. Resolución: Piden 𝑁𝐷𝑃 Finalmente aplicamos el teorema para calcular el número de diagonales. 10(10 − 1) 𝑆𝑁𝐷𝐶: Suma del número de diagonales de todas las caras Se cumple: Contabilizamos el número de vértices y el de aristas, tenemos: 𝑵𝑫𝑷 = 2 −16 −17 𝑉 = 10 𝐴 = 16 ∴ 𝑵𝑫𝑷 = 𝟏𝟐 Además se observa que las diagonales de las caras son: • 1 cara ▲, diagonales es 0. • 6 caras , diagonales es 2 6 = 12 • 1cara , diagonales es 5 → 𝑆𝑁𝐷𝐶 = 17