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REGLAS DE DIVISIBILIDAD EJERCICIOS RESUELTOS PDF

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Son un conjunto de procedimientos que se aplican a las cifras de un numeral para verificar la divisibilidad entre un número o para calcular el residuo de una división sin efectuarla. Los matématicos, algunas veces por el procedimiento realizado antes y otras veces por procedimientos más complicados, han obtenido las reglas de divisibilidad. Las vamos a conocer enseguida : PRINCIPALES CRITERIOS : I) Divisibilidad por 2 : Un número es divisible por 2 o es múltiplo de 2 cuando termina en cifra par. Ejemplos : * 16 es divisible por 2 , porque termina en cifra par (16÷ 2 = 8 ) * 60 es divisible por 2 , porque termina en 0 ( 60÷2 = 30 ) II) Divisibilidad por 4 : Un número es divisible por 4 cuando sus 2 últimas cifras forman un múltiplo de 4; también si el doble de la penúltima más la última resulta un . Si: nota : Un número es divisible por 4 o por 25 cuando sus dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 4 ó 25 * El número 316 es divisible por 4, porque sus dos últimos cifras (16) forman un múltiplo de 4. 316 ÷ 4 = 79 * El número 825 es divisible por 25, porque sus dos últimas cifras (25) forman un múltiplo de 25. Veamos: 825 ÷ 25 = 33 IIi) Divisibilidad por 8 : Un número es divisible por 8 cuando sus tres ultimas cifras son ceros o forman un número múltiplo de 8, también cuando el cuáduple de la antepenúltima cifra más el doble de la penúltima , más la última cifra resulta un múltiplo de . Si: También cuando: Ejemplo : nota : Un número es divisible por 8 ó por 125 cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 8 o de 125 Ejemplos : * El número 65 000 es divisible por 8 y por 125 , porque termina en tres ceros. Comprobemos: 65 000÷ 8 = 8125 ; 56 000÷125 = 520 * El número 3 984 es divisible por 8 , porque lo es el número formado por las tres últimas cifras: 984÷8 = 123 ; 3984÷8 = 498 * El número 7 250 es divisible por 125 , porque sus tres últimas cifras forman múltiplo de 125. Comprobemos : 7 250÷125 = 58 Iv) Divisibilidad por 3 : Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. Ejemplo : nota : Un número es divisible por 3 cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras es 3 o múltiplo de 3. Conviene que recuerde que en una cantidad cada cifra tiene dos valores (valor absoluto y valor relativo). Valor absoluto es el que representa dicha cifra, el valor relativo depende del lugar que ocupa. En el número 888 El valor absoluto de cada cifra es el que representa : 8. · El valor relativo depende del lugar que ocupa. Así: el primer 8 de la derecha vale 8 unidades, el segundo 8 vale 8 decenas y el tercer 8 vale 8 centenas. El número 489 es divisible por 3, porque la suma de los valores absolutos de sus cifras es múltiplo de 3. Veamos: 4 + 8 + 9 = 21 ; (21÷3 = 7) ó 489÷ 3 = 163 v) Divisibilidad por 9 : Un número es divisible por 9 cuando la suma de cifras es un múltiplo de 9 . Si: Ejemplos : * Sea el número 252 : Suma del valor absoluto de sus cifras : 2 + 5 + 2 = 9 Luego, 252 es divisible por 9 ; comprobemos : 252÷9 =28 * Sea el número 13 914 Suma de sus cifras: 1 + 3 + 9 + 1 + 4 = 18 ® Es múltiplo de 9. Luego, 13 914 es divisible por 9. vI) Divisibilidad por 6 : Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y 3 a la vez. Ejemplos : * El número 624 es divisible por 6, porque dicho número es divisible por 2 y por 3. * 624 es divisible por 2 porque termina en cifra par * 624 es divisible por 3 porque la suma de sus cifras (6+2+4 =12) es múltiplo de Como se podrá observar 624 es divisible por 2 y por 3, entonces : 624 es divisible por 6. vII) Divisibilidad por 5 : Un número es divisible por 5 cuando la cifra de la unidad es cero o 5 . Si: Ejemplos : * El número 65 es divisible por 5 , porque termina en 5 ; (65÷ 5 = 13) * El número 80 es divisible por 5, porque termina en 0 ; (80÷ 5 = 16) vIII) Divisibilidad por 25 : Un número es divisible por 25 cuando sus 2 últimas cifras forman un múltiplo de 25. Si: Ejemplo : * El número 2600 es divisible por 25, porque sus dos últimas cifras son dos ceros. Ejercicio : Determinar la suma de valores de «b», si es divisible por 25. Resolución : Si: de donde: La suma de valores: 2 + 7 = 9 ix) Divisibilidad por 125 : Un número es divisible por 125 cuando sus 3 últimas cifras formen un número múltiplo de 125. Si: Ejemplo : x) Divisibilidad por 7 : Un número será divisible por 7 cuando se le aplique la siguiente regla de derecha a izquierda y cifra por cifra se multiplique por los siguientes factores. 