TEORÍA DE PROBABILIDADES EJERCICIOS RESUELTOS

El cálculo de probabilidades es una tarea que sirve de modelo para la descripción y análisis de fenómenos estadísticos. 

La teoría de probabilidades es de trascendental importancia en las matemáticas, pues tiene una aplicación directa en muchos problemas de ingeniería, administración, economía, etc, donde es necesario tomar decisiones sobre la incertidumbre o lo relativo en base a datos estadístico

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PREGUNTA 1 : 

En el curso de Álgebra Lineal se evaluó un examen parcial y un examen final, del total de estudiantes el 80% aprobó al menos uno de los dos exámenes, el 60% aprobó el examen parcial y el 50% aprobó el examen final. Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado ambos exámenes? 

A) 0,15 

B) 0,20 

C) 0,30 

D) 0,25 

E) 0,35 

Rpta. : "C"

PREGUNTA 2 : 

De 120 turistas que participan en un tour por Cusco, 48 de ellos hablan inglés, 36 hablan francés, y 48 no hablan los idiomas mencionados. Si se selecciona un turista al azar, ¿cuál es la probabilidad de que hable Inglés pero no Francés? 

A) 2/5 

B) 1/10 

C) 3/5 

D) 3/10 

E) 4/5 

Rpta. : "D"

PREGUNTA 3 : 

Sean los sucesos A y B en el mismo espacio muestral Ω tales que P(A) = 0,4; P(B) = 0,5 y P(A∪B) = 0,7 ; halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones en el orden en que aparecen: 

i) A y B son dos sucesos mutuamente excluyentes. 

ii) A y B son dos sucesos independientes 

iii) P(A∩B ') = 0,2 

A) FFV 

B) FVF 

C) FVV 

D) VFF 

E) VVF 

Rpta. : "C"

PREGUNTA 4 : 

El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y el 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que de los no ingenieros y de los no economistas solamente un 20% ocupa un puesto directivo. Se selecciona un empleado al azar y este ocupa un puesto directivo, ¿cuál es la probabilidad de que sea un ingeniero? 

A) 37/100 

B) 3/20 

C) 15/37 

D) 3/5 

E) 1/4 

Rpta. : "C"

PREGUNTA 5 : 

En una tienda por departamento trabajan 3 mujeres por cada 2 varones. El 20% de las mujeres y el 26% de los varones necesitan teléfono celular. Si se elige un trabajador al azar, halle la probabilidad de que sea mujer o necesite teléfono celular. 

A) 103/125 

B) 88/125 

C) 6/25 

D) 13/50 

E) 353/500 

Rpta. : "B"

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Ejm: ¿Cuál es la probabilidad de que un producto nuevo sea aceptado en el mercado? EXPERIMENTO ALEATORIO (ε) Se denomina experimento aleatorio a toda prueba o ensayo cuyos resultados no son predecibles sin haberse realizado previamente la prueba. EJEMPLOS ε1 : Se lanza una moneda dos veces y se observa los resultados posibles ε2 : Se lanza un dado y se observa el número que resulta ESPACIO MUESTRAL (). Es el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio. Para los ejemplos antes mencionados: 1 = (c,c); (c,s); (s,c); (s,s) 2 = (1;2;3;4;5;6) EVENTOS O SUCESOS: Un evento o suceso son subconjuntos de un espacio muestral. Se denota generalmente por letras mayúsculas del alfabeto (A; B; ....). Del ejemplo 1 antes mencionado, sea el evento A = en los 2 lanzamientos sale un cara, por lo menos A = (c,c); (c,s); (s,c) OPERACIONES ENTRE SUCESOS: Se han indicado anteriormente que los sucesos son conjuntos y como tales cumplen todas las operaciones de los mismos. Operación Se lee: A  B: Ocurre A, ocurre B o ambas Ocurre al menos uno de ellos. A  B: Ocurre A y ocurre B; Ocurre ambas a la vez A – B: Ocurre solamente A; Ocurre A pero no B AC : No ocurre el suceso A. CLASES DE SUCESOS PROBABILISTICOS * SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES: Dados los sucesos A y B se dice que ellos son mutuamente excluyentes si y sólo si A B =  ; esto quiere decir que no ocurren juntos (simultáneamente). Ejemplo: En una aula de Pre UNI , se tiene los siguientes sucesos: A: Un grupo de alumnos tienen de 15 a 17 años B: Un grupo de alumnos tienen más de 17 años pero no más de 19 años C: Un grupo de alumnos son mayores de 19 años.  Si se elige a un alumno, este pertenecerá a alguno de los tres grupos. * SUCESOS COMPATIBLES Aquellos que pueden presentarse simultáneamente. Ejemplo: Lanzar dos dados y que aparezcan un dos o un cinco. * SUCESOS INDEPENDIENTES: Dados los sucesos A y B se dice que ellos son independientes si la ocurrencia de A no afecta el hecho de que ocurra simultánea o sucesivamente B; es decir, que la ocurrencia de uno de ellos no depende de la ocurrencia del otro. Ejemplo: Se lanza un dado 2 veces D: Sale 3 en el primer lanzamiento E: Sale 3 en el segundo lanzamiento. * SUCESOS DEPENDIENTES Cuando la ocurrencia de uno de ellos depende de la ocurrencia del otro. Ejemplo: Se tiene dos urnas A y B, la urna A contiene 3 bolas rojas y 4 bolas negras, en tanto que la urna B tiene 4 bolas rojas y 7 bolas negras. Si se saca de la urna A una bola y se deposita en la urna B; al sacar una bola de la urna B, el resultado dependerá de la bola que se sacó de la urna A. * DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD. (Definición Clásica). Si A es un suceso de un espacio muestral , entonces la probabilidad de ocurrencia de A se denota P (A) y está dado por la relación: Ejm 1: Determinar la probabilidad de que al lanzar un dado, el resultado sea un número primo. Solución  = 1,2,3,4,5,6 A = 2,3,5  P(A) = 3/6 = 1/2 En forma general para “n” dados se cumple que Nº casos totales = 6n  Cuando se lanzan dos dados simultáneamente, aumenta la diversidad de eventos que puedan ocurrir, esto es: 6² = 36 casos en total Los eventos más frecuentes, son aquellos que involucran a la SUMA de los números que aparecen en sus caras superiores. CUADRO de las SUMAS que se OBTIENEN al LANZAR DOS DADOS: SUMAS MENOS PROBABLES son el 2 y el 12  EXTRACCIÓN MÚLTIPLE Cuando se extraen DOS o más objetos, se puede hallar la Probabilidad por dos métodos. a) MÉTODO DE LA FRACCIÓN Hacer el PRODUCTO de tantas fracciones como EXTRACCIONES se hayan realizado. Nº de Fracciones = Nº de Extracciones Ejm. 7: De un mazo de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer tres al azar, éstas sean una figura (J, Q, K)? Solución: En un mazo de 52 cartas existen 4 cartas “J”, 4 cartas “Q” y 4 cartas “K”, entonces tendremos 12 cartas favorables que se van a extraer de una en una. La probabilidad de la primera será: La probabilidad de la segunda será: , ya que hay una figura menos. La probabilidad de la tercera será La probabilidad respuesta será el producto: b) MÉTODO DE LAS COMBINACIONES