Matemáticas , física y química desde cero

MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO MCD-MCM PROBLEMAS RESUELTOS DE ARITMÉTICA ESCOLAR Y PRE UNIVERSIDAD PDF

  • CLICK AQUI PARA ver TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS
  • CLICK AQUI ver PROBLEMAS RESUELTOS
  • CLICK AQUI ver ALGORITMOS DE EUCLIDES EN MCD
  • CLICK AQUI ver MCD en VIDEOS
  • CLICK AQUI ver MCM en VIDEOS
  • OBJETIVOS : Conocer aspectos básicos que rigen al M.C.D y M.C.D. INTRODUCCIÓN : Cuando forramos nuestros cuadernos o libros hacemos que el papel que usamos nos alcance para un número determinado de estos, pero lo hacemos en forma mecánica sin mayor cálculo, solo pensando en no desperdiciar el papel forro. Asimismo en el que hacer cotidiano de las actividades productivas se trata de hacer cálculos con el objeto de «no desperdiciar» materiales y recursos y así evitar gastos innecesarios. Si tienes que aplicar tu dinero a movilidad y refrigerio tratarás de obtener el servicio de transporte y alimentos que te satisfaga y tu decisión se hará si usas taxi o microbús, si consumes un menú o un sándwich. Para ello tendrás que razonar respecto al dinero que tienes para la semana o quince días y etc. De igual modo tendremos que hacer cálculos cuando se utilizan rollos de tela para efectuar el corte y hacer pantalones, para diseñar los empaques cajas que contenga un número adecuado de productos, en el número de cortes de las cerámicas para enchapar pisos y en la división de un terreno para hacer lotes y áreas para una urbanización. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (mcd) Dado un conjunto de cantidades se define al MCD de estas como aquel número que cumple las siguientes condiciones: I) Es un divisor común de las cantidades. II) Es el mayor de los divisores comunes . Ejemplo 1 : Halle el mayor divisor común de 42 y 63. Resolución : Þ MCD (42 ; 63) = 21 Ejemplo 2 : Dado el número 6; 12; 18 Divisores comunes {1; 2; 3; 6} 6 es el mayor divisor común Þ MCD (6; 12; 18) = 6 Ejemplo 3 : Dados los números 26 ; 91; 65 Divisores comunes {1; 13} 13 es el mayor divisor común Þ MCD (26; 65; 91) = 13 nota : * Los divisores comunes de un conjunto de cantidades son los divisores de su MCD. * El MCD está contenido en los números. Ejemplo 4 : determinar el MCD de 15 ; 20 y 12 Resolución : Como 15 ; 20 y 12 son PESI MCD(15 ; 20 ; 12) = 1 Ejemplo 5 : determinar el MCD de 60 ; 105 y 15 Resolución : Como se observa: Þ MCD (60; 105; 15) = 15 MíNIMO COMÚN MúLTIPLO (MCM) Dado un conjunto de cantidades se define el MCD de estas como aquel que cumple lo siguiente: I) Es un múltiplo común de las cantidades. II) Es el menor de estos múltiplos comunes. Ejemplo 1 : Sean 4 y 6 Hallemos sus múltiplos 4 :4 ; 8 ;12 ; 16 ; 20 ; 24 ; 28 ;32 ;36 ; 40;... 6 : 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; 42 ; .......... Þ MCM [4; 6] =12 Múltiplos de 12: 12 ; 24 ; 36 ;....... Ejemplo 2 : determine el menor múltiplo común de 10 y 15. Resolución : Þ MCM (10; 15) = 30 Ejemplo 3 : Dados los números 4; 3 y 6 Múltiplos comunes {12; 24; 36;....