APRENDE LA DIVISION DE POLINOMIOS HORNER RUFFINI PASO A PASO DESDE CERO CON EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

De los ejemplos resueltos anteriormente se deduce que: * El grado del cociente es igual a la diferencia de los grados del dividendo y del divisor * El término independiente del dividendo estará determinado por el producto de los términos independientes del divisor y el cociente más el término independiente del residuo. * Grado máximo del residuo es igual al grado del divisor menos uno. Ejercicio 1 Dividir: entre y dar como respuesta la suma del cociente y el residuo. A) 8x - 8 B) 10x + 3 C) 2x + 3 D) 10x - 5 E) 10x - 8 Ejercicio 2 Hallar el residuo de dividir P/Q, siendo: . A) x - 2 B) C) D) E) 2 - x Ejercicio 3 Señala el cociente de la división: A) B) C) D) E) Ejercicio 4 ¿Por cuánto hay que multiplicar: para obtener A) 5x - 1 B) 5x + 1 C) 5x - 2 D) 5x + 2 E) 5x - 3 Ejercicio 5 ¿Cuánto vale "k" si la división: es exacta? A) 1 B) 2 C) -2 D) 3 E) -1 Ejercicio 6 Calcular: "m" y "n" en: , sabiendo que es divisible por: ; señalar: . A) 1 B) 2 C) -3 D) 4 E) -5 Ejercicio 7 Efectuar la división: , señala el cociente. A) 3y - 2x B) 3x - 2y C) 3x + 2y D) 3y + 2x E) 2x - 3y Ejercicio 8 Efectuar la división: , señalando el cociente: A) B) C) D) E) Ejercicio 9 Proporcionar el menor coeficiente del cociente obtenido al dividir: . A) 1 B) -4 C) -16 D) -8 E) 2 Ejercicio 10 Calcular (a + b) en: , sabiendo que es divisible por . A) -7 B) -9 C) -11 D) -8 E) -10 Ejercicio 11 Hallar el residuo de dividir: entre . A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 0 Ejercicio 12 ¿Para qué valor de "n" el polinomio: será divisible por ? A) 10 B) 14 C) 15 D) 9 E) 13
Álgebra EJERCICIOS DE CLASE 1. Si r(x) es el resto de repartir 15 2 5 3 p(x)  3x (x  2x  2)  6(x  2)  6x 8 pelotas entre 2 d(x)  x  x niñas. ¿Cuántas pelotas sobran si se tiene 380 niñas? A) 360 B) 376 C) 300 D) 370 E) 375 Solución: 15 2 5 3 r(x) 3x  (x  2x  2)  6(x  2)  6x  8  x(x 1)q(x)  ax  b Si x 1  a b   4 Si x  0  b   24  a  20  r(x)  20x  24 Si se reparte entre 380 niñas 380 x(x 1) x 20 r(20) 400 24 376.        Rpta. : B 2. Halle la suma de coeficientes del cociente que resulta de dividir el polinomio 80 79 p(x) 4x 2x x b     por d(x) x1 . A) 161 B) 162 C) 163 D) 164 E) 165 Solución: 4 2 0 0 0 0 1 b 1 4 2 2 2 2 2 3 4 2 2 2 2 2 3 b 3 ... ... ...    Suma de coeficientes del cociente  4  2(78)  3 163. Rpta. : C 3. José tiene 43 2x x  lapiceros, María tiene 3 2 2x 10x lapiceros y Pedro 2 2x 4x 1 lapiceros. Si los reunen y reparten entre 2x (x 1)  estudiantes, cada uno recibe 2 ax bx c. Halle el valor de 2 (a b c)  A) – 3 B) – 2 C) 2 D) 4 E) 3 Solución: Sumando las cantidades se obtiene 4 3 2 2x  3x 8x  4x 1 1 2 3 8 4 1 1 2 2 1 5 5 1 1 2 5 1 0 0      2 q(x)  2x  5x 1  a  2, b  5,c   1. 