FORMULARIO DE TRIGONOMETRIA DESCARGA GRATIS EN TEXTO PDF
Trigonometría -Ángulo Trigonométrico Sistemas de Medición Angular 1. Sistema Sexagesimal o Inglés (S) Medida del ángulo de 1 vuelta = 360º Equivalencias: 1° = 60 1 = 60 1° = 3600 2. Sistema Centesimal o Francés (C) Medida del ángulo de 1 vuelta = 400g Equivalencias: 1 g = 100 m 1 m = 100 s 1 g = 10000 s 3. Sistema Radial o Circular (R) Medida del ángulo de 1 vuelta = 2 rad Origen del rayo (vértice) lado final lado final lado inicial sentido antihorario sentido horario B A C O M < es negativa m < es positiva Relación entre Sistemas 1 vuelta = 360° = 400 g = 2 rad Equivalencias fundamentales: rad = 180° rad = 200 g 9° = 10 g Fórmula de conversión: Notación: S es el número de grados sexagesimales C es el número de grados centesimales R es el número de radianes equivalentemente: S = t C = t R = 20 t k R 200 C 180 S t / 20 R 10 C 9 S S = 180 k C = 200 k R = k UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA CENTRO PREUNIVERSITARIO Trigonometría SEMANA Nº 2 SECTOR Y TRAPECIO CIRCULAR Sector circular: 0 < < 2 Longitud de arco y Área del sector circular L: Longitud de arco S: Área del sector circular Trapecio circular: Área del trapecio circular Número de vueltas Donde: L = r S = nv = O A B S L r r rad O A B S L C D rad l h O r r rad sector circular arco de circunferencia nv : número de vueltas que da la rueda al desplazarse, desde A hacia B. lc : longitud recorrida por el centro de la rueda. r : radio de la rueda. UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA CENTRO PREUNIVERSITARIO Trigonometría SEMANA Nº 3 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Sea el triángulo rectángulo ACB, definimos: PROPIEDADES: i) a² + b² = c² ii) 0 < sen < 1 ; 0 < cos < 1 iii) sen csc = 1 ; cos sec = 1 ; tg ctg = 1 c a sen ; c b cos ; b a tg ; a b ctg ; b c sec ; a c csc UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA CENTRO PREUNIVERSITARIO Trigonometría SEMANA Nº 4 1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS + = 90° RT() = CO RT() 2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES. 2.1. Razones trigonométricas del ángulo de 45° sen 45° = 2 2 = cos 45° ; tg 45° = 1 = ctg 45° sec 45° = 2 = csc 45° 2.2. Razones trigonométricas de los ángulos de 30° y 60° sen 30° = 2 1 = cos 60° ; cos 30° = 2 3 = sen 60° tg 30° = 3 3 = ctg 60° 2.3. Razones trigonométricas de los ángulos de 75° y 15° sen 15° = cos 75 4 6 2 cos 15° = sen 75 4 6 2 3. ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR 3.1. Área en función de dos lados y el ángulo comprendido La altura del triángulo ABC senC = b h , entonces h = bsenC luego, S = 2 1 absenC es el área de la región triangular ABC. 3.2. Área en función de los lados S = p(p a)(p b)(p c) , donde p = 2 a b c 75° 15° ( - )k 4k 6 2 ( 6 + 2 )k UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA CENTRO PREUNIVERSITARIO Trigonometría SEMANA Nº 5 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL 1.1. ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL Es el ángulo que tiene su vértice en el origen de un sistema coordenado rectangular, su lado inicial en el semieje positivo OX. 1.2. ÁNGULOS COTERMINALES Son ángulos en posición normal cuyos lados finales coinciden. Sean y dos ángulos coterminales, entonces = 360° n = 2 n rad , n Z RT () = RT () donde RT: Razón trigonométrica 1.3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA x = abscisa y = ordenada r = 2 2 x y ; r > 0 sen = radio vector ordenada = r y ctg = ordenada abcisa = y x cos = radio vector abcisa = r x sec = abcisa radio vector = x r tg = abcisa ordenada = x y csc = ordenada radio vector = y r 1.4. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NEGATIVOS sen r y sen( ) ctg y x ctg( ) cos r x cos( ) sec x r sec( ) tg x y tg( ) csc y r csc( ) 1.5. SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LOS CUADRANTES sen cos tg ctg sec csc I C + + + + + + II C + – – – – + III C – – + + – – IV C – + – – + – 0 Y X y r x P(x,y) UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA CENTRO PREUNIVERSITARIO Trigonometría SEMANA Nº 6 1. REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE 1.1. REDUCCIÓN DE ÁNGULOS MENORES QUE UNA VUELTA r: es el ángulo agudo formado por el lado terminal de y por el eje X. Si II C , r = 180º – r = rad – Si III C , r = – 180º r = – rad Si IV C , r = 360º – r = 2rad – donde la fórmula de reducción es RT () = RT (r) el signo depende del signo de la razón trigonométrica en el cuadrante al cual pertenezca el ángulo a reducirse. 1.2. REDUCCIÓN DE ÁNGULOS MAYORES QUE UNA VUELTA O O Sean y dos ángulos coterminales RT () = RT () pero = 360º n + , n Z = 2 n + , n Z entonces RT () = RT (360º n + ) , n Z RT () = RT (2 n + ) , n Z 2. OTRAS FÓRMULAS DE REDUCCIÓN RT (90º ) = CO – RT () RT (180º ) = RT () RT (270º ) = CO – RT () RT (360º ) = RT () donde es considerado agudo y en todos los casos el signo del lado derecho de las igualdades depende del signo de la razón trigonométrica del ángulo que aparece a la izquierda. 3. RAZÓN TRIGONOMÉTRICA DE ÁNGULOS CUADRANTALES A.C. R.T 0º 90º 180º 270º 360º Sen 0 1 0 – 1 0 Cos 1 0 – 1 0 1 Tg 0 0 0 Ctg 0 0 Sec 1 – 1 1 Csc 1 – 1 UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA CENTRO PREUNIVERSITARIO Trigonometría SEMANA Nº 7 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES 1. IDENTIDADES RECÍPROCAS.- sen . csc = 1 , n , n Z cos . sec = 1 , (2n + 1 ) 2 , n Z tg . ctg = 1 , 2 n , n Z 2. IDENTIDADES POR COCIENTE.- tg = cos sen , 2 1 (2n + 1) , n Z ctg = sen cos , n , n Z 3. IDENTIDADES PITAGÓRICAS.- sen2 + cos2 = 1 1 + tg2 = sec2 , 2 1 (2n + 1) , n Z 1 + ctg2 = csc2 , n , n Z 4. IDENTIDADES AUXILIARES.- sen4 + cos4 = 1 2 sen2 . cos2 sen6 + cos6 = 1 3 sen2 . cos2 tg + ctg = sec . csc , 2 n , n Z sec2 + csc2 = sec2 . csc2 , 2 n , n Z 5. OPERACIONES ALGEBRAICAS Y FACTORIZACIONES BÁSICAS.- (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 a2 b2 = (a b) (a + b) (a b)2 = a2 2ab + b2 a3 + b3 = (a + b) (a2 ab + b2) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 a3 b3 = (a b) (a2 + ab + b2) (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3 (a + b)2 + (a b)2 = 2(a2 + b2) (a + b)2 (a b)2 = 4ab (a + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA CENTRO PREUNIVERSITARIO Trigonometría SEMANA Nº 8 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPUESTOS 1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA DE ÁNGULOS sen sencos sencos cos coscos sensen 1 tg tg tg tg tg( ) ; tg tg 1 2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA DIFERENCIA DE ÁNGULOS sen sencos sencos cos coscos sensen 1 tg tg tg tg tg( ) ; tg tg 1 ; ctg ctg ctg ctg ctg ctg 1 ctg ( ) 3. IDENTIDADES AUXILIARES 2 2 sen A B sen A B sen A sen B 2 2 cos A B cos A B cos A sen B UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA CENTRO PREUNIVERSITARIO Trigonometría SEMANA Nº 9 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS MÚLTIPLOS I. