ANGULOS EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS
Un ángulo se mide con el transportador y su medida es el número de grados que le corresponde.
La unidad de medida del ángulo es el grado (°) , y un ángulo en geometría puede medir de 0° a 360°.
0° corresponde al ángulo nulo.
360° corresponde al ángulo completo o de una vuelta.
La geometría usa el sistema sexagesimal de medidas angulares que considera a la circunferencia dividida en 360 partes iguales y cada parte se denomina grado sexagesimal.
Para partes de un grado se utilizan las siguientes equivalencias:
1° = 60' se lee: 1 grado equivale a 60 minutos sexagesimales
1' = 60" se lee: 1 minuto equivale a 60 segundos sexagesimales
1° = 3 600" se lee: 1 grado equivale a 3 600 segundos sexagesimales
Estas equivalencias permiten operar con las medidas de los ángulos
LOS ÁNGULOS EN GEOMETRIA PREGUNTAS RESUELTAS EN SECUNDARIA Y PREUNIVERSITARIA pdf
Congruencia de ángulos : Dos ángulos son congruentes cuando sus medidas son iguales. Ejemplo: al medir con un transportador encontramos que: EJERCICIOS ¿Qué tipos de ángulos son:45°; 64°; 78°? ¿Qué tipos de ángulos son: 132°; 154°? Con la ayuda de un transportador medir y dibujar los siguientes ángulos: 90° y 120°. Con la ayuda de un transportador dibujar dos ángulos consecutivos de 40° y 100°. Dibuje usted con un transportador dos ángulos complementarios. Dibuje usted dos ángulos opuestos que midan 45°, utilice transportador o escuadra. Dibuje usted con un transportador dos ángulos suplementarios. Utilizando solamente escuadras, graficar los siguientes ángulos: 105°; 135°; 120°; 75° y 150°. 3. ¿Cómo se llaman los ángulos que miden 90° y 180°? 4. ¿Cómo se llaman dos ángulos que suman 90°? 5. ¿Cómo se llaman dos ángulos que suman 180°? Luego: Þ Se lee: «ángulo AOB es congruente con el ángulo PQR» BISECTRIZ DE UN ÁNGULO Es aquel rayo ubicado en la región interior del ángulo cuyo origen es el vértice de dicho ángulo y que forma con sus lados, ángulos de igual medida. En la figura es la Bisectriz del ángulo AOB Entonces Ejemplo: divide al en dos ángulos AOP y POB que son congruentes por tener la misma medida . Luego: es bisectriz del
CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS Según su Medida : Los ángulos según su medida se clasifican en: I) Ángulo agudo II) Ángulo recto II) Ángulo obtuso IV) Ángulo nulo V) Ángulo llano Ángulo Agudo: Es aquel cuya medida es mayor que “0” y menor que 90°. Ángulo Recto : Es aquel cuya medida es 90° Decimos que son perpendiculares y escribimos Cuando a un ángulo recto se le divide en varios ángulos consecutivos, las medidas de dichos ángulos suman 90°. Ángulo obtuso : Es aquel cuya medida es mayor que 90° y menor que 180° Ángulo nulo o perígonio : Es aquel ángulo cuya medida es 0° Ángulo Llano o Rectilíneo : Es el ángulo cuyos lados son dos rayos opuestos es decir colíneales y su medida es 180°. Cuando a un ángulo llano se le divide en varios ángulos consecutivos, las medidas de dichos ángulos suman 180°. “Par lineal” Dos ángulos forman un par lineal si son como la siguiente figura : Ángulo convexo : Un ángulo es convexo si su medida es mayor que cero, pero menor que 180° Ángulo cóncavo : Un ángulo es cóncavo si su medida es mayor que 180° pero menor que 360° Según la posición de sus lados Los ángulos según su posición se clasifican en: i) Ángulos adyacentes ii) Ángulos consecutivos. iii) Ángulos opuestos por el vértice. Ángulos adyacentes : Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y además están situados a distinto lado de un lado común. En el gráfico, los ángulos AOB y BOC son adyacentes. Se cumple : Ángulos consecutivos : Se denominan así a dos o más ángulos que son adyacentes con su inmediato. En la figura los ángulos AOB, BOC, COD y DOE son consecutivos. Entonces : Ángulos opuestos por el vértice : Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y además los lados de uno de ellos son las prolongaciones de los lados del otro en sentido contrario. En la figura los ángulos AOB y MON son opuestos por el vértice. Se cumple : Es decir : De acuerdo a la comparación de sus medidas Dos ángulos pueden ser complementarios o suplementarios Ángulos complementarios : Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es igual a 90° En la figura se