SUMATORIAS EJERCICIOS RESUELTOS

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  • En este capítulo citaremos métodos prácticos para calcular la suma de to-das aquellas adiciones indicadas de los términos de una sucesión numérica. El símbolo , se llama Sigma e indica la sumatoria desde k ? 1 ; hasta para k ? n, donde: k ? 1 ; límite inferior k ? n ; límite superior “k” ; término genérico • Para poder desarrollar una sumatoria, tenemos que empezar asignando para k ? 1; k ? 2; k ? 3; y así sucesivamente hasta k ? n, al término genérico, para luego sumar todos los resultados.Ejemplo: A) Suma de los 1ros números N : • Calcular: 1 ? 2 ? 3 ? ?… ? 10 Resolución: Método Práctico: “La suma está dada por la mitad de la multiplicación del último sumando con su consecutivo”. Resolución: Método Práctico: “La suma esta dada por la multiplicación entre el último término y el consecutivo al último factor del último término y todo sobre la cantidad de factores que se va ha formar. A En general: n : Número de términos B) Suma de los 1ros. Números Pares: • Calcular: 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 40 Resolución: Método Práctico: “La suma esta dada por la multiplicación de la mitad del último y el consecutivo de ésta mitad” 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 40 ? 20 ? 21 ? 420 En general: C) Suma de los 1ros Números Impares • Calcular: 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 19 Resolución: Método Práctico: “La suma está dada por el cuadrado de la semisuma del primer y último término”. OJO: Pero cuando nos muestren la cantidad de términos la suma será igual al cuadrado de dicha cantidad de términos o sumandos. • Calcular: 1 ? 3 ? 5 ? ?… Resolución: 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 252 ? 625 En general: Ejemplo 1: En una industria de productos para “Taco” produce 78 bolas por cada minuto, las cuales las acondicionan en forma de triángulo de modo que en la 1ra fila haya una bola, en la 2da dos, en la 3ra tres y así sucesivamente. ¿Cuántas filas se formarán? A) 26 B) 23 C) 12 D) 13 E) 263 Resolución: sea “n” el número de filas. Total de bolas: n (n ? 1) ? 156 n (n ? 1) ? 12 ? 13 n ? 12 ? Rpta.: C Ejemplo 2: Si : Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n Calcular : S1 ? S2 ? S3 ? ? ? S20 A) 1240 B) 1610 C) 2000 D) 400 E) 210 Resolución: Se tiene que: Luego piden: ? Rpta.: B Ejemplo 3: Calcular “x ? y “ si: 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? x ? 196 2 ? 4 ? 6 ? 8 ? ? ? y ? 420 A) 69 B) 68 C) 67 D) 40 E) 27 Resolución: Aplicando métodos prácticos: 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? x ? 196 2 ? 4 ? 6 ? 8 ? ? ? y ? 420 Luego: x ? y ? 27 ? 40 ? 67 ? Rpta.: C Ejemplo 4: Calcular: A) 1 B) 0,123 C) 80 D) 99 E) 100 Resolución: Transformando los decimales: (suma de los primeros impares) ? Rpta.: E Ejemplos 5 Calcular “x”. 1 ? 2 ? 3 ? ?… ? x ? A) 35 B) 36 C) 37 D) 38 E) 111 Resolución: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? x ? x(x ? 1) ? a ? 2 ? 3 ? 37 x ? 36 ? Rpta.: B Ejemplo 6: Determinar el valor de: S ? 20 ? 1 ? 19 ? 2 ? 18 ? 3 ? ? 1 ? 20 A) 4525 B) 1245 C) 3870 D) 1580 E) 1540 Resolución: Haciendo la siguiente distribución, la cual es su equivalente: 20 filas ? Rpta. : E D) Suma de los cuadrados de los 1ros IN • Calcular: 12 ? 22 ? 32 ? ? ? 102 Resolución: Método Práctico: “La suma esta dada por la multiplicación, entre el número de términos, con su conse-cutivo y la suma del número de términos y su consecutivo, para luego dividir todo sobre 6”. En general: donde: n : número de términos E) Suma de los cubos de los 1ros N • Calcular: 13 ? 23 ? 33 ? ? ? n3 Resolución: Método Práctico: La suma está dada por el cuadrado de la mitad de la multiplicación entre el número de términos y su consecutivo” En general: donde: n : Número de términos Ejemplo 1: Juan conviene en pagar un artículo cada fin de semana de la siguiente forma: la primera semana paga S/.0,25, la segunda semana S/.1, la tercera S/.2,25, la cuarta S/.4 y así sucesivamente durante veinte semanas. El precio del artículo es: A) S/. 750,50 B) S/. 700,50 C) S/. 350,50 D) S/. 717,50 E) S/. 400,50 Resolución: Sea “S” la suma a pagar, luego. S ? 0,25 ? 1 ? 2,25 ? ? ? Rpta.: D Ejemplo 2: En el triángulo numérico hallar la suma de las veinte primeras columnas (dar como respuesta la suma de cifras del resultado) C1 C2 C3 C4 ?? 4 ?? 3 4 ?? 2 3 4 ?? 