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE 1) sen2 2 sencos 2) 2 2 cos2 cos sen 3) 2 2 tg tg 2 1 tg 4) 2 ctg 1 ctg 2 2ctg II. FÓRMULA DE DEGRADACIÓN DEL ÁNGULO DOBLE 1) 2 2sen 1cos2 2) 2 2cos 1 cos2 III. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD 1) 1 cos sen 2 2 2) 1 cos cos 2 2 3) 1 cos tg 2 1 cos 4) 1 cos ctg 2 1 cos Observaciones: El signo ó se determina de acuerdo al cuadrante al que pertenece el ángulo 2 . IV. IDENTIDADES ESPECIALES 1) ctg tg 2 csc2 2)ctg tg 2 ctg2 3) ctg csc2 ctg2 4) tg csc2 ctg2 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO TRIPLE I. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO TRIPLE sen3 3sen 4sen3 3 cos3 4cos 3cos 3 2 3tg tg tg 3 1 3 tg II. FÓRMULAS DE DEGRADACIÓN DEL ÁNGULO TRIPLE 3 3 sen sen 3 sen 4 3 3 cos cos3 cos 4 3 2 tg 3tg tg3 1 3tg UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA CENTRO PREUNIVERSITARIO Trigonometría SEMANA Nº 10 TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS I. TRANSFORMACIONES EN PRODUCTO DE LA SUMA O DIFERENCIA DE SENOS Y COSENOS II. TRANSFORMACIONES EN SUMAS O DIFERENCIAS DEL PRODUCTO DE SENOS Y COSENOS sen A + sen B = 2 sen 2 A B cos 2 A B sen A sen B = 2 cos 2 A B sen 2 A B cos A + cos B = 2 cos 2 A B cos 2 A B cos A cos B = – 2 sen 2 A B sen 2 A B 2 sen A cos B = sen ( A + B ) + sen ( A B ) 2 cos A sen B = sen ( A + B ) sen ( A B ) 2 cos A cos B = cos ( A + B ) + cos ( A B ) 2 sen A sen B = cos ( A B ) cos ( A + B ) UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA CENTRO PREUNIVERSITARIO Trigonometría SEMANA Nº 11 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS I. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS ELEMENTALES ( Vp = valor principal) 1) sen ( Ax + B ) = a , a [ 1, 1 ] Vp = 2 , 2 , sen = a 2) cos (Ax + B ) = a , a [ 1, 1 ] Vp = [ 0, ] , cos = a 3) tg (Ax + B ) = a , a R Vp = 2 , 2 , tg = a 4) ctg (Ax + B ) = a , a R Vp = 0, , ctg = a 5) sec (Ax + B ) = a , a , 1 ] [ 1, Vp = , 2 2 0 , , sec = a 6) csc (Ax + B ) = a , a , 1 ] [ 1, Vp = 2 , 0 0 , 2 , csc = a II. SOLUCIÓN GENERAL PARA LAS ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS ELEMENTALES 1) Para seno y cosecante csc x a senx a x = n + ( 1)n Vp, n 2) Para coseno y secante secx a cos x a x = 2n Vp, n 3) Para tangente y cotagente ctgx a tgx a x = n + Vp, n UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA CENTRO PREUNIVERSITARIO Trigonometría SEMANA Nº 12 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS 1) LEY DE SENOS En todo triángulo, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos a b c sen A sen B sen C NOTA: Todo triángulo se puede inscribir en una circunferencia y cumple 2R a b c senA senB senC , donde R es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC. 2. LEY DE COSENOS En un triángulo cualquiera, el cuadrado de la longitud