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CONTEO DE NÚMEROS PROBLEMAS RESUELTOS DE ARIMÉTICA PREUNIVERSITARIA PDF

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  • PROGRESIÓN ARITMÉTICA (P.A.) Es un conjunto de números ordenados, de tal manera que cada uno de ellos (a excepción del primero) se obtiene incrementando a su inmediato anterior en una cantidad constante llamada razón de la progresión aritmética. Ejemplos: I. 15 ; 19 ; 23 ; 27 ; .......... Razón = 4 4 4 4 II. 274 ; 271 ; 268 ; 265 ; .......... Razón = - 3 -3 -3 -3 NOTA: Si la razón es positiva, la progresión es CRECIENTE. Si la razón es negativa, la progresión es DECRECIENTE. CÁLCULO DEL NÚMERO DE TÉRMINOS Dada una progresión aritmética finita, el número de términos se puede calcular: Razón Nº de términos = (último Nº ) - (Anterior al 1º ) o también: 1 Razón Nº de términos = último - primero + APLICACIÓN: Cuantos términos tiene la siguiente progresión: 34; 38; 42; ...; 162 Último término: 162 Razón: 4 Anterior al 1º: 34 – 4 = 30 UNIDAD 10 Conteo de números Aplicando la 1ra. fórmula: Nº t. = 4 162 − 30 = 33 términos CÁLCULO DE UN TÉRMINO CUALQUIERA Toda progresión aritmética, se podría representar por: t1 ; t2 ; t3 ; t4 ; ……………; tk ; tn r r r FÓRMULA PARA CALCULAR EL TÉRMINO DE LUGAR «N» tn = t1 + (n – 1) . r APLICACIÓN: Hallar el término de lugar 40 en la progresión aritmética: 17; 20; 23; 26; ... Reconociendo términos observamos que: t1 = 17 r = 20 – 17 = 3 n = 40 (lugar 40) t40 = t1 + (40 – 1)r t40 = 17 + (39) (3) = 134 MÉTODO COMBINATORIO Principio Fundamental La cantidad de números o combinaciones que pueden formarse con varios órdenes o variables independientes entre sí, es numéricamente igual al producto de las cantidades de valores que pueden tomar dichas órdenes o variables. Ejemplo 1: ¿Cuántos números de 3 cifras que siempre empiecen y terminen en cifra par existen? Algunos números que cumplen la condición son: 202; 212; 214; 270; 694; etc. Para calcular cuántos números son, se plantea: Forma General: a b c ↓ ↓ ↓ 2 0 0 4 1 2 6 2 4 8 3 6 8  9 4 10 5 = 200 Total de valores Total de números de cada orden que cumplen la condición Ejemplo 2: ¿Cuántos números de la forma abba existen en el sistema decimal? Forma General: a b b a ↓ ↓ ↓ ↓ 1 2 2 1 3 2  3 9  9 9 × 10 = 90 números Valores que puede tomar cada cifra           Valores que pueden tomar las órdenes independientes          Cifras dependientes no se cuentan. PROBLEMAS RESUELTOS 1. ¿Cuántos números de 4 cifras mayores de 4650 terminan en 25 ó 75? Los números son: 4675; 4725; 4775; 4825; ...; 9975 y forman una P.A. de razón 50; por fórmula: Nº términos = 107 50 5350 50 9975 - 4625 = = números 2. En una P.A. desde el número 29 al 120 hay la mitad de los términos que desde el siguiente al 120 hasta 316. Hallar el término vigésimo. "n" términos "2n" términos 29;...........................; 120;(120 + r);............................; 316   r n = 120 - (29 - r) r 2n = 316 -120 Reemplazando: r 196 r r 91 2 =     + 182 + 2r = 196 2r = 14 r = 7 Luego: T(20) = 29 + (20-1)7 = 162 3. Dada la siguiente P. A. que tiene 3b términos y «r» como razón; hallar (b+r) 111; ...; 514 Nº términos: r 3b = 514 - (111- r) r r  ¿Cuántos numeros de tres cifras existen, tales que empiecen en cifra par? A) 200 B) 215 C) 220 D) 205 E) 210 2. ¿Cuántos numeros de la forma abba existen en el sistema decimal?. A) 50 B) 80 C) 70 D) 60 E) 90 3. ¿Cuántos números capicúas de 6 cifras existen en base 7? A) 297 B) 294 C) 295 D) 293 E) 296 4. hallar el término vigésimo: 1x7 ; 7 1(2x) ; 7 (x −1)(x −1) ; … A) 68 B) 69 C) 67 D) 66 E) 65 5. ¿Cuál es el número de términos en la siguiente progresión aritmética? 