Conocimientos desde cero para ingresar a la universidad

DIVISIBILIDAD EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS PDF

Luego de haber analizado la teoría de división entera podemos hacer algunas afirmaciones. Por Ejemplo: Todo número entero que termina en 0 ó 5 al ser dividido entre 5 deja residuo igual a 0. Todo número impar al ser dividido entre 2 deja residuo igual a 1. Lo que nos queda por hacer es verificar estas conjeturas y ver las consecuencias que de ellas derivan, la teoría de la divisibilidad se va encargar de este estudio. DIVISIBILIDAD Es la parte de la aritmética que estudia las condiciones que debe reunir un numeral para ser divisible por otro. También nos permite encontrar el residuo de una división sin necesidad de efectuarla. DIVISIBILIDAD EN : Un número entero «A» es divisible entre otro número entero positivo «B» si al dividir «A» entre «B» el cociente es entero y el residuo es igual a cero. Simbólicamente: Si Sin embargo los elementos de la división se pueden representar mediante su algoritmo, esto es: Ejemplos: * De estos ejemplos podemos sacar algunas conclusiones. I) Si el número entero N es múltiplo de 12, significa que N se va a obtener de multiplicar 12 por un entero k, 12 tiene divisores, lo cual permite expresar 12 de diferentes modos: N = 12k = 2(6k) =3(4k) = 4(3k) se observa que en cada caso podemos tomar un módulo como referencia, es decir podemos afirmar también que N es múltiplo de 3 , 4 , 6 , y 2 De aquí se concluye: «Todo número entero es múltiplo de sus divisores enteros positivos» Ejemplos: * N es múltiplo de 15 , como: 15 = 5 × 3 Luego se puede afirmar que: N es múltiplo de 3 ó N es múltiplo de 5 II) El cero es múltiplo de todo módulo 0 es múltiplo de 5 porque: 0 = 5 (0) 0 es múltiplo de n porque: 0 = n (0) donde DIVISOR : Número contenido en otro , una cantidad exacta de veces. MúLTIPLO : Es el número que contiene al otro , un número exacto de veces. Ejemplo : OBSERVACIÓN : Si «A» es divisible entre «B» también se puede decir que: * «A» es múltiplo de «B» * «B» es un factor de «A» * «B» es módulo de «A» * «B» es divisor de «A» Al decir que los términos múltiplo y divisor son correlativos, se quiere expresar que donde quiera que consideremos un múltiplo habrá que considerar un divisor y viceversa. Ejemplo : Conjunto de divisores de un número: Para hallar los divisores de un número es suficiente encontrar todos los productos equivalentes a dicho número. Por ejemplo : * Divisores de 12. 12 = 1 × 12 12 = 2 × 6 12 = 3 × 4 Divisores de 12 : {1; 2; 3; 4; 6; 12} * Divisores de 36 36 = 1 × 36 36 = 2 × 18 36 = 3 × 12 36 = 4 × 9 36 = 6 × 6 Divisores de 36 : {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36} NOTAS: El conjunto de divisores de un número distinto de cero es finito. Una característica de la matemática es el lenguaje simbólico, lo cual permite resumir considerablemente lo que textualmente sería poco difícil de entender. Y en este caso también dicho simbolismo nos presta gran ayuda, sobre todo en la multiplicidad para la cual se tiene una notación, Si A es múltiplo de B lo denotaríamos así: Ejemplos : NOTA : * A es divisible entre B<>A es múltiplo de B. * Todo divisor de un número, es un factor de dicho número. Si un número estero A es múltiplo o divisible entre otro entero positivo B se denota: Ejemplos : I) Indique en forma explicita los divisores positivos de 12 y –25 * Se observa que un número es múltiplo o divisible de cada uno de sus divisores positivos. II) Indique en forma explicita los múltiplos de 7 y 11. Hasta el momento, sólo hemos visto los múltiplos de un módulo , sin embargo también se tiene números que no son múltiplos de algún módulo. Y esto sucede porque no se está cumpliendo la definición, es decir la división resulta inexacta, y de está se tiene dos tipos. Ejemplos: 68 no es divisible entre 7, porque al dividir 68 entre 7 la división es inexacta, efectuándola por: * Por el algoritmo de la división: 68 = 7(9) + 5 68 = 7(10) – 2 * Usando la notación de la multiplicidad, para