1; 3; 2; –1; –3; –2; 1; 3; 2; –1;....... Luego de realizar el producto se efectúa la suma y si el resultado es , el número será efectivamente múltiplo de 7. Si: Cuando al número dado se le separa en grupos de tres en tres, empezando de derecha a izquierda, y el último grupo tiene uno o dos cifras a los que le faltan se les completará con ceros. Ejemplo 1 : Ejemplo 2 : ¿Es 626 934 divisible por 7? Veamos: Sumando los enteros obtenidos: –12 – 6 – 6 + 18 + 9 + 4 = 7 Luego, 626 934 es divisible por 7. Otra forma de hallar la divisibilidad por 7 Dado un número se separa la primera cifra de la derecha y se resta a lo que queda a la izquierda, el doble de la cifra que se ha separado y así sucesivamente ; si el resultado que queda al final es múltiplo de 7, entonces el número es múltiplo de 7. xi) Divisibilidad por 11 : Un número es divisible por 11 cuando la suma de sus cifras de orden impar menos la suma de las cifras de orden par, resulte múltiplo de 11. Si: Ejemplos : * ¿Es 9873 226 divisible por 11? g Sumemos primero las cifras de orden impar a partir de la cifra de las unidades: 6 + 2 + 7 + 9 = 24...(I) g Sumemos luego las cifras de orden par a partir de las decenas: 2 + 3 + 8 = 13...(II) g Restamos ahora (I) – (II): 24 – 13 = 11 g Luego, 9873226 es divisible por 11. * Veamos si el número 19 316 es divisible por 11. - Suma de las cifras de lugar par: 1 + 9 = 10 Suma de las cifras de lugar impar: 6 + 3 + 1 = 10 Diferencia de las dos sumas : 10 – 10 = 0 Luego, el número 19 316 es divisible por 11. Comprobemos: 19 316÷11 = 1756 Otra forma de hallar la divisibilidad por 11 : Dado un número se separa la primera cifra de la derecha, ésta se resta de lo que queda a la izquierda del número inicial y así sucesivamente; si el resultado que queda al final es múltiplo de 11, entonces el número es múltiplo de 11. xiI) Divisibilidad por 13 : Se multiplica cada cifra del numerador por el factor indicado de derecha a izquierda: Si: Ejemplo : Pues 9 – 3 – 24 – 4 + 1 = – 26 = Otra forma de hallar la divisibilidad por 13 : Dado el número se separa la primera cifra de la derecha y se resta a lo que queda a la izquierda 9 veces de la cifra que se ha separado y así sucesivamente, si el resultado que queda al final es cero o múltiplo de 13, entonces “el número es xiII) Divisibilidad por 17 : Dado un número se separa la primera cifra de la derecha y se resta a lo que queda a la izquierda, 5 veces de la cifra que se ha separado y así sucesivamente, si el resultado final es cero o múltiplo de 17, entonces el número es múltiplo de 17. Divisibilidad COMPUESTA Se descompone en factores cuya divisibilidad se conoce. * Un número es divisible por 12, cuando al mismo tiempo, lo es por 3 y por 4. * Un número es divisible por 14, cuando al mismo tiempo, lo es por 2 y por 7. * Un número es divisible por 15, cuando al mismo tiempo, lo es por 3 y por 5. * ¿51 372 es ? Veamos: ¿Es ? Si, pues termina en cifra par. ¿Es ?Si, pues:5 + 1 + 3 + 7 + 2 = 18 = nota : Un número es divisible por 16, cuando termina en 4 ceros o sus 4 últimas cifras forman un múltiplo de 16. APLICACIONES Determine cuántos números divisibles por 7 hay entre 50 y 200. Rpta:21 ¿Cuántos números divisibles por 3 y 7 a la vez hay entre 20 y 101? Rpta : 4 Un granjero tiene 2 024 huevos y desea colocarlos en cajas de una docena de capacidad, ¿cuántos huevos le sobrará? Rpta : 8 ¿Cuál es el menor número que hay que restarle a 1 469 para que el resultado sea divisible por 12? Rpta : 5
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