2  (ab c)  4. Rpta. : D 4. Sea r(x) mx n el resto que se obtiene al dividir 5 6 p(x)  (x 13) (x 3) 10 por (x a)(x b) . Si la división de 4 3 t(x)  bx  ax  6x  4 entre 2 3x  x  2 es exacta, halle el valor de “m”. A) 1100 B) 1100 C) 110000 D) 11 E) 100 Solución: Usando Horner invertido 2 4 6 0 a b 1 2 6 3 4 12 a 13 b 3 1 3 2 4 1 0 0           Por teorema del resto en 5 6 (x 13) (x 3) 10 (x 13)(x 3)       6 5 r(x) mx n r(13) 13m n 10 10 r(3) 3m n 10 10             m 110000.  Rpta. : C 5. Se ha reunido 2015 2017 ax bx  cx2019  dx2021  7 soles y se compró libros cuyo precio unitario es de x 2017  soles, quedando 10 soles de vuelto. ¿Cuánto dinero quedará si con la misma suma de dinero se compra libros cuyo precio unitario es x 2017  soles? A) 2 soles B) 4 soles C) 6 soles D) 7 soles E) 12 soles Solución: Vuelto  Resto de la división 2015 2017 2019 2021 10  p(2017)  a(2017)  b(2017)  c(2017)  d(2017)  7 2015 2017 2019 2021 r  p(2017)  a(2017) b(2017)  c(2017)  d(2017)  7 Sumando 10 r 14 r  4. Rpta. : B 6. Un polinomio p(x) de sexto grado y de coeficientes positivos es divisible por 2 s(x)  x  7 . Si p(1)  576 , p(0)  196 y p(x) es exacta, halle el resto de dividir p(x) por x 5 .  A) 16900 B) 2025 C) 3634 D) 9216 E) 14400 Solución: 2 2 2 2 2 p(x) (x 7) q(x) p(x) (x 7) (ax b)      2 p(1) 576 a b 3 a b 3 p(0) 196 49b 196 b 2 b 2 con b 0 b 2 a 1                      2 2 2 2 2 p(x) (x 7) (x 2) r(x) p( 5) p(x) (25 7) ( 5 2) 1024(9) 9216.             Rpta. : D 7. Si r(x) es el resto que se obtiene al dividir el polinomio 2 2 2 p(x)  (x 9x 18)(2x  6x) (x  2) 3x 9 por 2 d(x)  x  6x  3 , halle el valor de r( 10)  . A) 10 B) – 16 C) 36 D) – 26 E) – 23 Solución: i) 2 p(x)  2(x  6)(x 3)x(x3)  x  4x  4 3x 9 2 2 2 p(x)  2(x  6x)(x  6x  9) (x  6x) x 13 ii) 2 d(x)  x  6x  3 , por el teorema del resto 2 2  x  6x  3  0  x  6x  3 iii) r(x) 2( 3)( 3 9) 3 x 13 r(x) 36 10 x r(x) x 26               r(10)  (10)  26  16. Rpta. : B 8. Se ha cosechado 15 11xx manzanas que se reparten entre 2x x 1 niños. Si sobran 8 manzanas, ¿cuántos niños hay? A) 91 B) 90 C) 85 D) 92 E) 94 Solución: Aplicamos el teorema del resto en   15 11 3 x x x 1 x 1        Haciendo 3 x1 2 3 (x 1)r(x)  (1 x )(x 1)  x  x  2  (x  2)(x 1)  r(x)  x  2 . Si x  2  8  x 10 2 # Niños : 10 10 1100 10 1 91. Rpta. : A EVALUACIÓN DE CLASE 1. Si r(x) ax b es el resto de dividir p(x)  (x 1)6  a(x  2)4 por   2x1 y q(x) es el cociente de la misma división tal que q(1) 2 y q( 1) 0    , halle el valor de a6b.  