1 2 3 4 ?? A) 16 B) 17 C) 18 D) 15 E) 19 Ejemplo: Piden: 1(1) ? 2(2) ? 3(3) ? ? ? 20 (20) ? 12 ? 22 ? 32 ? ? ? 202 ? ? 2870 Pero se requiere: 2 ? 8 ? 7 ? 0 ? 17 ? Rpta.: B Ejemplo 3: Efectuar: 12 ? 22 ? 32 ? 42 ? 52 ? ? ? 102 22 ? 32 ? 42 ? 52 ? ? ? 102 32 ? 42 ? 52 ? ? ? 102 102 A) 1000 B) 3025 C) 2750 D) 10000 E) 27500 Resolución: 12 ? 22 ? 32 ? 42 ? 52 ? ?? ? 102 22 ? 32 ? 42 ? 52 ? ?? ? 102 32 ? 42 ? 52 ? ?? ? 102 102 1(12) ? 2(22) ? 3(32) ???? 10(102) ? Rpta.: B Ejemplo 4: Calcular: S ? 64 ? 81 ? 100 ? 121 ? 144 ? ? ? 625 A) 5525 B) 5665 C) 5385 D) 3600 E) 5388 Resolución: Es importante considerar que la fórmula de los cuadrados, específicamente está referida a la suma de los cuadrados de los primeros enteros positivos, es decir que si la suma no empieza en 12 ? 22; será necesario hacer un artificio previo, que consiste en suponer que efectivamente empieza en 12, para luego restarle los primeros términos que no corres-pondan a la suma planteada inicialmente; es decir que siendo la suma original: S ? 64 ? 81 ? 100 ? 121 ? 144 ? ? ? 625, que se puede expresar: S ? [82 ? 92 ? 102 ? 112 ? 122 ? …… ? 252] el artificio será: S ? 12 ? 22 ? 32 ? 42 ? 52 ? 62 ? 72 ? ( 82 ? 92 ? 102 ? 112 ? 122 ? ? ? 252 ) ? ? (12 ? 22 ? 32 ? 42 ? 52 ? 62 ? 72) Este procedimiento conocido, como el QUITA Y PON nos permite aplicar la fórmula dos veces, primero para los 25 primeros términos y luego en el sustraendo a los siete primeros términos, apliquemos pues: Luego: ? Rpta.: C Ejemplo 5: Calcular: S ? 123 ? 133 ? 143 ? ? ? 203 A) 194736 B) 36191 C) 39744 D) 8910 E) 11197 Resolución: Aplicamos un procedimiento análogo al ejemplo 4, se tendrá que falta: Luego: ? Rpta.: C RELACIONES ADICIONALES I) Suma de los cuadrados de los “n” primeros números pares naturales. 22 ? 42 ? 62 ? 82 ??? (2n)2 ? (n?1) (2n ?1) II) Suma de los cuadrados de los “n” primeros números impares naturales. 12 ? 32 ? 52 ? 72 ? ? ? (2n ? 1)2 ? (4n2?1) III) Suma de los cubos de los “n” primeros números pares naturales. 23 ? 43 ? 63 ? 83 ? ? ? (2n)3 ? 2 [ n(n?1) ]2 IV) Suma de los cubos de los “n” primeros números impares naturales. 13 ? 33 ? 53 ? 73 ? ? ? (2n ? 1)3 ? n2 (2n2 ? 1) F) Suma de los términos de una Progresión Aritmética. • Calcular : 4 ? 7 ? 10 ? 13 ? ? ? 37 Resolución: Debemos tomar en cuenta los conceptos utilizados en una progresión aritmética. 4 ? 7 ? 10 ? 13 ? ?? ? 37 an ? a1 ? (n ? 1) r Donde: n : número de términos an : término enésimo sn : suma de los “n” primeros términos en el problema: a1 ? 4 r ? 3 an ? 37 OJO: CONSIDERACIONES IMPORTANTES: I) En toda P.A. cada término compren¬dido entre el primero y el último, es igual a la semisuma de sus dos térmi¬nos adyacen-tes. II) En toda P.A. de número impar de térmi-nos, siempre se cumple que existe un único término central cuyo valor es la semisuma de dos términos equidistantes. III) En toda serie aritmética de número impar de términos se cumple. IV) G) Suma de los “n” primeros términos de una progresión geométrica finita. Calcular: 3 ? 6 ? 12 ? 24 ? … Resolución: Debemos tomar en cuenta los conceptos utilizados en una progresión geométrica. 3 ? 6 ? 12 ? 24 ? …… “8 términos” Donde: T1 ? 3 (primeros términos) q ? 2 (razón geométrica) n ? 8 (números de términos) • Sn : suma de los “n” primeros números. • q ? 1. En el problema: CONSIDERACIONES IMPORTANTES: I) En toda P.G. cada término compren¬dido entre el primero y el último es igual a la raíz cuadrada del producto de sus dos términos adyacentes. II) En toda P.G. de número Impar de términos se cumple siempre que existe un único término central, cuyo valor es la raíz cuadrada del producto de dos términos equidistantes. TCENTRAL ? Ejemplo 1: Calcular: Q ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? 22001 A) 22002 ?1 B) 22001 C) 22003 D) 42001 E) 1616 Resolución: Estamos frente a una progresión geomé¬trica finita: T1 ? 1 ; q ? 2 ; n ? 2002 donde: ? Rpta.: A Ejemplo 2: Si n es un entero positivo, el valor de la suma: 3 ? 33 ? 333 ? ?? ? 3 ?? 3 Es: A) B) C) D) E) Resolución: S ? 3 ? 33 ? ?? ? 3 ?? 3 multiplicando por 3 3S ? 9 ? 99 ? ?? ? 9 ?? podemos expresar como: 3S ? (10 ? 1) ? (102 ? 1) ? ? ? (10n ?1) Observamos “n” sumandos: 3S ? ( 10 ? 102 ??? 10 n ) ? ( 1 ? 1 ? ? “n” sumandos) aplicando “S” de progresión geométrica ? Rpta.: C K) Suma de los Infinitos términos de una progresión geométrica decreciente (suma límite) • Calcular: Resolución: Es decreciente ya que los términos van disminuyendo su valor, donde el término enésimo tiende a cero, cuando “n” es muy grande. Suma límite: Donde: 0 ? | q | ? 