} el menor de estos múltiplos comunes es 12. MCM (4 ; 3 ; 6) = 12 OBSERVACIÓN : Los múltiplos comunes de un conjunto de cantidades son múltiplos de su MCM. El MCM es un número que contiene a los números. Ejemplo 4 : determine el MCM de 15 y 28 Resolución : Como 15 y 28 son PESI se observa: MCM (15, 28) = 15×28 = 420 Ejemplos 5 : Calcule el MCM de: 15; 4 y 7 Resolución : Como 15; 4 y 7 son PESI 2 a 2 MCM (15; 4; 7) 15×4×7 Métodos para el cálculo del MCD y MCM I)descomposición simultánea : A) PARA EL MCD : Se descomponen simultáneamente los números dados en sus factores primos comunes hasta que los cocientes obtenidos al ir dividiendo los números entre dichos factores sean primos entre si. El MCD es igual al producto de los factores primos comunes así hallados. Ejemplo 1 : Calcular el MCD (48 ; 72 ; 96) Resolución : Þ MCD (48; 72; 96) = 24 B) PARA EL MCM : Se extraen de los números , todo los factores comunes y luego todos los no comunes hasta obtener la unidad en cada una. El producto de los factores extraídos es el MCM de dichos números. Ejemplo 2 : Calcular el MCM de 120 ; 180 y 300 Resolución : Þ MCM (120;180;300) = 1800 Ejemplo 3 : Calcule el MCD y MCM de: 80; 120 y 200 Resolución : I) Hallamos el MCD. Þ MCD (80 ; 120 ; 200) = 40 Cada número del conjunto de números se puede expresar en función al MCD del conjunto de números: En general : Sean los números A; B y C. MCD(A; B; C) = k, luego: II) Hallando el MCM: Þ MCM [80; 120; 200] = 1200 Expresamos al MCM en función de cada número: En general : Sean los números A; B; C donde MCM [A; B; C] = m, luego: Ejemplo 4 : Calcule el MCD y MCM de: 60 ; 90 Resolución : Luego: MCD (60; 96) = 12 Þ MCM [60; 96] = 12 × 5 × 8 Þ MCM [60; 96] = MCD (60; 96)× 5 × 8 Además: Þ 60 × 96 = MCD × MCM En general : Para dos números A y B MCM [A; B] = m Entonces: I) m = k p q II) AB = km Ejemplo 5 : Analicemos que sucede con el MCD y MCM de los números 60 ; 90 ; 105 MCD (60 ; 90 ; 105) = 15 60 =15 × 4 Þ 60 × 8 = 15 × 8 × 4 90 = 15 × 6 Þ 90 × 8 = 15 × 8 × 6 105 =15 × 7 Þ 105 × 8 = 15 × 8 × 7 Þ MCM (60 × 8; 90 × 8; 105 × 8) = 15 × 8 MCM [60;90;105] = 1260 1260 = 60× 21 Þ1260 × 6 = 60 × 6 × 21 1260 = 90 ×14Þ1260 × 6 = 90 × 6 × 14 1260 = 105×12Þ1260 × 6 = 105×6 ×12 ÞMCM [60 × 6; 90 × 6; 109 × 6] = 1260 × 6 II) POR DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA : Dado un conjunto de cantidades con su respectiva descomposición canónica A) Para el MCd : Es igual al producto de los factores primos comunes de todas las cantidades, elevadas a sus menores exponentes B) Para el MCM : Es igual al producto de los factores primos comunes y no comunes elevados a sus mayores exponentes: Ejemplo 1 : determinar el MCD de 60 ; 24 y 36 Resolución : Primero hagamos la descomposición canónica de los números mencionados: 60 = 22×3×5 24 = 23 ×3 36 = 22 ×32 Ahora tenemos los factores primos que aparezcan a la vez en todos los números, y pondremos el menor exponente que tengan. Ejemplo 2 : determinar el mcm de 12; 20 y 30 Resolución : Descomposición canónica: Ahora pondremos todos los factores primos que aparezcan aunque sea sólo una vez, y les pondremos el mayor exponente que tengan. Ejemplo 3 : Dados los números: POR DIVISIONES SUCESIVAS O ALGORITMO DE EUCLIDES (Sólo para el cálculo del MCD) En toda división entera inexacta el MCD del dividendo y