A) – 10 B) 10 C) 20 D) – 20 E) 15 Solución: 6 4 2 (x 1)  a(x  2)  (x 1)q(x)  axb Si x 1 : b 2a    Si x 1 : 64  81a  4  a b 60 81a a 2a 10 20 a b 13 13          a  6b  10. Rpta. : A 2. Si el polinomio 4 3 2 p(x) mx nx 16x 7x  20 es divisible por 2 d(x)  2x 3x  4, halle el residuo de dividir 100 17 t(x)  (mn)x (mn)x mn por 2 s(x) x x 1    . A) 12x9 B) 17x 19  C) 12x 19   D) 13x 19  E) 0 Solución: Usando Horner invertido 4 20 7 16 n m 3 15 10 2 6 4 n 5 , m 6 9 6 5 2 3 0 0          100 17 2 t(x)  x 11x 30 , s(x)  x  x 1 100 17 2  x 11x 30  (x  x 1)q(x) r(x) Por (x 1) : 3 33 2 3 6 3 33 3 5 2 3 (x ) x 11(x ) 30x (x ) 11(x ) x 30  (x 1)q(x) (x 1)r(x) Si 3 x   1 : r(x)  12x 19. Rpta. : C 3. Si 2x  9 es el resto que resulta al dividir el polinomio 3 2 p(x)  2ax bx ax  3 por 2 d(x)  2x 7x  3 , halle p(2). A) – 25 B) – 38 C) – 32 D) – 21 E) – 29 Solución: Aplicando el método de Horner, ordenando 1p ( x) y d(x) en forma decreciente donde p1(x)  p(x) r(x) 1 3 2 3 2  p (x)  2ax bx ax 3  2x  9  2ax bx (a  2)x  6 es divisible por d(x) 0 0 3 6 a 2 b 2a 7 14 4 84 7a 2a 24 2 3 3 a 3 ,b 17 12 a 84 7a 2a 24 2 4 b 2a 3 3 3                 3 2 p(x) 6x 17x 3x 3 p(2) 48 68 6 3 p(2) 29.            Rpta. : E 4. El polinomio mónico p(x) de grado (n 2)  es divisible por n 1 (x 5)   . Si el resto de dividir p(x) separadamente por (x 1)  y (x 3)  son respectivamente 30 y 1736, halle el valor de Gradp(x)  p(0) . A) 26 B) 18 C) 30 D) 24 E) 8 Solución: n 1 p(x) (x a)(x 5)     p(1)  30  (1 a)(1 5)  30  1 a  5  a  4 n 1 p(x) (x 4)(x 5)     n 1 n 1 n 1 5 p(3) (3 4)(3 5) 1736 3 5 248 3 243 3               n 1 5  n  4 5 p(x)  (x  4)(x  5) Gradp(x) p(0)  6  20  26 . Rpta. :A 5. Determine la suma de coeficientes del resto que se obtiene al dividir 2 3 3 2 6 p(x)  (x  a)  (x  a)  6xa  1 x  x   por 2 q(x)  (x  x 1)(x1) . A) 5 B) 3 C) 4 D) 6 E) 7 Solución: 3 2 (x  3x a 2 3  3xa  a 3 2  x  3x a 3  a 2 2 6 3 6xa 1 x x x 1          2 3 2 2 3 2 3 2x 6xa 6xa 1 (x ) x x 1           Por el teorema del resto: 3 x  1 2 Resto r(x) 2(1) 1 1 x 4 x r(1) 5 .            Rpta. : A 6. Un móvil recorre 4 3 2 mx nx 14x  81x  36 Km en exactamente 2 2x  7x  3 horas. ¿Cuál es su velocidad para x 10 Km  ? A) 71 Km/h B) 98 Km/h C) 47 Km/h D) 11 Km/h E) 59 Km/h Solución: Al dividir por Horner invertido: m 2 y n  9 y el cociente 2  V(x)  x  x 12 Si x 10  V(10)  98 Km/ h. Rpta. : B 7. Sea q(x) el cociente de dividir el polinomio 10 6 2 p(x)  x 5x  4x 3 por 1 2 d (x)  x  2. Halle el resto de dividir q(x) por 2 2 2 d (x)  (x  x 1)(x  x 1) . A) 1 B) – 4 C) 0 D) – 1 E) 3 Solución: Cambio de variable: 2 xa 5 3 p(a) a 5a 4a 3 d(a) a 2           Por Ruffini: 1 0 5 0 4 3 2 2 4 2 4 0 1 2 1 2 0 3         4 3 2 3 2 2 2 q(a) a 2a a 2a q(a) a (a 2) a(a 2) q(a) (a 2)a(a 1) q(a) (a 2)a(a 1)(a 1) q(a) (a 2)(a 1) a(a 1) q(a) (a a 2)(a a)                            2 2 2 2 4 2 * d (x) (x x 1)(x x 1) d (x) x x 1          2 2  d (a)  a  a 1 2 2 * Por teorema del resto  a  a 1 0  a  a  1  r(a)  (1 2)(1)  3 r(a) r(x) 3.    Rpta. :E 8. Si r(x) es el resto de dividir 27 19 3 2 p(x)  x  3x  5x  2x 8 por 2 d(x) x x 1    , determine el valor de r(r(1)). A) – 12 B) 17 C) 25 D) – 16 E) 21 Solución:

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