POLIEDROS REGULARES PROBLEMAS RESUELTOS DE EXAMEN ADMISIÓN UNIVERSIDAD
APRENDIZAJES ESPERADOS 
• Conocer los teoremas relacionados a poliedros regulares.
• Reconocer las características de los poliedros regulares.
• Calcular el área y volumen de un poliedro regular
POLIEDROS REGULARES
Son aquellos poliedros cuyas caras son regiones poligonales regulares y congruentes entre si, tal que en cada vértice concurren igual número de aristas.
Solo existen 5 poliedros regulares.
Los cuáles vamos a estudiar y son los siguientes:
☛ Tetraedro regular
☛ Hexaedro regular
☛ Octaedro regular
☛ Dodecaedro regular
☛ Icosaedro regular
TETRAEDRO REGULAR Es el poliedro regular, cuyas cuatro caras son regiones triangulares equiláteras. • Del gráfico: 𝐶 = 4 𝑉 = 4 𝑎 𝐴 = 6 • Notación: Tetraedro regular 𝐴𝐵𝐶𝐷 • Además: 𝒂: Longitud de la arista 𝐴 𝑩𝑯: Altura 𝑯: Baricentro de la cara 𝐴𝐶𝐷 𝐵 Se cumple: ▲ 𝐷𝐵𝑀 es una sección de simetría Ten en cuenta que la sección de simetría contiene a la altura del tetraedro regular. 𝐴 𝐶 El tetraedro regular tiene cuatro alturas, las 𝐷 cuales son concurrentes en el centro. Además el centro equidista de los vértices y de las caras. 𝐴 • Si L es punto medio de la altura Se cumple: El punto 𝑃 se encuentra situado sobre la altura de un tetraedro regular de lado 𝑎. Si 𝑃 equidista de cada vértice, calcule esta • Sea 𝐵𝐻 una de las alturas 𝐵 (𝑃 ∈ 𝐵𝐻) distancia. • Por condición del problema: 𝑷 es el centro del tetraedro regular 𝐴𝐵𝐶𝐷. 3 • Por longitud de la altura del tetraedro regular, sabemos: 𝐵 Se cumple: 𝐶 • Del gráfico: 𝐶 = 6 𝑉 = 8 𝐴 = 12 𝑎 • Notación: Hexaedro regular 𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐸𝐹𝐺𝐻 • Además: 𝒂: Longitud de la arista 𝑨𝑮: Diagonal 𝑶: Centro de 𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐸𝐹𝐺𝐻 𝐺 NOTA: El cubo tiene cuatro diagonales, las cuales son concurrentes en el centro. Ten en cuenta que el centro equidista de los vértices y de las caras. • Las regiones rectangulares en los cubos mostrados son los planos diagonales (secciones), así mismo ellos son considerados secciones de simetría, pero ten en cuenta que no son las únicas secciones de simetría. • ∆𝐸𝐵𝐷 y ∆𝐹𝐶𝐻 son equiláteros, congruentes y paralelos. • 𝐴𝐺 ⊥ 𝑅𝐸𝐺𝐼𝑂𝑁𝐸𝑆∆𝐸𝐵𝐷 𝑦 ∆𝐹𝐶𝐻 • 𝐺1 y 𝐺2 son baricentros de ∆𝐸𝐵𝐷 y ∆𝐹𝐶𝐻 respectivamente. • Al unir E, B y D con el vértice G se tiene que: Resolución: Piden 𝑑 Plano diagonal 𝑎 → 𝑑 = 𝑎 3 … (𝐼) 𝐶 • Trazamos 𝐵𝐺 para aprovechar al plano diagonal. • Se tiene que: 𝑚∢𝐴𝐵𝐺 = 90° • En ⊿𝐴𝐵𝐺 por producto de catetos: 𝑎 𝑎 2 = ( 2)(𝑎 3) → 