1 En el problema: Ejemplo 1: Hallar “S” : A) 2 B) 1 C) 1/3 D) 1/4 E) 0 Resolución: Aplicando suma límite, donde la razón geométrica será: ? Rpta.: C Ejemplo 2: Si los radios de una sucesión de circunferen-cias son: La suma de sus correspondientes longi¬tudes es igual a: A) ? B) 2? C) 4? D) 8? E) 16? Resolución: Se debe saber que la longitud de una circunferencia se calcula como se indica: L ? 2?R Luego la suma de longitudes será: ? Rpta.: C Ejemplo 3: Calcular: A) 1/49 B) 7/36 C) 1/2 D) 1/3 E) 13/37 Resolución: Como: Multiplicando a “S” por 7 ? Rpta.: B Ejemplo 4: Se tiene un triángulo equilátero cuyo lado mide “a”. Se toman los puntos medios de sus lados y al unírseles se forma otro triángulo equilátero, en este triángulo a su vez se to¬man los puntos medios de sus lados y se les une, formando otro trián¬gulo equilátero y re¬petimos la operación infinitas veces. Calcu¬lar la suma de las áreas de todos estos trián¬gulos formados, incluyendo el mayor. A) B) C) D) E) Resolución: Sea “S” el área del triángulo de lado “a”, luego según la figura se formará un triángulo cuya área es la cuarta parte de “S” y así sucesivamente. Donde: Luego la suma de todas las áreas será: ? ? Rpta.: A Ejemplo 5: En un círculo de Radio R se inscribe un cuadrado; en este cuadrado se inscribe un círculo; en éste, otro cuadrado y así suce-sivamente (indefinidamente). Se quiere saber el límite de la suma de las áreas de los círculos. A) ?R2 B) 2?R2 C) 4?R2 D) ?R2/2 E) 3?R2/4 Resolución: Se puede determinar que los radios de cada círculo son respectivamente: Los cuales se obtienen a partir de: Luego la suma de las áreas será: ? Rpta.: B Ejemplo 6: Se deja caer una bola desde una altura de 100 metros. En cada rebote la bola eleva los 2/3 de la altura desde la que cayó por última vez. ¿Qué distancia recorre la bola hasta que queda en reposo por la resis¬tencia del aire? A) 200m B) 300m C) 400m D) 500m E) 600m Resolución: Dist. bajada ? Dist. subida ? Dist. total ? dist. bajada ? dist. subida Dist. total ? Dist. total ? Observamos una progresión geométrica ilimitada de razón 2/3 Dist. total ? h ? 2 Dist. total ? 5h Dist. total ? 500 m ? Rpta.: D Ejemplo 7: Calcular: A) 7/5 B) 1/5 C) 1 D) 3/25 E) 19/24 Resolución: Considerando de 2 en 2 ? Rpta.: E Observación: I) Suma de las Inversas de los Productos Consecutivos. Calcular: A) B) C) D) 1 E) Resolución: En este tipo de situaciones se trata de descomponer cada término en la diferen¬cia de 2 fracciones ? Rpta.: C Ejemplo 2: Calcular: A) B) C) D) E) Resolución: Expresando todos los sumandos tal como: Factorizando en todos : ? Rpta.: C En general: Por ejemplo: Ejemplo 3: Efectuar: A) 124/175 B) 128/245 C) 129/295 D) 136/225 E) 108/205 Resolución: Factorizando el “3” J) Propiedades de las Sumatorias 0 Ejemplo 1 Calcular: A) 8727 B) 7912 C) 9512 D) 9192 E) N.A. Resolución: Aplicando las propiedades de la sumatoria, resultara: ? Rpta.: C K) Suma de los “n” primeros términos de una sucesión polinomial Calcular: 5 ? 14 ? 29 ? 50 ? 77 ? ?? Resolución: 5 ? 14 ? 29 ? 50 ? 77 ? ?? Método práctico: Dado: T1 ? T2 ? T3 ? T4 ? T5 ? ? ? Tn En el problema: n ? 10 ; T1 ? 5 ; a ? 9 ; m ? 6 ; r ? 0 reemplazando en “sn” Ejemplo 1: Calcular: 1 ? 3 ? 7 ? 13 ? 21 ? ? “20 términos” A) 4260 B) 5440 C) 2680 D) 4440 E) 8980 Resolución: Aplicando el método de las diferencias sucesivas. 1 ? 3 ? 7 ? 13 ? ?? ? Rpta.: C H) Suma de términos de una sucesión polinomial conociendo su término enésimo (Tn). Si : Tn ? 7n ? 2 Calcular “Sn” e indicar su valor para n ? 50. APENDICE Suma de los cuadrados de los 1ros Impares • Suma de los cuadrados de los 1ros pares • PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 01 La suma de 20 enteros consecutivos es “S”. ¿Cuál es la suma de los 20 siguientes? A) S ? 210 B) S ? 200 C) S ? 190 D) S ? 20 E) S ? 400 Resolución: Sea: S ? (x ? 1) ? (x ? 2) ? (x ? 3) ? ? ? (x ? 20) lo que piden es: S1 ? (x ? 20 ? 1) ? (x ? 20 ? 2) ? (x ? 20 ? 3) + (x ? 20 ? 4) ? … ? (x ? 20 ? 20) Separando adecuadamente: S1 ? (x ? 1) ? (x ? 2) ? (x ? 3) ? ? + (x ? 20) ? ? 20 ? 20 ? ? ? 20 ? S1 ? S ?20 ? 20 ? S ? 