tienen los ángulos complementarios AOB y BOC Entonces : Sea complemento de a Entonces : Complemento de un ángulo: Es lo que le falta a la medida de un ángulo para ser igual a 90°. ejemploS : Sea la medida de un ángulo igual a 38°. Þ Complemento de 38° = 90° – 38° = 52° Þ Complemento de 38° = 52° Se simboliza: C38° = 52° OBSERVACIÓN : Cuando nos dicen “el complemento del complemento del complemento del complemento del ...de un ángulo que mide q ”, tendremos: Ángulos suplementarios : Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es igual a 180° En la figura se tienen los ángulos suplementarios AOB y MQN Entonces : Sea Sx : suplemento de x Entonces : adyacentes suplementarios o par lineal Suplemento de un ángulo: Es lo que le falta a la medida de un ángulo para ser igual a 180°. ejemploS : Sea la medida de un ángulo igual a 86°. Þ Suplemento de 86° = 180° – 86° = 94° Þ Suplemento de 86° = 94° Se simboliza: S86° = 94° OBSERVACIÓN : Cuando nos dicen“el suplemento del suplemento del suplemento del suplemento del ...de un ángulo que mide q ”, tendremos: Ángulos alrededor de un punto de una recta : Son aquellos ángulos cuyas medidas suman 180°. Teorema 1 : La suma de las medidas de los ángulos consecutivos formados alrededor de un mismo vértice y a un mismo lado de una recta es 180°. Ángulos alrededor de un punto del plano (ÁNGULO DE UNA VUELTA ) : Son aquellos ángulos cuyas medidas suman 360°. Teorema 2 : La suma de las medidas de los ángulos consecutivos formados alrededor de un punto en un plano es 360°. Teorema 3 : «Las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios forman un ángulo recto» Medición de los ángulos en grados sexagesimales : Se toma como unidad principal el ángulo de un grado (1°) sexagesimal, el ángulo de 1° es igual a de la medida de la circunferencia. El ángulo igual a parte de 1° , es el ángulo de un minuto (1’) El ángulo igual a parte de 1' , es el ángulo de un segundo (1’’) 1°= 60' (se lee: un grado equivale a 60 minutos) 1'=60’’ (se lee: un minuto equivale a 60 segundos) Ejemplo 1: Si un ángulo mide 60°. Deseamos expresar dicha medida en grados minutos y segundos. Resolución: Repartiendo 60°, Así: 60° = 59° +1° 60° = 59° + 60’ 60°=59° + 59' + 1' 60°= 59° + 59’ + 60’’ 60° = 59° 59’ 60’’ Ejemplo 2: Expresar 6596’’ en grados , minutos y segundos. Resolución: Repartiendo a 6596’’ en grupos de 60, para obtener los segundos (ya que 1' = 60’’). Luego : Entonces : 6596’’= 109’ 56’’ = (60’ +49’) 56’’ 6596’’ = 1° 49’ 56’’ Ejemplo 3: Sumar : 42° 30' + 53° 12' + 33°10' Resolución: Ejemplo 4: Sumar: 120° 20' 30" + 38° 12' 22" + 53°50' 54" Resolución: Luego : 120°20’30’’ +38°12’22’’+53°50’54’’=212°23’46’’ Ejemplo 5 : Calcular: Resolución: Ejemplo 6 : Restar: 120° 12’ 30’’ – 48° 9’ 22’’ Resolución: Ejemplo 7 : Calcular : Se observa que los minutos y segundos del ángulo son menores que los minutos del ángulo Resolución: Ejemplo 8: Multiplicar : 25°30’20’’ por 5 Resolución: Ejemplo 9: Dividir : 137° entre 5 Resolución: Se realizan los siguientes pasos: A) Se dividen los grados entre el número dado B) El residuo se convierte a minutos C) Los minutos los dividimos entre el número dado D) En caso de quedar residuo , los minutos sobrantes se convierten a segundos y luego se divide entre el número dado. Empleo del transportador El transportador es un instrumento que sirve para medir o trazar ángulos. Observa cómo se mide el ángulo BAC con el transportador. 1° Se coloca el transportador de modo que su centro coincida con el vértice A del ángulo. 2° Se hace pasar un lado del ángulo por la medida 0° del transportador. 3° Se identifica en el transportador el número por el que pasa el otro lado del ángulo. Ese número es la medida del ángulo en grados. mBAC = 45° Construcción de la bisectriz de un ángulo La bisectriz de un ángulo se puede trazar haciendo uso de la regla y el compás. Por ejemplo, deseamos trazar la bisectriz del ángulo ABC. Se procede de la siguiente manera: 1°. paso: Ubica la punta del compás en el vértice B y con una abertura que elijas, dibuja un arco que cortará a ambos lados en M y N. 2°. paso: Con la punta del compás en M y luego en N, con la misma abertura, dibuja dos arcos que se cortarán en P. 3°. paso: Une el vértice B con el punto “P” y obtendrás la bisectriz del ABC