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CIRCUITOS LOGICOS PROBLEMAS RESUELTOS PDF


Circuitos Lógicos El valor de verdad de una proposición puede asociarse al pasaje de corriente en un circuito eléctrico controlado por un interruptor. En efecto, para representar un interruptor mediante una proposición p, se ti ene:- Circuito Cerrado Circuito Abierto 

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  • Es decir, el interruptor está cerrado (pasa corriente) si V(p)=V, y está abierto (no pasa corriente) si V(p)=F. De aqui establecemos una identificación entre las proposiciones y los interruptores de un circuito eléctrico. Las operaciones proposicionales (conjunción, disyunción, etc) pueden representarse mediante circuitos con tantos interruptores como proposiciones com ponentes. Considerando las clases de instalaciones: en serie y en paralelo, es factible diseñar esquemas de circuitos eléctricos para representar a pro posiciones compuestas o viceversa. CIRCUITOS EN SERIE__________________________________y Consideremos dos interruptores p y q conectados en serie: ----------- 1 P >|-------- •- ■■ » l----------- * Se observa que este circuito admite paso de corriente cuando los dos interruptores p y q están cerrados, en cualquier otro caso no hay paso de corriente. De aqui tenemos el comportamiento de la conjunción de las proposiciones p y q. Por tanto: a) p a ■ q Solución, a) Vemos que ( p v q ) * r es la conjunción de p v q y r, que deben es tar conectados en serie: - P * q 4 - (1) Pero, p v q se representa por: 4 - Luego, sustituyendo en (1), tendremos la representación pedida, esto es: --- * n --- Sección 1.16: Circuitos Lógicos 51 b) Según la condicional E.7a: p * q s ■'•pvq Luego, la representación de p * q, es la disyunción (conexión en paralelo) de *pvq. Esto es: 'vp • »1-- c) De la equivalencia E.8a: p M q 5 (p q) a (q * p) s (*pv q) a (vqv p) (Cond. E.7a) Entonces, la representación de p ** q es la conjunción (conexión en serie) de (*pvq) y f'wjvpJ, esto es: i'qvP (2) Pero vpv q y vjvp, se representan, respectivamente, por: □ 'Vp — %q —a - ■ I Sustituyendo en (2) se tiene: ---- P------ Pero, según la equivalencia E.8b: p q s (p Aq) v (^pAV)) lepresentando la disyunción de p A q y 'p*'Vj, tendremos: |— » ------- « — - 'Vp A 'Vj MI—J IMIIIM 'Vp MMRMMM —X (3) (4) Los circuitos (3) y (4) son representaciones de p que (3) y (4) son circuitos equivalentes. EJEMPLO 2. Describir simbólicamente el circuito: q; se dice entonces Solución. Los pasos para simbolizar el circuito son: (1) r y *q están conectados en paralelo; se simbol iza: r v yj (2) p y (’rv'HjJ están conectados en serie; se simboliza: p A (r v vq) (3) q y *r están conectados en serie; se simbol iza: q a 'v,r (4) p A f r v vq) y (q/^Air) están conectados en paralelo; se simboliza: Ip A (r v vq)] v (q a *r) Este esquema molecular, llamado también polinomio booliano, representa simbólicamente el circuito dado. I 52 Capitulo 1: Lógica EJERCICIOS ILUSTRATIVOS E J E R C I C I O 1. D e te r m in a r el c irc u ito e q u iv a le n te al c ircuito: - - p ------ (D ist. E.5a) (abs. E.5d) Sección 1.16: Circuitos Lógicos 53 = (*p v -K}; a l(C) v(T)l a (pvq) (T.2 y T.3) - 'Hp A q) a [ T ] A (pvq) (Morg.E.Sa y FNDc) = (p v q) a *(p a q; s p ¿ q f4J: (p v vq) a Cq v Ap; s [ Cp VAq; a q] v [fpv Aqj A Aq] (Dist. E.Sa) = (<¡ * pj v ('"'P A fAí>s. E.9b) s (p a q) v 'Hp vq) r p A q Por lo tanto, p&q es equivalente a los esquemas (1),(2) y (3). EJERCICIO 4. Qué representa el circuito equivalente a: I p _________ 1___ [ ~ ' V p -----------1 r i _ „ _ r i p q Ajp nq Solución. El polinomio booliano del circuito es: l(p v q> a (vp v Aqj] v [fp a (¡) v f-vp a Aq)] = tp A q] v [(p a q ) w ( p v q)l (Disy. Ere.) = (p 4 q> v A.