400 ? Rpta.: E PROBLEMA 02 Lucha y Pili leen una novela de Vargas Llosa; Lucha lee 10 páginas diarias y Pili lee 1 página el 1er día, 2 el 2do día, 3 el 3er día y así sucesivamente. ¿Después de cuántos días coincidirán si empiezan al mismo tiempo? A) 10 B) 20 C) 19 D) 21 E) 42 Resolución: Sea “n” : número de días Según enunciado se planteará: 10 ? 10 ? 10 ? ? ? 10 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? Rpta.: D PROBLEMA 03 En el siguiente triángulo numérico, hallar la suma de las diez primeras filas. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A) 13250 B) 13255 C) 22155 D) 11350 E) 5565 Resolución: Redistribuyendo en forma horizontal: F1 ? F2 ? F3 ? ?? ? F10 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? ?? : Luego nos piden: ? Rpta.: E Otro Método: 1 ? 2 3 ? 4 5 6 ? 7 8 9 10 ? Luego piden: PROBLEMA 04 Se disponen los números naturales, según el arreglo adjunto: 1 2 3 6 5 4 7 8 9 10 Calcular la suma de los números de la fila 30. A) 12742 B) 13892 C) 18734 D) 18645 E) 13515 Resolución: Del esquema: Fila 30 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? 465) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? 435) ? Rpta.: E PROBLEMA 05 Hallar la suma de la fila 10 en el siguiente arreglo: 1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 A) 2185 B) 3140 C) 2355 D) 2435 E) 2485 Resolución: Fila 10 ? Fila 10 ? (1 ? 6 ? 11 ?) ? (1 ? 6 ? 11 ?) Fila 10 ? Pero: T1 ? 1 r ? 5 Tn ? a1 ? (n ? 1) r ? T46 ? 1 ? (46 ? 1) 5 ? 226 T55 ? 1 ? (55 ? 1) 5 ? 271 Luego: Fila 10 ? ? Rpta.: E PROBLEMA 06 En el siguiente arreglo triangular calcular la suma de los términos de F20: F1 ?? 1 F2 ?? 4 9 F3 ?? 16 25 36 F20 ?? E indicar la suma de cifras del resultado. A) 16 B) 15 C) 17 D) 19 E) 21 Resolución: Piden: 12 ? 22 ? 32 ? ? ? 12 ? 22 ? 32 ? ? Piden: 1 ? 0 ? 4 ? 5 ? 2 ? 4 ? 0 ? 16 ? Rpta.: A PROBLEMA 07 Hallar la suma de las diez primeras filas del siguiente arreglo numérico: A) 2530 B) 100 C) 1000 D) 3025 E) 4238 Resolución: Se requiere: F1 ? F2 ? F3 ? ? ? F10 1 ? 8 ? 27 ? ? 13 ? 23 ? 33 ???103 ? ? Rpta.: D PROBLEMA 08 Hallar la suma de los 50 primeros términos de la sucesión: A) 1 B) C) D) E) Resolución: Hallando el término 50, para lo cual hay que deducir que: ? Rpta.: D PROBLEMA 09 Calcular el valor de : “a ? b” sabiendo que: A) 42 B) 44 C) 24 D) 48 E) 36 Resolución: Se deduce que a ? 2 ? b; y aplicando el método práctico tendremos: Luego: a ? b ? 44 ? Rpta.: B PROBLEMA 10 Calcular: A) B) C) D) E) 1 Resolución: Dando una forma conocida: ? Rpta.: C PROBLEMA 11 Calcular: A) B) C) D) E) 3 Resolución: Piden: • Cálculo de “U” para lo cual considerare-mos: 3 ; 5 ; 8 ; 12 , ?? U ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? 30 ? U ? 3 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? 30 U ? 2 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ?? ? 30 ? U ? 467 Luego, la expresión a calcular será: ? Rpta.: D PROBLEMA 12 Calcular: A) 15/32 B) 15/16 C) 15/64 D) 1 E) 12/25 Resolución: Multiplicando por la razón geométrica de los denominadores, para luego restar: ? Rpta.: A PROBLEMA 13 Calcular el valor de: A) 1 B) 1/3 C) D) 13/77 E) 1/9 Resolución: Dando una forma conocida: ? Rpta.: C PROBLEMA 14 Calcular el valor de: A) 1 B) 2 C) D) E) Resolución: Multiplicando por 7 ambos miembros, para luego restar: ? Rpta.: D PROBLEMA 15 Determinar la suma de los perímetros de los infinitos triángulos equiláteros como muestra la figura (los vértices son los puntos medios de los lados del triángulo anterior) A) 6a B) 12a C) 18a D) 9a E) 16a Resolución: La expresión a calcular será: 6a ? 3a ? ? ?? ? ? Rpta.: B PROBLEMA 16 Si : AB ? BC ? 1, Calcular : BD ? DE ? EF ? FG ? ?? ? A) B) C) D) E) Resolución: Se deduce que: Luego lo que se pide será: ? Rpta.: E PROBLEMA 17 En la base cuadrangular de una pirámide se han usado 400 bolas de billar. ¿Cuántas bolas se han usado en total? A) 8270 B) 2870 C) 2370 D) 3450 E) 2780 Resolución: Las bases serán cuadrados, como: : 1 ? 4 ? 9 ? ?? ? 400 : 12? 22?32 ? ?? ?202 ? ? 2870 ? Rpta.: B PROBLEMA 18 Rosell está apilando las canicas que tiene formando una pirámide tetraédrica. ¿Cuántas canicas tiene Rosell como má-ximo sabiendo que solamente le es posi¬ble obtener una pirámide de 20 niveles? A) 1460 B) 1540 C) 1560 D) 1650 E) 1645 Resolución: Se deduce que las bases serán triángulos, como: ? Rpta.: B PROBLEMA 19 Calcular la suma total del siguiente arreglo: 2 3 ? 3 4 ? 4 ? 4 5 ? 5 ? 5 ? 5 20 ? 20 ? 20 ? ? 20 A) 2650 B) 2460 C) 2660 D) 2760 E) 2860 Resolución: La suma equivalente será: 1(2) ? 2(3) ? 3(4) ? ? ? 