el divisor es el MCD del divisor y el residuo. Ejemplo 1 : Calcule el MCD de 69 y 49 Entonces MCD (69; 48)=3 Donde: 1; 2; 3 y 2 son los cocientes sucesivos 21; 6; 3 son los residuos sucesivos OBSERVACION : Las divisiones pueden ser realizados ya sea por defecto o por exceso. Ejemplo 2 : Calcule el MCD de 156 y 120 Euclides ordenó todas estas divisiones del siguiente modo: En general: sean los números A y B donde A > B MCD (A; B)=r3 No olvidar que las divisiones se pueden realizar por defecto o por exceso. Ejemplo 3 : Calculemos el MCD de 144 y 56. Por defecto: Por exceso: Ejemplo 4 : Calcule el MCD de 588 y 114. Notamos que se divide hasta que el último residuo es 0, siendo el MCD, de 588 y 114, igual a 6. Þ MCD (588 ;114) = 6 RELACIONES DEL ALGORITMO DE EUCLIDES CON DESARROLLO EN FRACCIONES CONTINUAS El algoritmo de Euclides está intimamente ligado al proceso de formar fracciones continuas. Para convertir una fracción dada en una fracción continua se sigue el mismo procedimiento que se usa para calcular el MCD ( por el algoritmo de Euclides) Ejemplo 1 : Desarrollar en fracción continuas. Luego: De lo anterior se observa que: Ejemplo 2 : Desarrollar en fracción continua. Los cocientes sucesivos son: 1; 2; 2; 2; 1; 1; 2 y 2 por lo tanto. Ejemplo 3 : Desarrollar en fracción continua. Los cocientes sucesivos son: 3; 5; 8 y 6. Luego: «Las fracciones obtenidas deteniendo la operación en el primero, segundo, tercero ,.....cocientes de una fracción continua se llama primera , segunda, tercera,.....reducidas. Regla de Sturm para hallar MCD de varios números Dado el conjunto de números , se divide cada uno de los números dados entre el menor de ellos , se considera entonces éste divisor y los restos de las divisiones que hubiesen resultado inexactas se dividen entre el menor de ellos y así sucesivamente, prescindiendo siempre en el curso de las operaciones de los restos que sean nulos (ceros), el último divisor empleado será el MCD del conjunto de los números. Ejemplo 1 : Calcular el MCD de 2520 ; 3060 ; 2790 y 4545. Resolución : Luego MCD(2520; 3060; 2790; 4545) = 45 Ejemplo 2 : Calcular el MCD de 840; 345; 650;725;2 80 utilizando la regla de Sturm. Resolución : PROPIEDAD : I) Dado un conjunto de números , si se divide cada uno de ellos entre su MCD los cocientes obtenidos son números P.E.S.I. Sea: EJEMPLO : MCD (21;14 ; 28) = 7 Para dos números A y B Sea el MCD (A;B) = d Despejando : A = d× p ; B =d×p II) Dados los números A, B, C: Ejemplo : Calcular el MCD de: 56–1 ; 5 8 –1 y 510–1 Resolución : Aplicando la propiedad I) se obtendrá: MCD (5 6–1; 5 8–1; 510–1) =5 MC D(6, 8, 10) -1 = 5 2–1 = 24 EJERCICIOS i) COMPLETA el MCD de los números pedidos usando lo que hemos aprendido. ii) Calcular el MCD de los siguientes números mentalmente, ¡Tú puedes! iii) Completa el MCM de los números pedidos aplicando lo que hemos aprendido. iv) Calcula mentalmente el MCM de los siguientes números, ¿es fácil!. Aplicaciones del Máximo Común Divisor (M.C.D.) y Mínimo Común Múltiplo (m.c.m) Para aplicar M.C.D. y m.c.m. a problemas sólo debes recordar qué es m.c.m. y M.C.D., y sus principales propiedades. Conviene añadir una propiedad muy importante: Tomemos dos