[>fp a q) a Cp v q;] (biorg. E.6a) s (P a q) v A>íp a q> (Disy. Exc.) s T (Tere.Ere.T.3> Por consiguiente, el circuito representa una tautología. EJERCICIO 5. Hallar la menor expresión que representa el circuito: Solución. El esquema molecular representativo del circuito es: f(p v q) A l(r a •vq; v (q v A»r>]} v [ ( y a q) v (r A Aq)] s [ f p v q) a (A -fq v *r) v (q v * y rj]} v t f r a vq) v f q a A-r}] ( £ . 6 b y £.3bJ s K p v q ) a [ Til v (r a Aq; v q (T.3 y Abs.E.9d) ! íp v qj v (q v r) : (p v q v r) ■ (E.12:FNCb y Abs.E.9d) Por tanto, el circuito equivalente es: 54 Capitulo 1: Lógica E J E R C I C I O 6. Sea A el circuito lógico más simple correspondiente a la proposición: l(p a q) v (p a rj3 a [fp a s ) v (p a vsj] y B el circuito lógico más simple equivalente a: „ — „ P — i r - ■“ ■ - i I >«\ 3 ! [p a fq V r)3 a p 3 p A (q v r) £¡ esquema molecular correspondiente al circuito B es: B = Cfq a vp) v í^p a q>3 a fvq v q) = L(*p a q) v (*p a q)] a (t> 2 (A-p a q) V A q) 2 'P A q A * B = M v f l 2 A-Ip a (q v r)] v (A,p a q.) = [o.p v >v(q v r;] v C^p A q3 = [a-p v (a«p a q33 v A,(q v r) = vp v A ,( q v p ) = A ,p v f o q a a . ^ ) Luego, el circuito simplificado de A * B, es: (Dist. E.5a) (Terc.Exc.T.3) (E.12: FNCb) (Idemp. E.2a) (Asoc.E.4b y T.3) (E. 12:FNCb y Idemp.E2b) (Morg.E.Óa ) (Conm. E.3b) (Abs.E.9c y Morg.E.ób) E J E R C I C I O 7. Hallar la proposición x de manera que sea una tautología el circuito simplificado siguiente: „p — , A.q • Solución. Designemos por P el esquema molecular de todo el circuito, Q el sistema molecular del circuito superior y R el esquema molecular del circuito inferior. Entonces: P = Q v R ^ Sección 1.16: Circuitos Lógicos 55 (Abs. E.9d) (Abs. E. 9b) (Abs. E.9a) Q = i ( v p a vq ) v (p a q ) } A {p v [q a (a,p v i ) ] l A ( v q ) Para abserver la conjunción entre corchetes es suficiente hacer x=vp y obte ner: Q = í(p A q ; v *(p v q / ] * U p v q ) } a (vq) = l ( p A q ) a (pvq)] a = l(p a q;] A pvqj = p A (q A vq) = p A C = C Luego, en (1): P = C v R = R —■ P = l(p A q) v (p v ’Hj)] v U r v f^ p A a x) = l(p v A - q ^ ] V [ f r v A ,p ; a x ] S i x=Ap -► p = fp v Aq> V [ ( r v A,pj a -\,p] = (p v v (^p) = Cp v Aip) v -hj (Abs.E. 9b y Asoc.E.4b) = (T) v A-p = y, se cumple. (T.3 y E. 12:FNDc) En consecuencia: x=vp fE.Í2: FNDb) (Abs.E.9c y E.9d) EJERCICIO 8. Construir el circuito lógico más simple equivalente a: .-vp. Solución. Sea Q el esquema molecular del circuito superior y R el esquema molecular del circuito inferior. Entonces, el circuito total es: P = fQ v ftj a vp (i) Siendo Q s vp a l(p A vq) v (ap vqj] = a.p a l(p A vq) v v(p a vq)j (Morg. E.6a) = A.p A [ T 3 e A,p (T.3 y E.12:FNCb) Luego, en (1): P = (vp v R) A vp = vp (Abs. E.9a) Como se puede observar, no es necesario reducir el esquema molecular de R, pues éste está en la red de disyunciones que es absorvido por la conjunción de A.p. En consecuencia, el circuito lógico más simple es: A . A,p , . . B EJERCICIO 9. Si el costo de cada llave de instalación del circuito E de la figura adjunta es $10, cuánto se ahorraría si se reempla 56 Capitulo 1: Lógica A \ p. q c Solución El circuito lógico C í p A A a t a 6 (1) Para obtener el esquema molecular del circuito A, lo particionamos de la siguiente manera: P 'oq — p - o = p J— i ” .— ,— - -p- -— I— -\,p _ i /'>Q— . - P — L... — ^q ___ = p A [r v fpv “Ki) 3 v(pv'^q>3 Luego, A 3 P v Q = (p a [ r v (p v ’^q) 33 v |q a [\¡ v ( p v ^>31 s 3 (pA r) v [p a (p v V¡3 33 v iq a l(vq v iqj v pJ (E. 5a) = U p A rj v p3 v Iq a [h? v p3 3 5 p v fq A p) 5 p Análogamente, para el circuito B: (E.9a y E.2b) (E.9c y E.9b) Y \ q V ■e = — Z 3 I q 3 p A f p v Q j 2 p 3 r A ( P vq v r) s r 3 p A (qvq) 3 p A q Luego: B - R v S v Z s p y rv (p A q3 = p v r Entonces en (1): £ = p A P A t A ( p v r J s p A t Circuito equivalente: - p — .. t _ Por lo tanto, se ahorraría: 16x10 - 2x10 = 140 dólares Ejercicios: Grupo 5 57 EJERCICIOS: Grupo 5 1. Determinar la menor expresión que representa al circuito dado: * O/q -- OjP ■' * ^ j----^ p ----- --- ^ - € . 