19(20) ? Rpta.: C PROBLEMA 20 Calcular la suma de los 25 términos de la siguiente sucesión: 2 ; 6 ; 13 ; 23 ; 36 ; 52 ; ? A) 11700 B) 11050 C) 8250 D) 4225 E) 8150 Resolución: 2 ? 6 ? 13 ? 23 ? 36 ? ? “25 términos” ? Rpta.: E PROBLEMA 21 Calcular “x” : x ? (x ? 1) ? (x? 2) ? (x ? 3) ??? (3x) ? 1640 A) 25 B) 24 C) 23 D) 20 E) 18 Resolución: Suma : ? x ? 20 ? Rpta.: D PROBLEMA 22 Fanny debe leer un libro en un número determinado de días y se da cuenta que si lee 13 páginas cada día logrará su come¬tido, pero si lee una página el primer día; tres el segundo, cinco el tercero y así su-cesivamente, le faltarán aún 12 páginas por leer. ¿Cuántas páginas tiene dicho li¬bro? A) 144 B) 142 C) 165 D) 156 E) 124 Resolución: Sea “n” el número de días, luego: 13 ? 13 ? 13 ?? ? 13 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 12 13n ? n2 ? 12 ? n ? 12 Número de páginas ? 13n ? 13(12) ? 156 ? Rpta.: D PROBLEMA 23 Un rollo de papel cuyo diámetro es de 30 cm. consiste de 500 vueltas de papel fuerte-mente enrollado en un cilindro de 10 cm. de diámetro ¿Qué longitud tiene el papel? A) ? cm B) 10? C) 10000? D) 1000? E) 1000 Resolución: Considerando: L ? 2?R ? ?D Luego: 1ra vuelta ? ? ? ? 10? ? ?… ? 30? ? ? 1000 ? ? Rpta.: C PROBLEMA 24 1 ? 5 ? 2 ? 6 ? 3 ? 7 ? ? ? 20 ? 24 A) 9280 B) 484 C) 2142 D) 1710 E) 1000 Resolución: Expresando como sumatoria: ? Rpta.: D PROBLEMA 25 Sea “S” la siguiente serie finita: S ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 22 ? 4 ? 23 ? 5 ? 24 ? ? ? 100 ? 299 entonces S es igual a: A) 90 ? 2100 ? 1 B) 98 ? 2100 ? 1 C) 99 ? 2101 ? 1 D) 99 ? 2100 ? 1 E) 99 ? 2100 ? 1 Resolución: S ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 22 ? 4 ? 23 ? 5 ? 24 ? ? ? 100 ? 299 2S ? 2 ? 1 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? 100 ? 2100 ?S ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 299 ? 100 ? 2100 ?S ? ?S ? ?99 ? 2100 ? 1 S ? 99 ? 2100 ? 1 ? Rpta.: D PROBLEMA 26 Calcular: A) 2 B) 1 C) D) E) Resolución: Descomponiendo adecuadamente los términos: ? Rpta.: B PROBLEMA 27 Sobre un terreno hay colocadas 10 piedras distantes una de otra 8 m. Cuánto tendrá que recorrer una persona que tenga que llevarlas una a una a un camión colocado a 12 m. de la primera piedra si la persona se baja del camión. A) 960 m. B) 840 m. C) 920 m. D) 760 m. E) 1100 m. Resolución: Graficando: Si empieza desde el camión, siempre recorrerá al traer cada piedra el doble de la distancia que hay entre el camión y dicha piedra, luego: Nº de Piedra . 1º 2º 3º … 10º ? Rpta.: A PROBLEMA 28 Calcular: A) 1 B) C) D) E) Resolución: Considerando: Ahora: ? Rpta.: A PROBLEMA 29 Calcular: A) 3780 B) 2240 C) 3080 D) 4080 E) 5200 Resolución: • Primero: • Luego: • Finalmente: ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? … ? 20 ??21 ?? ?? 3080 ? Rpta.: C PROBLEMA 30 Señale el número total de puntos en que se cortan las circunferencias dispuestas como se indica, hasta la fila “n”. A) 2n(n ? 1) B) 2n(n ? 1) C) 2n(n ? 1) ? 6 D) 2(n2 ? 1) E) 2n(n ? 1) ? 1 Resolución: Se observa el total (por inducción): 1ra. fila 0 puntos. 2da. fila 6 puntos. 3ra. fila 6 ? 3 ? 4 puntos 4ta. fila 6 ? (3 ? 4) ? (4 ? 4) puntos 5ta. fila 6 ? (3 ? 4) ? (4 ? 4) ? (5 ? 4) puntos. Para la fila n: Total de puntos: 6 ? 3 ? 4 ? 4 ? 4 ? 5 ? 4 ? … ? n ? 4 ? 6 ? 4 (3 ? 4 ? 5 ? … ? n) Efectuando: Total de puntos ? 2n (n ? 1) ? 6 ? Rpta.: C PROBLEMA 31 La suma: S ? 1 ? 11 ? 111 ? …… ? 111 …… 1 (El último sumando tiene n unos) es igual a: A) B) C) D) E) Resolución: Multiplicando por 9: 9S ? 9 ? 99 ? 999 ? ...... ? 99 ... 9 9S ? (101 ? 1) ? (102 ? 1) ? (103 ? 1) .... ? (10 n ? 1) 9S ? 101 ? 102 ? 103 ? ..... ? 10 n ? n ? Rpta.: C PROBLEMA 32 En un especie marina, con “2n” miembros se observa lo siguiente: Los nacimientos son producto del azar (la especie para reprodu-cirse necesita del encuentro fortuito de un macho y una hembra) y lo curioso fue que la 1era pareja tuvo 1 cría, la 2da pareja tuvo 2 crías, la 3era pareja tuvo 3 crías, y así sucesi-vamente resultando con una población total de “40n” miembros. Si aborto una hembra muriendo todas sus crías y disminuye así la población en 1/150 ¿cuántas crías murieron; (considerar “n” parejas). A) 18 B) 20 C) 22 D) 19 E) 24 Resolución: Del enunciado: 2n ? (1 ? 2 ? 3 ? .... ? n) ? 