4, 6, 11, 19, 30, ..., 555 A) 10 B) 30 C) 40 D) 20 E) 50 6. ¿Cuántos números de la siguiente forma: ( ) (2b)(5 a) 5 b 5 a −    +  existen en el sistema de base 20 A) 35 B) 38 C) 36 D) 39 E) 40 7. Hallar el vigésimo término de una P.A. de 53 términos, sabiendo que su primer y último término son 21 y 437 respectivamente. A) 215 B) 217 C) 213 D) 219 E) 173 PROBLEMAS PROPUESTOS 8. ¿Cuántos números impares de la forma: c 2 b 3 a 2 b a    ( + )( − ) existen en el sistema decimal? A) 140 B) 150 C) 180 D) 200 E) 240 9. ¿En que sistema de numeración existen 648 números de 3 cifras diferentes entre sí? dar la base del sistema. A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 10. ¿Cuántas cifras se ha empleado para escribir la siguiente sucesión: 13, 17, 21, 25, ..., 1ab se sabe además que a + b = 16. A) 117 B) 116 C) 115 D) 118 E) 119 11. ¿Cuántos números se pude escribir de tal manera que se use las cifras: 0, 1, 3, 5, 8 y 9, que sean mayores de 3000 pero menores que 9000? A) 221 B) 300 C) 647 D) 625 E) 453 12. Determinar cuántos números de 3 cifras utilizan la cifra 4 en el sistema octanario? A) 154 B) 140 C) 170 D) 160 E) 180 13. determinar la suma de los términos vigésimo cuarto y trigésimo segundo de la siguiente P.A: 81, 85, 89, ...... A) 378 B) 240 C) 702 D) 165 E) 980 14. ¿Cuántos números de la forma: ( ) ( ) ( ) 12 a a + 4 b b − 3 existen, tales que a ≠ b. A) 58 B) 84 C) 70 D) 56 E) 80 15. ¿Cuántos números de 4 cifras menores que 600 existen tales que acaben en las cifras 1, 5, 9 y ademas el producto de las tres cifras restantes sea impar? A) 425 B) 225 C) 125 D) 525 E) 325 16. ¿Cuántos términos de la secuencia en P.A.: 25, 42, 59, 76, ... tiene tres cifras? A) 56 B) 54 C) 57 D) 53 E) 55 17. ¿Cuántos números capicuas del sistema octanario tiene una sola cifra 4 en su escritura? A) 140 B) 168 C) 42 D) 56 E) 84 18.- ¿Cuántos números de la forma; ( ) ( ) ( ) 14 c 9 b b c c a +    −  existen? A) 273 B) 215 C) 231 D) 233 E) 220 19. ¿Cuántos numerales de 3 cifras existen en el sistema decimal, tales que la suma de sus cifras siempre sea par? A) 470 B) 450 C) 415 D) 430 E) 460 20. ¿Cuántos numerales de 6 cifras consecutivas crecientes existen en base 12? A) 12 B) 15 C) 14 D) 13 E) 16 21.En que sistema de numeración cuya base es par, existen 72 numerales de la forma: (n) 2 x 2 y xy         A) 10 B) 14 C) 16 D) 12 E) 18 22. Si 25(n), 40(n), 53(n) estan en P.A. hallar: 100(n). A) 65 B) 68 C) 64 D) 69 E) 67 23. La siguiente P.A. tiene 3m términos. Hallar: m + r. 111, (111+r), (111+2r), ... A) 15 B) 18 C) 16 D) 19 E) 17 24. Cuántos números que terminan en 1 ó 6 se escriben con tres cifras en el sistema heptanario. A) 56 B) 59 C) 61 D) 63 E) 65 25. ¿Cuántos numeros capicúas de cinco cifras hay en base 8, tales que contengan al menos un 7 en su escritura? A) 153 B) 152 C) 151 D) 154 E) 155 26. ¿Cuántos números de 3 cifras pertenecen a la siguiente P.A. a2 + 1; 7a; 9a - 1; ... A) 227 B) 226 C) 100 D) 228 E) 229 27. ¿Cuántos números de 3 cifras existen, que tengan una sola cifra impar? A) 322 B) 323 C) 326 D) 324 E) 325 28. hallar el número de términos de la siguiente serie aritmética, sabiendo que es descendente. xxy ; xy8 ; xz 9; …; z2z A) 50 B) 40 C) 30 D) 45 E) 35 29. En una P.A. de 35 términos, el último término es 22(a + 3) y el primero 2(a −1) . hallar el decimo tercer término si la razón es «a». a) 53 y 62 b) 54 y 82 A) 89 B) 93 C) 95 D) 97 E) 101 30. En la siguiente P.A. existen 15 términos que acaban en 5. ¿cuántos terminos como máximo puede tener? 11; 15; 19; 23; 27; ... A) 70 B) 72 C) 74 D) 76 E) 77 CLAVES 01. A 02. E 03. B 04. C 05. D 06. E 07.E 08. A 09. B 10. E 11. C 12. A 13. A 14. A 15. B 16. D 17. C 18. A 19. B 20. D 21. E 22. C 23. A 24. B 25. D 26. C 27. E 28. C 29. D 30. D
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