𝑎 = 3 • Reemplazamos en 𝐼 : 𝐺 𝐻 Es el poliedro regular, cuyas ocho caras son regiones triangulares equiláteras. • Del gráfico: 𝐶 = 8 𝑉 = 6 𝐴 = 12 • Notación: Octaedro regular 𝑀 − 𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝑁 𝐴 • Además: 𝒂: Longitud de la arista 𝑴𝑵: Diagonal 𝑶: Centro de 𝑀 − 𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝑁 • 𝑨𝑩𝑪𝑫 • 𝑩𝑴𝑫�� • 𝑨𝑴𝑪𝑵 Cuadrados (éstos son algunos de las 𝑁 secciones de simetría) En el octaedro regular las tres diagonales son concurrentes en el centro y perpendiculares entre sí. Además dicho centro equidista de los vértices y de las caras. NOTA: Si 𝑎 es la longitud de la arista del octaedro regular, podemos concluir que, la distancia entre dos caras opuestas es igual a: • Las caras MNL y ABC se denominan opuestas. Se cumple: • Si G es el baricentro de la cara ABC Se cumple: Resolución: • Como se requiere trabajar con el centro del octaedro regular, vamos aprovechar trazar las diagonales. • Notamos que 𝑂 − 𝑀𝐷𝐶 es un triedro trirrectángulo. • Por diagonales del octaedro regular: 𝐴𝑂 = 𝑂𝐶 = 𝑀𝑂 = 𝑂𝑁 = 𝐵𝑂 = 𝑂𝐷= 3 2 • Del gráfico: 𝐶 = 12 𝑉 = 20 𝐴 = 30 • Además: 𝒂: Longitud de la arista 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 ∥ 𝐹𝐺𝐻𝐼𝐽 𝑎 𝐴 𝑎 𝐸 𝐵 𝑎 𝐶 𝑎 𝐷 Se cumple: 𝑎 𝑎 En el dodecaedro regular, encontramos regiones pentagonales paralelas. 𝑎 𝐺 𝐻 𝑎 𝐹 𝐼 NOTA: El dodecaedro regular tiene cien diagonales. 𝑎 𝑎 𝐽 DODECAEDRO REGULAR TEOREMAS 𝐻 𝐸 Regiones paralelas • 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬 y 𝑭𝑮𝑯𝑰𝑱 son pentágonos regulares congruentes y paralelos. La figura mostrada es un dodecaedro regular. Calcule la medida del ángulo entre 𝐴𝐵 y 𝐶𝐷. 𝐶 𝐴) 30° 𝐵) 36° 𝐵 𝐶) 45° 𝐿 𝐺 𝐷) 60° 𝐴 Piden 𝑚∢(𝐴𝐵; 𝐶𝐷) 𝐶 𝐸 𝐵 𝑀 • Reconocemos que las líneas en cuestión son alabeadas. • Además 𝐶𝑀𝐷𝑁𝐿 es una región pentagonal regular que contiene al segmento 𝐶𝐷 y es paralela a la cara 𝐸𝐵𝐹𝐴𝐺. • Con ello: 𝐸) 72° 𝐷 Dodecaedro 𝟕𝟐° 36° 𝐶𝐷 ∥ 𝐿𝑁 𝐿𝑁 ∥ 𝐺𝐴 𝐶𝐷 ∥ 𝐺𝐴 regular 108° → 𝑚∢(𝐴𝐵; 𝐶𝐷)= 𝑚∢(𝐴𝐵; 𝐴𝐺) Planos paralelos 𝐴 36° 𝐹 𝑁 𝐷 • Pero 𝑚∢ = 72° cumple: • Del gráfico: 𝐶 = 20 𝑉 = 12 𝐴 = 30 • Además: 𝒂: Longitud de la arista 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 ∥ 𝐹𝐺𝐻𝐼𝐽 En el icosaedro regular, encontramos regiones pentagonales regulares, congruentes y paralelas. NOTA: El icosaedro regular tiene treinta y seis diagonales. 𝐴 𝐶 • En el gráfico: 𝐵 𝐴 • Se cumple: 𝑀 Ten en cuenta la importancia de poder conocer algunas regiones que se determinan dentro de los poliedros regulares, para poder aprovecharlas en los problemas.