40n Al morir un grupo de crías entonces la población disminuye en: # crías muertas ? Rpta.: B PROBLEMA 33 Calcular el número total de palitos en: A) 3625 B) 4975 C) 3685 D) 2575 E) 3825 Resolución: • Considerando el número de triángulos sombreados ya que por cada uno de estos triángulos hay 3 palitos. Luego: ? Rpta.: E PROBLEMA 34 Calcular el valor de la suma aproximada de: x ? y ? 1 A) B) C) xy D) x ? y E) x/y Resolución: Desdoblando adecuadamente cada termino: Progresiones geométricas decrecientes (suma límite). ? Rpta.: B PROBLEMA 35 Sumar: 2 ? 12 ? 3 ? 22 ? 4 ? 32 ? … ? 11 ? 102 A) 3025 B) 3415 C) 385 D) 1270 E) 495 Resolución: Abreviando mediante: ? Rpta.: B PROBLEMA 36 Hallar: R ? 1 ? 1! ? 2 ? 2! ? 3 ? 3! ? … ? 15 ? 15! A) 15! B) 15! ? 1 C) 15! ? 1 D) 16! E) 16! ? 1 Resolución: Considerando que: (n ? 1) ? n! ? (n ? 1)! ? Rpta.: E PROBLEMA 37 Se quiere cubrir totalmente un cuadrado de lado K ? Z/K ? 1 con los siguientes rec¬tán-gulos: 1 rectángulo de 1 por 1, 2 rec¬tángulos de 2 por 1, 4 rectángulos de 3 por 1, … , 2n rectángulos de (n ? 1) por 1, de tal manera que los rectángulos no se superpongan ni ex-cedan los límites del cuadrado. Hallar el me-nor valor de K para el cual esto es posible, proporcio¬nando el área de dicho cuadrado. A) 16 B) 25 C) 49 D) 64 E) 81 Resolución: Considerando que se debe cubrir, o sea las áreas: k2 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 4 ? 3 ? … ? 2n(n ? 1) … (?? Multiplicando por “2” para luego restar: 2k2 ? 2 ? 1 ? 4 ? 2 ? 8 ? 3 ? … ? 2n ? 1 (n ? 1) … (?? • (?) ? (?): ?k2 ? 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? … ? 2n ? 2n ? 1(n ? 1) ?k2 ? 2n ? 1 ? 1 ? 2n ? 1 (n ? 1) ?k2 ? 2n ? 1 ? 1 ? 2n ? 1 • n ? 2n ? 1 k2 ? n • 2n ? 1 ? 1 Dando valores hasta encontrar un cuadrado, el cual será el mínimo. n ? 1 ?? k2 ? 5 (descartado) n ? 2 ?? k2 ? 17 (descartado) n ? 3 ?? k2 ? 49 (encaja) ? Rpta.: C PROBLEMA 38 Hallar la suma total del siguiente arreglo, si la suma de los términos de la última fila es 400. 1 1 3 1 3 5 1 3 5 7 A) 870 B) 4870 C) 1870 D) 3870 E) 2870 Resolución: 1 ? 12 1 ? 3 ? 22 1 ? 3 ? 5 ? 32 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 42 1 ? 3 ? 5 ? ? 400 ? 202 Luego piden: ? Rpta.: E PROBLEMA 39 La suma de los 8 términos centrales de una progresión aritmética de 18 términos es 220, siendo 106 el producto del primero y el último. Determine usted el valor del término 16. A) 57 B) 55 C) 50 D) 47 E) 32 Resolución: Suma (8 términos centrales) ? 220 Suma (4 pares equidistantes) ? 220 Suma (par equidistante) ? 55 a1 ? U ? 55 a1 ? 2 a1 • U ? 106 U ? a18 ? 53 La razón será: U ? a1 ? (n ? 1) r 53 ? 2 ? (18 ? 1) r r ? 3 a16 ? 53 ? 3 ? 3 ? 47 ? Rpta.: D PROBLEMA 40 De la sucesión mostrada, determinar la suma de todos los números de los círculos interiores de la décima ruma. A) 3025 B) 3476 C) 900 D) 2296 E) 1729 Resolución: Piden: (1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ……) ? 552 ? 3025 términos. ? Rpta.: A PROBLEMA 41 Hallar: A) B) C) D) E) Resolución: Factorizando en todos los términos: ? Rpta.: D PROBLEMA 42 A) B) C) D) E) Resolución: Piden: ? Rpta.: B PROBLEMA 43 Calcular: A) 23 B) 21 C) 22 D) 20 E) 19 Resolución: Suma límite ? Rpta.: A PROBLEMA 44 El primer término de una progresión por diferencia es n; el número de términos n, y la razón n, calcular el último y la suma. A) B) C) D) E) Resolución: U ? n ? (n ? 1)n ? n2 ? Rpta.: A PROBLEMA 45 Si : S1 • S2 • S3 …… Sp ; son las sumas de “n” términos de la progresión aritmética cuyos primeros términos son 1, 2, 3, 4, … y cuyas razones son 1, 3, 5, 7, … Hallar el valor en la suma. S1 ? S2 ? S3 ? …… ? Sp A) n(np ? 1) B) np(np ? 1)/2 C) np(np ? 1) D) n(np ? 1)/2 E) np(np ? 1)/4 Resolución: ap ? P (pe-ésimo de los primeros) rp ? 2P ? 1 (pe-ésimo de las razones) Un ? P ? (n ? 1)(2P ? 1) Un ? (2P ? 1) n ? 1 ? Rpta.: B PROBLEMA 46 Hallar : Si : A) B) C) D) E) Resolución: S1 ? 12 S2 ? 12 ? 22 S3 ? 12 ? 22 ? 32 Sn ? 12 ? 22 ? 32 ? ? n2 ? Rpta.: C PROBLEMA 47 Dada la ecuación: Calcular el valor de “x”, sabiendo que: “a” es la media geométrica entre b y . A) B) C) 3 D) E) Resolución: Por comparación: ? Rpta.: B PROBLEMA 48 Determinar la suma de la serie: A) 1/4 B) 1/2 C) 1 D) 3/2 E) 2 Resolución: Factorizando: ? Rpta.: C PROBLEMA 49 Si la suma de los “n” primeros términos de una progresión aritmética es: S(n) ? 4n2 ? 9n; para todos los valores de “n” se pide: A. Hallar el primer término general de la progresión (de lugar n). B. Hallar el vigésimo término. A) (8n ? 3) y 157 B) (6n ? 5) y 125 C) (8n ? 5) y 165 D) (4n ? 