CONJUNCION DISYUNCION CONDICIONAL NEGACION EJERCICIOS RESUELTOS DE LÓGICA PROPOSICIONAL
OPERACIONES CON PROPOSICIONES LOGICAS Asi como en aritmética y en álgebra se estudian operaciones entre números , en lógica se estudian operaciones entre proposiciones.
La operación aritmética de sima de dos números 3 y 5, por ejemplo, hace corresponder a un nuevo número 8 que es su suma mediante la igualdad: 3+5=8; es decir, escribir ”3+5" significa lo mismo que escribir "8". Vamos a proceder análogamente para definir las operaciones entre proposiciones. K B LA CONJUNCION Dadas dos proposiciones p y q, la conjunción es el resultado de componer estas proposiciones con el conectivo lógico "y”. Se denota por el símbp lo "A", se escribe "paQ" y se lee "p y q ”. Ejanplo. Sean las proposiciones: p=La tiza es blanca q=6 es un número primo A partir de estas proposiciones simples obtenemos la nueva proposición uniéndolas mediante la conjunción "y”. r=La tiza es blanca y 8 es un número primo Aquí podemos observar que V(p)=V y V(q)=F, entonces V(r)=F, ya que la conjunción ”y" exige el cunpl imiento de ambas componentes, sin excepción. Eh consecuencia, la regla práctica para conjunciones es: La proposición conjuntiva es verdadera únicamente cuando las dos proposicio nes coligativas p y q son verdaderas, en cualquier otro caso es falsa- Esta característica es válida para toda conjunción y se puede resumir en la siguiente tabla de verdad. p q p Aq V V V V F F F V F F F F Sección ].5: la Disyunción 5 EJEMPLO 2. Determinar el valor de verdad de la proposición: r: "2+3+5=11 y 4+8 > 5+6" Solución. Sean p:2+3+5=ll * V(p)=F q:4+8 > 5+6 * V(q)=V Luego, según la tabla de verdad de la conjunción: V(r) = V(p a q ) = F EJEMPLO 3. Determinar el válor de verdad de la proposición: "r=7 es un número par y no es mayor que 5" Solución. A simple vista, la conjunción es falsa, pues si: p = 7 es un número par +■ V(p) = F q = 7 no es mayor que 5 ■+ V(q) = F entonces, según la tabla de verdad de la conjunción: V(r) = V(pAq) = F Nota. Hay palabras como "pero", "a la vez", "sin embargo", "además", "aunque", "no obstante", etc, que también unen proposiciones conjuntivamente y se pueden simbolizar por el conectivo "a ". EJEMPLO 4. Determinar el valor de verdad de la proposición: r = "15 es múltiplo de 3, pero 5 no es mayor que 7". Solución. Sean: p=15 es múltiplo de 3 + V(p) = V q=5 no es mayor que 7 ■+ V(q) = V Luego, según la tabla de verdad de la conjunción: V(r) = V(pAq) = V m LA DISYUNCION_^ Se llana disyunción o sana lógica de las proposiciones p y q, dadas en ese orden, a la proposición que se obtiene enunciando q a continuación de p unidas ambas por el conectivo "o", esto es: "p o q". Ejemplos: a) La proposición: "La luna es azul o 3 es un número primo" es la diyunción de: p=La luna es azul -+ V(p) = F q=3 es un número primo +■ V(q) = V Aqui, podemos decir que la disyunción p o q es verdadera, pues el uso habitual del conectivo "o" establece una alternativa: alguna de las dos compo6 Capitulo 1: Lógica nenies se cunple. Como es cierto que 3 sea un número primo, no importa que la luna no sea azul, ya que una de las dos componentes de la al temat iva es verdadera. En este caso podemos escribir, entonces: V(poq)=V. b) La proposición: Luis es ingeniero o profesor de matemáticas, es la disyunción de: r = Luis es ingeniero s - Luis es profesor de matemáticas c) La proposición: "César Vallejo nació en el Perú o nació en Francia", es la disyunción de: t="César Vallejo nació en el Perú" u="César Vallejo nació en Francia" En el ejemplo b) se observa que si V(r)=F y V(s)=F -► V(ros)=F. Sin embargo cuando las componentes son ambas verdaderas, la disyunción admite dos usos diferentes del conectivo "o", uno inclusivo y el otro exclusivo. Asi en el ejemplo b), si V(r)=V o V(s)=V ■* V(ros)=V. En este caso hemos usa do el "o" inclusivo, pues la verdad de que Luis sea ingeniero no excluye la posibilidad de que sea profesor de matemáticas. En cambio, en el ejemplo c) la verdad de que César Vallejo naciera en el Pe rú excluye la posibilidad de que naciera en Francia y viceversa. En este ca so hemos usado el "o" exclusivo y si V(tj-V ó V(u)=V ■+■ V(tou)=F Estas consideraciones ilustran la necesidad de distinguir dos interpretado nes para la disyunción "poq". ( Q ) LA DISYUNCION INCLUSIVA___________________________ ^ Dadas dos proposiciones p y q, la disyunción inclusiva o débil, es una proposición col igat iva que resuita de unir las proposiciones p y q con el conectivo "o", el cual se denota por el símbolo "V", se escribe ''pvq" y se lee "poq". La regla práctica es: L a d i s y u n c i ó n i n c l u s i v a de. d o s p n o p o s i c i o n t s t i v t n. da . dt a a s i y s o t o s i pon. L o m e n o s u n a d t ¿ a i d o i p n . o p o i i c J . o n t i t i v c n d a d e n a , n e s u l t a n - d o i a l i a s o l a m e n t e c u a n d o ¿ a i d o i i o n { ¡ a J U a s " . Su tabla de verdad es: p q p v q V V V V F V F V V F F F Sección 1.6: La Negación 7 LA DISYUNCION EXCLUSIVA____________________________§ En este caso, la palabra "o" suele usarse en su sentido excluyente, en cuyo caso la conectiva proposicional se simboliza por "A", se llana dis yunción exclusiva o fuerte, se escribe p A q y se lee ”p o q pero no ambos’’, esto es, se da exactanente una de las dos alternativas. La regla práctica es: La disyunción. exclusiva. de. do a pioposi.cU.on.ey> es veidadeia si y sólo si poi lo menos una de las dos pioposiciones componentes es veidadeia y no las dos, lesultando íalsa en otios casos. Su tabla de verdad es: p q P A q V V F V F V F V V F F F K B 3 LA NEGACION