de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble producto de ellos multiplicado por el coseno del ángulo que forman. Es decir, de la figura se tiene : a2 b2 c2 2bccosA 2 2 2 b a c 2accosB 2 2 2 c a b 2abcosC C B A c a b C B A a c b 3. LEY DE TANGENTES En todo triángulo, la suma de dos de sus lados es a su diferencia, como la tangente de la semisuma de los ángulos que se oponen a dichos lados es a la tangente de la semidiferencia de los mismos. Así, en la figura, se tiene: A C tg a c 2 a c A C tg 2 , A B tg a b 2 a b A B tg 2 y B C tg b c 2 b c B C tg 2 4. LEY DE PROYECCIONES En todo triángulo, cualquiera de sus lados se puede expresar como la suma de las proyecciones de los otros dos sobre éste. Es decir: a bcosC ccosB b acosC ccosA c acosB bcosA 5. ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN a) Ángulo de elevación del punto de observación O hacia el punto observado Q. C B A c a b A C B a b c Línea visual: es la recta OQ trazada b) Ángulo de depresión UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA CENTRO PREUNIVERSITARIO Trigonometría SEMANA Nº 13 LA CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA Y SUS ELEMENTOS Es una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio 1. Sirve para representar las líneas trigonométricas. Observación: La ecuación canónica de la circunferencia de radio 1 es C: x2 + y2 = 1 es. En la circunferencia trigonométrica se distingue los siguientes elementos: 1) O(0,0), origen de la circunferencia 2) A(1,0), origen de arcos 3) B(0,1), origen de complementos 4) A(– 1,0), origen de suplementos 5) B(0,– 1), no tiene denominación específica 6) P(x,y), extremo del arco AP de medida LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS I. Línea seno Es la ordenada del punto extremo del arco. Análisis de la línea seno II. Línea coseno Es la abscisa del punto extremo del arco. – 1 sen 1 Análisis de la línea coseno – 1 cos 1 UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA CENTRO PREUNIVERSITARIO Trigonometría SEMANA Nº 14 LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS (CONTINUACIÓN) III. Línea tangente Es la ordenada del punto de intersección entre la tangente trazada por el origen de arcos A y la prolongación del radio que pasa por el punto extremo del arco AP. Análisis de la línea tangente – < tg < + IV. Línea cotangente Es la abscisa del punto de intersección entre la tangente trazada por el origen de complementos B y la prolongación del radio que pasa por el punto extremo del arco AP. Análisis de la línea cotangente – < ctg < + V. Línea secante Es la abscisa del punto de intersección entre la tangente trazada por el extremo del arco AP y eje de abscisas. Análisis de la línea secante sec – 1 sec 1 VI. Línea cosecante Es la ordenada del punto de intersección entre la tangente trazada por el extremo del arco AP y el eje de ordenadas. Análisis de la línea cosecante csc – 1 csc 1 UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA CENTRO PREUNIVERSITARIO Trigonometría SEMANA Nº 15 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Función seno Es la función f : R R definida por f(x) = senx a) Dom(f) = R b) Ran(f) = [– 1, 1] c) Período 2 d) Función impar Función coseno Es la función f : R R definida por