7 3 ^ ■--------- q 1 )• — P I i— A,%q-p- --- 1 IL— A,q-« 1— p — q — I f) 9> h) J_ j q ~ “p ~i r ^ i . *— — q —I '— q —J > p p — C <, Z l— " — i h :::í : . 3 - i— — ^ q - i r — p — q — i * L _ j ~ p — [^-^p — ^q-jj" p 2. Determinar los circuitos lógicos que representan a los siguientes esque mas moleculares: a) v[p ■* ^(q v r)) e) (p a q) * (q a p) b) (vp) (p * vq) f) {[(r v q ) ] A p ] v V } A . q c) (p v q) ■* l (^p v q) * Cp A q) ] 3. Simplificar y hallar el equivalente a los circuitos dados: H T'Vq —l bJ L—P — I ~ j __ I q %p — I O — q - O /p-* %q — - ^p — i 'V p _ 'V q _ P q - ^ q -# 58 Capitulo I: Lógica 4- a un electricista se le da el diagrama del circuito siguiente: El quiere hacer una instalación lo más econg mica posible y que sea equivalente al circuito original. Si cada interruptor cuesta $1.20 y no teniendo en cuenta el alambre, cuánto le costó la instalación y cuánto se ahorró? 11 ■£ «■ i »ii t i « i <\,q 5. Demostrar que son equivalentes los circuitos A,B y C. B C - c l c . r t 1j i—o,'-q- 1 A 6. Demostrar que los siguientes circuitos son equivalentes a p A q. - a o o - - c : : : 3 - c £ ' p - 7. Construir el circuito más simple correspondiente al circuito: -• 6 8. Hallar el resultado de conectar en paralelo los siguientes circuitos: I -» ' ' • ■■■ p 1 ■ ■ I A»q„ .q. , — p - C p D ] - . ^ _ M W p 4 M M l J S. El costo de cada llave en la instalación del circuito siguiente es de $15. ¿En cuánto se reducirá el costo de instalación si se reemplaza di cho circuito por el más simple posible? Ejercicios: Grupo 5 59 'V p . j - o c %q- I [— p — q — l i— ' b p — — a . q ■ I n - c p - . n,p— - "uq. . r _ *c— wa ->- 1, 10. Construir el circuito lógico más simple equivalente al circuito: 11. Sea P la proposición más simpl if icada del circuito lógico: -p— i i— r — ■q ■c q 'vr 'Vr ---- q r 1 11 " ^q p — q p— % q ■ ' V p — % q ■ y sea Q la proposición más simplificada de l(p A s) v (p A ^s>] A U p A q) v (p A r)] Construir el circuito lógico más simpl if icado correspondiente a P -*• Q 12. Sea P la proposición más simplificada del circuito lógico: y sea Q la proposición más simpl if icada de: s •* ^[w ¿ f^s * w)]. Sí p,q,s,t,w son proposiciones lógicas cualesquiera tales que P -1-*- Q es ver dadera y v w -► v s es falsa; hallar los valores de verdad dé las siguientes propos iciones: a) (s "-*■ Mv; -*■ v(vp v q) b) v(vq -» vp) ->■ í(t v vw) (w a ^pj] Construir el circuito lógico más simple equivalente a: 60 Capitulo 1: Lógica 14. Sea A Ja proposición más simplificada del circuito lógico p — q ■ L p — i L_p q T jl — 'v-q —' - -- —1 ly B la proposición compuesta más simplif¡cada de: |ifr *■* ^s> i si v Ip'-r v s) A [s v (r A s) v Hallar el valor de verdad de A — <■ B sabiendo que la proposición compuesta: U*p •» (q v rJlAf^q)! ("'-r -► (vp v s.) 1, es falsa. 15. Hallar la proposición x m á s simple de manera que el circuito lógico s ¿ 16. Simplificar lo más posible el siguiente circuito, siguiendo pasos orde nados y justificados. . . r - C D - C Ih h z i z : ^ - H b Tw r* ■I *h C r ■■■l■■ iH 17. Sea A el circuito lógico más simple equivalente al circuito: -P • - c p - • v p ------------------ q ■vp. y sea B, el circuito lógico más simple equivalente al circuito: ■ p q • % r - t e I— p — - ■ S -------- t — j Construir el circuito lógico simplificado correspondiente a A + B. *
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