5) y 85 E) (8n ? 4) y 164 Resolución: Primer término ? S(1) ? 4(1)2 ? 9(1) a1 ? 13 Además que: ? Rpta.: C PROBLEMA 50 Hallar la suma de los 20 primeros términos comunes de las sucesiones: 7 , 11 , 15 , 19 . … y 16 , 23 , 30 , …… A) 5680 B) 5780 C) 6080 D) 5860 E) 6340 Resolución: Hallando los términos enésimos: Luego el enésimo de los comunes será: Piden: ? Rpta.: E PROBLEMA 51 Hallar el valor de: S ? 1 ? 1! ? 2 ? 2! ? 3 ? 3! ? … ? 10 ? 10! A) 11! ? 1 B) 10! ? 1 C) 9 ? 10! D) 11! E) 12! Resolución: Dando una forma adecuada: S ? (2 ? 1) ? 1! ? (3 ? 1) ? 2! ? … ? (11 ? 1) ? 10! S ? 2! ? 1! ? 3! ? 2! ? 4! ? 3! ? … ? 11! ? 10! S ? 11! ? 1! ? Rpta.: A PROBLEMA 52 Calcular: A) 2620 B) 2280 C) 3240 D) 3460 E) 2880 Resolución: Separando adecuadamente: ? Rpta.: E PROBLEMA 53 Calcular: A) B) 1 C) D) E) 2 Resolución: Asociando adecuadamente: Por suma límite: ? Rpta.: A PROBLEMA 54 Halle la suma: A) B) C) D) E) 1 Resolución: Observación: P.G de razón Luego: ? Rpta.: A PROBLEMA 55 Sean: S ? 5,4 ??0,027 ? 0,00027 ? 0,0000027 ? … W ? 1 ? 0,3 ? 0,09 ? 0,027 ? 0,0081 ? … Entonces el valor de S ? W es aproximada-mente. A) 2,5 B) 3 C) 2 D) 3,5 E) 4 Resolución: Analizando suma límite: I) II) ; Ahora: ? Rpta.: E PROBLEMA 56 Si: Hallar la suma de las cifras de M. A) 10 B) 5 C) 12 D) 15 E) 18 Resolución: Aplicando métodos prácticos: Piden: 5 ? 5 ? 5 ? 0 ? 15 ? Rpta.: D PROBLEMA 57 Hallar: A) B) C) D) E) Resolución: Suma en progresión geométrica de razón : ? Rpta.: A PROBLEMA 58 Si : Hallar: M ? N. A) 20/9 B) 18/20 D) 9/20 D) 19/20 E) 18/19 Resolución: (Ver sumatorias) Luego: ? Rpta.: C PROBLEMA 59 La suma de una serie geométrica infinita de razón “r” donde ?1 ? r ? 1, con primer término igual a 1 es . Entonces la suma de la serie de sus cubos es: A) B) C) D) E) Resolución: Sea S(r) la suma de la serie indicada. Luego: Nos piden: ? Rpta.: D PROBLEMA 60 Dado el siguiente arreglo: 1 2 2 4 9 4 6 9 9 6 8 9 9 9 8 Calcular la suma total si tiene 10 filas. A) 745 B) 565 C) 369 D) 460 E) 505 Resolución: Piden: ? Rpta.: E PROBLEMA 61 Sobre un terreno se juntan esferas iguales formando un cuadrado; luego sobre esta base se forma otro cuadrado con una es¬fera menos en cada lado y así sucesiva¬mente en capas se va formando una pi¬rámide de base cuadrada, si en total se usa 1240 esferas, ¿Cuántas esferas tiene la base? A) 122 B) 132 C) 142 D) 152 E) 162 Resolución: Se planteará: • Luego en la base habrá 152 bolas. ? Rpta.: D PROBLEMA 62 Determinar la suma de: A) B) C) D) E) Resolución: # de términos Piden: ? Rpta.: E PROBLEMA 63 Calcular el valor de: A) 3506 B) 3560 C) 3605 D) 3056 E) 3065 Resolución: Aplicando propiedades tendremos que: ? Rpta.: E PROBLEMA 64 Calcular la suma de: S ? 4 ? 7 ? 12 ? 19 ? …… A) 1085 B) 1215 C) 1310 D) 1285 E) 1240 Resolución: ? Rpta.: D PROBLEMA 65 El valor de la suma total: es: A) 0 B) 2 C) 4 D) 8 E) 16 Resolución: La sumatoria: Es equivalente a: Pues : i) ii) ? Rpta.: A PROBLEMA 66 La masa de un péndulo recorre 16 cm. durante la primera oscilación. En cada una de las oscilaciones siguientes la masa recorre 3/4 de la distancia recorrida en la oscilación anterior. Calcular es espacio total recorrido por la masa hasta el momento de detenerse. A) 64 B) 32 C) 60 D) 36 E) 48 Resolución: Piden: ? Rpta.: A PROBLEMA 67 Calcular la fracción equivalente de: 2[10?1 ? 10?4 ? 10?7 ? …] ? 7[10?2 ? 10?5 ? 10?8 ? …] A) B) C) D) E) Resolución: 2[10?1 ? 10?4 ? 10?7 ? …] ? 7[10?2 ? 10?5 ? 10?8 ? …] 2 • 10?1[1 ? 10?3 ? 10?6 …] ? 7 • 10?2[1 ? 10?3 ? 10?6 ? …] Observación: ? Rpta.: D PROBLEMA 68 Calcular: A) B) C) D) E) Resolución: Aplicando el método práctico, donde: r ? 1 ; q ? 7, resultará: ? Rpta.: E PROBLEMA 69 Se tiene un triángulo rectángulo ABC (recto en B). Por B se traza una perpendicular a , por D se traza una perpendicular a BC, por E se traza una perpendicular a y así sucesivamente. Calcular el límite de la suma. BD ? DE ? EF ? FG ? …… A) B) C) D) E) Resolución: En ABC : En BDC : En DEC : En EFC : o sea : ? Rpta.: D PROBLEMA 70 Si: Calcule usted el valor de: M ? P(1) ? P(0) A) 0,1 B) 0,3 C) 0,5 D) 0,8 E) 0,9 Resolución: Reemplazando tenemos. ? Rpta.: E PROBLEMA 71 Hallar el valor de “F”. F ? 12 ? 22 ? 32 ? 42 ? …… ? 202 A) ?200 B) ?190 C) ?220 D) ?180 E) ?210 Resolución: F ? (12 ? 22) ? (32 ? 42) ? … ? (192 ? 202) F ? ?3 ? 7 ? 11 ? …… ? 39 ? Rpta.: E PROBLEMA 72 Si: (x ? 1) ? (x ? 2) ? (x ? 3) ? … ? (x ? 40) ? 