CONTEO DE FIGURAS EJERCICIOS RESUELTOS

La facultad de observación y percepción de cambios en muchas situaciones visuales está unida con la lógica y la memoria. Es necesario por eso, plantearse este tipo de situaciones, tales como las que aparecen en esta lista preliminar: 

► Comparar dos objetos para notar si son idénticos 

► Encontrar un objeto oculto, basándose en un modelo. 

► Enumerar y contar el conjunto de objetos observados 

► Descubrir el trazo de un recorrido oculto. 

► Elegir un recorrido óptimo entre varias rutas disponibles, etc. 

Para algunos de estos problemas se dispone de ciertos métodos sistemáticos o algunas fórmulas pre establecidas, mientras que para otros sólo podemos contar con nuestra intuición e imaginación para obtener la solución. 

Haremos entonces un estudio por separado de los casos que se conocen.

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CONTEO DE FIGURAS 

¿Cuántos triángulos se pueden observar en la figura? A B C D E Resolución: Podemos contar de dos formas: 1. Si utilizamos los vértices para identificarlos tendremos los siguientes triángulos: ABE, ABC, ACD, ADE, ABD y ACE = 6 triángulos 2. Si sólo observamos y utilizamos nuestra memoria registramos estas imágenes: 1 2 3 4 5 6 Los números indican los 6 triángulos reconocidos. ¿Cuántos segmentos hay en la siguiente figura? A B C D E Resolución : Si asignamos a cada uno de los pequeños segmentos una letra (e), tenemos: e e e e A B C D E Con 1 letra: 4 segmentos Con 2 letras: 3 segmentos Con 3 letras: 2 segmentos Con 4 letras: 1 segmento. Total de segmentos: S = 4 + 3 + 2 + 1 = 10 ó S = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 Sumando miembro a miembro: 2 S = 5+5+5+5 = 20 Es decir que para 4 “e”, tenemos: S = = 10 Generalizando, para “n” espacios, tenemos Nota: Esta expresión matemática podemos aplicarla a otras figuras, siempre y cuando cada segmento genere la figura pedida. Ejemplo 4: Cuántos triángulos hay en la figura? Resolución: Observamos que cada uno de los segmentos, en la base del triángulo, genera a su vez una figura pedida. Entonces, para n = 5 Nº triángulos = = 15 Ejemplo 5: Cuántos cuadriláteros hay en la figura? Resolución: Calcularemos primero los cuadriláteros que habrían sin las líneas horizontales interiores y luego los cuadriláteros que habrían sin las líneas verticales interiores. Es decir: Nº de cuadriláteros = = 10 Nº de cuadriláteros = = 6 Luego, al superponerlos, se multiplican  Nº cuadriláteros = 10 x 6 = 60 II. FIGURAS DE TRAZO CONTINUO Es posible dibujar algunas figuras con trazo continuo, esto es, sin recorrer dos veces la misma línea y sin levantar el lápiz del papel. Con otros resulta imposible hacerlo. Ejemplo 6: ¿Cuáles de las figuras siguientes se puede dibujar con un solo trazo? a b c d Sólo las figuras a, b y d se pueden dibujar de un solo trazo. La figura “c” es imposible trazarla, a menos que se repita un segmento. * Las razones se basan en una teoría que se conoce desde la época de Leonard Euler (1759) y de la cual extraemos algunos principios. - Para que una figura se pueda dibujar de un solo trazo; es decir, sin levantar el lápiz del papel y sin repetir ninguna línea, es necesario estar en alguno de los siguientes casos: Caso I: Todos los vértices de la figura dada deben ser pares; entendiéndose como vértice par aquel punto o nudo donde concurren un número par de líneas. La trayectoria del trazo debe iniciarse en alguno de los vértices y concluir en el mismo. Caso II: La figura debe tener sólo dos vértices impares. La trayectoria del trazo debe iniciarse en uno de los vértices impares y concluir en el otro vértice impar. - Cualquier otra situación diferente a los dos casos, no da lugar a realizar la figura de un solo trazo. - Si deseamos dibujar de un solo trazo, una figura con mas de dos vértices impares, repetiremos como mínimo líneas; donde “i” es el número de vértices impares. Ejemplo 7: ¿Cuáles de las siguientes figuras, se pueden graficar de un trazo, sin levantar el lápiz, ni pasar dos veces por la misma línea? A B C Ejemplo 8: Como mínimo una araña emplea 5 minutos en recorrer todas las aristas de un cubo construido de alambre de 60 cms. de longitud. ¿Cuál es el tiempo que emplea en recorrer una arista? Resolución: Para emplear el mínimo tiempo en recorrer una arista, la araña debe iniciar un recorrido en uno de los vértices. ¿Cuántos cuadriláteros que no son cuadrados hay en la figura? Rpta