trabajar sólo con el módulo, obtenemos: Números no divisibles Si un número entero A al dividirlo entre el número entero positivo B , la división resulta inexacta, se afirma que A no es divisible entre B . por ser inexacta la división puede ser de dos tipos. Donde y se cumple : * Si un número no es múltiplo de un módulo, se puede expresar dicho número respecto a este módulo por defecto o por exceso. Ejemplos : Además: g Si: g Si: APLICACIONES ¿Cuántos múltiplos de 17 hay entre 27 y 112? Rpta : 5 Escriba los múltiplos de 18 que sean mayores que 50 y menores que 130. De ellos, ¿cuánto suman los dos mayores? Rpta : 234 Dado el conjunto: K = {2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16}. ¿Cuántos elementos de K son múltiplos de 3? Rpta : 2 En cada ( ) colocar V (Verdadero) o F(Falso), según corresponda. I) 32 es divisor de 8 . . . . . . . . . . . . ( ) II) 28 tiene dos divisores impares . . . ( ) III) Los divisores de 16 suman 32 . . . ( ) ¿Cuál es verdadera? Rpta : Solo II Dados los conjuntos: M = {9; 20; 24; 36; 39; 42; 48} N = {7; 14; 24; 48; 50} Calcular la suma de los elementos de (M Ç N) que sean múltiplos de 3 y 4 a la vez. Rpta : 72 OBSERVACIÓN : En situaciones concretas nos encontraremos con números que son o no múltiplos de algún módulo y será necesario operar y trabajar con ellos para esto necesitamos algunas «herramientas» que nos permiten dar respuestas a la situación planteada. Esta necesidad nos lleva a conocer algunos principios de la divisibilidad. principios de la divisibilidad I) La adición y sustracción de múltiplos de un mismo número siempre es igual a un múltiplo del mismo número. Ejemplos : 2) La multiplicación de un múltiplo de «n» por un entero, da como producto un múltiplo de «n». Ejemplos : 3) La potencia de un múltiplo resulta otro múltiplo del mismo número. Ejemplos : 4) Si un número es múltiplo entre cierto módulo, es múltiplo con cada divisor del módulo. Ejemplos : Entonces: 5) Si un número es múltiplo con varios módulos, entonces es múltiplo del MCM de dichos módulos Ejemplo 1 : Sea: En general: Ejemplo 2 : En general : DIVISIBILIDAD APLICADA AL BINOMIO DE NEWTON Empecemos mostrando algunos ejemplos Sea: Ahora demos valores a “k”: De igual modo: Como: EN GENERAL: ahora un ejemplo con sustracción: EN GENERAL: Más ejemplos: Principio de Arquímedes Si el producto de dos números enteros es múltiplo de cierto módulo n y uno de los números no es múltiplo de algún divisor del módulo n (aparte de la unidad), entonces el otro número debe ser múltiplo de dicho módulo n. Empecemos mostrando algunos ejemplos I) Dado: Luego como 3a es , entonces debe tener factor 7 ,como 3 no tiene factor, por lo tanto “a” lo tiene, es decir: II) Dado: Luego Podemos afirmar que 12b por ser múltiplo de 15, debe tener factor 15 , y 12 no tiene factor 15. Sin embargo, 12 y 15 comparte un factor que es 3, por lo que para que 12b sea múltiplo de 15 sólo le falta el factor 5. Por lo tanto b es . Esto también podemos analizar algebraicamente, veamos: Resumiendo así: como , donde 12 y 15 tiene como factor común a 3, podemos simplificar sin ningún problema, así: De donde concluimos finalmente que más Ejemplos: EN GENERAL: Sí: Donde “A” y “n” no tiene divisores en común, entonces: ejemplos: Forma práctica : APLICACIONES Si al residuo que se obtiene al dividir 9266 entre 7 se le suma cinco, ¿cuánto se obtiene? Rpta : 6 Hallar el residuo que se obtiene al dividir 2356 entre 9. Rpta : 1 ¿Cuánto le falta al residuo de 14 0982 entre 8, para que sea 32? Rpta :28 El número de lapiceros que compré no es mayor que 257 ni menor que 138. Si los agrupo de 6 en 6 me sobran 3; si los agrupo de 7 en 7 me sobran 2, pero si los agrupo de 5 en 5 me faltaría 1. ¿Cuántos lapiceros compré? Rpta : 219 El número de hojas del libro que compré está comprendido entre 210 y 245. Si se cuentan de 13 en 13 sobran 6, de 17 en 17 sobran 2. ¿Cuántas hojas tiene el libro? Rpta:240
Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...

SI DESEAS OTRO TEMA BUSCAR AQUÍ

COLECCIÓN RUBIÑOS 2019