1140 Calcular: A) 4340 B) 3420 C) 3240 D) 3816 E) 3916 Resolución: Separando adecuadamente: (x ? x ? x ? … ? x) ? 1 ? 2 ? 3 ? 40 ? 1140 Piden: ? Rpta.: E PROBLEMA 73 Calcular el valor de: A) 5520 B) 9618 C) 2880 D) 4613 E) 3585 Resolución: Según propiedad de las sumatorias: ? Rpta.: E PROBLEMA 74 En una P.A. la suma de los “n” primeros términos está dada por: Hallar el “ t400 ” A) 904 B) 1080 C) 1200 D) 1205 E) 1082 Resolución: Razonando se deduce que: ? Rpta.: D PROBLEMA 75 ¿Cuál es la fórmula de la sumatoria? A) B) C) D) E) Resolución: Como: Piden: ¡Conclusión! ? Rpta.: D PROBLEMA 76 Una pelota de hule cae desde una altura determinada y cada vez que rebota al¬canza una altura equivalente a 4/5 de la altura alcanzada en el rebote inmediato anterior. ¿Cuál ha sido la altura desde la cual se dejó caer la pelota de hule, si cuando se detuvo había recorrido 180cm? A) 20 cm B) 30 cm C) 50 cm D) 60 cm E) 80 cm Resolución: • Se detiene después de infinitos rebotes (H : 0 ?? cero) entonces el recorrido total es: Operando: 9H ? 180 H ? 20 ? Rpta.: A PROBLEMA 77 La masa de un péndulo recorre 27 cm en la oscilación inicial. en cada una de las oscilaciones siguientes la masa recorre 2/3 de la oscilación anterior. ¿Cuál será la distancia que habrá recorrido dicha masa hasta el momento de detenerse? A) 35 cm B) 54 cm C) 72 cm D) 81 cm E) 108 cm Resolución: • El recorrido total será: • Es una serie geométrica decreciente infinita de razón (suma límite), luego: ? Rpta.: D 01 Calcular: S ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? 100 A) 5150 B) 5050 C) 5005 D) 5500 E) 5550 02 Calcular: S ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? 39 A) 380 B) 390 C) 400 D) 410 E) 420 03 Calcular: S ? 2 ? 4 ? 6 ? 8 ? ? ? 60 A) 1860 B) 840 C) 660 D) 390 E) 930 04 Calcular: S ? 12 ? 22 ? 32 ? ? ? 202 A) 44100 B) 43100 C) 42100 D) 88200 E) 2870 05 Hallar: S ? 13 ? 23 ? 33 ? ? ? 293 A) 178 225 B) 188 225 C) 189 225 D) 187 225 E) 190 225 06 Calcular: S ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? 19 ? 20 A) 2662 B) 2664 C) 2666 D) 2660 E) 2562 07 Calcular: A) 3/4 B) 4/3 C) 5/4 D) 4/5 E) 6/5 08 Hallar: A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4 D) 1/5 E) 2/3 09 Calcular: S ? 10 ? 20 ? 30 ? 40 ? ? ? 700 A) 24 850 B) 5 840 C) 25 840 D) 24 840 E) 26 850 10 Calcular (x ? y ? z) , donde: St : suma de los “t” primeros términos 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? x ? ? ? y ? ? ? z Sn ? 400 Sm ? 625 Sp ? 900 A) 174 B) 147 C) 137 D) 148 E) 138 11 Hallar “n” , si 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? n ? 2500 A) 100 B) 90 C) 80 D) 88 E) 99 12 Hallar “m” , si 1 ? 4 ? 9 ? 16 ? ? ? n ? 4900 A) 24 B) 676 C) 576 D) 729 E) 529 13 Calcular: S ? 3 ? 8 ? 13 ? 18 ? ? ? 503 A) 25 553 B) 26 553 C) 25 536 D) 25 653 E) 26 663 14 Si: Sx ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? x calcular: S1 ? S2 ? S3 ? ? ? S20 A) 3 220 B) 3 320 C) 1 660 D) 1 990 E) 1 610 15 Hallar “x” , si: x ? ? ? 75 ? 77 ? 79 ?1200 A) 29 B) 39 C) 40 D) 41 E) 28 ¿Cuál es la suma de los números en el enésimo diamante? Dos hermanas : Karen y Melina, compran cada una el mismo álbum de figuritas. Karen pega en el suyo 1 figurita el primer día, 2 en el segundo día, 3 en el tercero y así sucesivamente y Melina pega 10 figuritas cada día. Si ambas compraron su álbum el mismo día y Melina lo llena el día 16. ¿Cuántas figuritas le faltarán a Karen ese día para completar el suyo? a) 18 b) 24 c) 20 d) 36 e) 56 Un profesor se dio cuenta que a medida que transcurría el ciclo, él gastaba mayor número de tizas por semana. Así la primera semana gastó 11 tizas, la segunda 13 tizas, la tercera 15 tizas y así sucesivamente. Si el ciclo duró 38 semanas; y cada caja de tizas traía 15 tizas. ¿Cuántas cajas abrió el profesor durante el ciclo para completar su dictado? a) 121 b) 120 c) 122 d) 119 e) 123 Dos hermanas : Patty y Paola iniciaron ante la proximidad del verano un régimen de dieta. Patty lo lleva a cabo comiendo 13 duraznos cada día, mientras que Paola la lleva a cabo comiendo 1 durazno el primer día, 2 en el segundo, 3 en el tercero y así sucesivamente, la dieta terminó cuando ambas habían comido la misma cantidad de duraznos. Si la dieta se inició el 15 de noviembre. ¿Qué día terminó? A) 10 de diciembre. B)11 de diciembre. C)8 de diciembre. D)9 de diciembre. E)12 de diciembre.

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