f(x) = cosx a) Dom(f) = R b) Ran(f) = [– 1, 1] c) Período 2 d) Función par 2 O Y 5 X 2 3 2 2 2 1 1 Función tangente Es la función f : R R definida por f(x) = tgx a) Dom(f) = R – / k Z 2 ( 2k 1) b) Ran(f) = R c) Período d) Función impar e) Es creciente en cada uno de los intervalos 2 (2k 1) < x < 2 (2k 1) , k Z UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA CENTRO PREUNIVERSITARIO Trigonometría SEMANA Nº 16 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS II FUNCIÓN COTANGENTE La función cotangente f : se define por cosx f x ctg x senx Domf x / x k , k k , k Ranf PROPIEDADES 1) f x ctg x es una función periódica y su periodo mínimo es T , es decir, ctgx ctg x , para todo x en su dominio. 2) f x ctg x es una función decreciente en cada intervalo de su dominio. GRÁFICA: Construimos la tabla X 0 6 4 3 2 3 2 4 3 6 5 f x ctg x 3 1 3 3 0 3 3 1 3 FUNCIÓN SECANTE La función secante f : se define por 1 f x sec x cosx Domf x / x 2k 1 , k 2k 1 , k 2 2 Ranf y / y 1 y 1 ,1 1 , sec x 1 secx 1 PROPIEDAD f x sec x es una función periódica y su periodo mínimo es T 2, es decir, secx 2 sec x , para todo x en su dominio. GRÁFICA Construimos la tabla x 2 3 4 6 0 6 4 3 2 f x sec x 2 2 3 2 3 1 3 2 3 2 2 x 3 2 4 3 6 5 6 7 4 5 3 4 2 3 f x sec x – 2 – 2 – 3 2 3 – 1 – 3 2 3 – 2 – 2 FUNCIÓN COSECANTE La función cosecante f : se define por 1 f x csc x senx Domf x / x k , k k , k Ranf y / y 1 y 1 ,1 1 , csc x 1 csc x 1 PROPIEDAD f x csc x es una función periódica y su periodo mínimo es T 2, es decir, cscx 2 csc x , para todo x en su dominio. GRÁFICA Construimos la tabla x 0 6 4 3 2 3 2 4 3 6 5 f x csc x 2 2 3 2 3 1 3 2 3 2 2 x 6 7 4 5 3 4 2 3 3 5 4 7 6 11 2 f x csc x – 2 – 2 – 3 2 3 – 1 – 3 2 3 – 2 – 2 UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA CENTRO PREUNIVERSITARIO Trigonometría SEMANA Nº 17 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS I FUNCIÓN INVERSA DEL SENO (O ARCO SENO) Es la función f: [ – 1, 1] 2 , 2 definida por y = arc senx si y solo si x = seny x y = arc senx Dom(f) = [ – 1, 1] Ran(f) = 2 , 2 x – 1 – 2 3 – 2 2 – 2 1 0 2 1 2 2 2 3 1 y – 2 – 3 – 4 – 6 0 6 4 3 2 y = arc senx FUNCIÓN INVERSA DEL COSENO (O ARCO COSENO) Es la función f: [ – 1, 1] [0, ] definida por y = arc cosx si y solo si x = cosy x y = arc cosx Dom(f) = [ – 1, 1] Ran(f) = [0, ] x – 1 – 2 3 – 2 2 – 2 1 0 2 1 2 2 2 3 1 y 6 5 4 3 3 2 2 3 4 6 0 FUNCIÓN INVERSA DE LA TANGENTE (O ARCO TANGENTE) Es la función f : R 2 , 2 definida por y = arc tgx si y solo si x = tgy x y = arc tgx Dom(f) = R Ran(f) = 2 , 2 x – 3 – 1 – 3 3 0 3 3 1 3 y – 3 – 4 – 6 0 6 4 3 y = arc cosx y = arc tgx UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA CENTRO PREUNIVERSITARIO Trigonometría SEMANA Nº 18 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS II FUNCIÓN INVERSA DE LA COTANGENTE (O ARCO COTANGENTE) Es la función f : 0, definida por y = arc ctgx si y solo si x = ctgy. Dom(f) = Ran(f) = 0, FUNCIÓN INVERSA DE LA COSECANTE (O ARCO COSECANTE) Es la función f: ,1 1, ,0 0, 2 2 definida por y = arc cscx si y solo si x = cscy. Dom(f) = ,1 1, Ran(f) = ,0 0, 2 2 FUNCIÓN INVERSA DE LA SECANTE (O ARCO SECANTE) Es la función f: ,1 1, 0, , 2 2 definida por y = arc secx si y solo si x = secy. Dom(f) = ,1 1, Ran(f) = 0, , 2 2