números cualesquiera, por ejemplo 6 y 10. Hallemos su m.c.m. y su M.C.D. M.C.D. (6; 10) = 2 m.c.m. (6; 10) = 30 Observa que: 2×30 = 6×10; esto siempre se cumple para dos números (haz la prueba), así que podremos decir lo siguiente: Para dos números enteros y positivos A y B se cumple que: M.C.D. (A;B)×m.c.m. (A;B) = A×B ejercicio 1 : ¿Cuál es el menor número tal que al dividirlo por 4 ; 5 y 6 no deja residuo? resolución : Para que un número, al dividirse por otro, no deje residuo, la división debe ser exacta; por lo tanto, el número que buscamos, al ser dividido por 4, por ejemplo, dará una división exacta, lo que quiere decir que el número debe ser múltiplo de 4; lo mismo para 5 y 6, por lo que el número debe ser múltiplo a la vez de 4; 5 y 6, y como piden el menor, ese será el m.c.m., por tanto: m.c.m.( 4; 5; 6) = 60 , que es el número pedido ejercicio 2 : ¿Cuál es el m.c.m. de dos números, cuyo producto es 40 y cuyo M.C.D. es 2? resolución : No olvides que el producto de dos números es igual al de su M.C.D. por su m.c.m.; de acuerdo a los datos que tenemos, el m.c.m. es un número que multiplicado por 2 (el M.C.D.) debe dar 40 (el producto de los dos números), y ese número es: 40÷2 = 20, que es el m.c.m. buscado. ejercicio 3 : En una bolsa hay 30 galletas de soda, 36 de vainilla y 42 de chocolate. Si las reparto entre mis amigos de tal manera que a cada uno le toque la misma cantidad de galletas de cada clase, ¿a cuántos amigos como máximo les podré repartir las galletas, sin que sobren ni falten galletas? resolución : Fíjate que debo repartir las 30 galletas de soda (por ejemplo) entre mis amigos, y para que a todos les toque la misma cantidad, sin sobrar ni faltar, debo tener tantos amigos que pueda dividir las 30 galletas exactamente, es decir, el número de amigos que tengo es DIVISOR de 30; lo mismo se aplica para las 36 de vainilla y las 42 de chocolate. Conclusión: el número de amigos que tengo es divisor común de 30; 36 y 42, y como quiero la máxima cantidad, será el M.C.D., por ello: M.C.D.(30; 36; 42) = 6 son los amigos que tengo PROBLEMA 1 : Calcular el MCD de los números: A = 243 × 184 y B = 1215×273 A) 214 × 27 B) 213× 314 C) 213 × 311 D) 211 × 312 RESOLUCIÓN : A=(23× 3)3×(2× 32)4 =29×33× 24×38= 213×311 B = (22 × 3)15× (33)3 = 230× 315 × 39 = 230× 324 Luego el MCD (A, B), será: 213 × 311 RPTA : “C” PROBLEMA 2 : El mcm de los números C = 1220 × 1810 y D = 630 × 810 es 2x× 3y Calcular x + y A) 40 B) 20 C) 120 D) 100 E) 90 RESOLUCIÓN : Como: C = (22 × 3)20× (2 × 32)10 Þ C = 240 × 320 × 210×320 = 250×340 Además: D = 630 × 810 = (2 × 3)30 × (23)10 Þ D = 230× 330 × 230 = 260× 330 Entonces: MCD (C,D) = 260 × 340 Con lo que: x = 60; y = 40 Se pide: x + y = 60 + 40 = 100 RPTA : “D” PROBLEMA 3 : Calcule A + B si: A = MCD (51 ; 666 ; 4002) B = MCM (1 400 ; 200 ; 70) A)121 B) 4072 C) 1451 D) 5402 E) 1403 RESOLUCIÓN : Primero: A = MCD(51 ; 666 ; 4002) = 3 Luego: B = MCD (1400 ; 200 ; 70) = 1400 Se pide A + B = 3 + 1400 = 1403 RPTA : “e” PROBLEMA 4 : En una pista circular tres atletas corren en una misma dirección. El primero demora 10 s en dar una vuelta, el segundo 11 s y el tercero 12 s. ¿Cuántos minutos tardan en pasar juntos por la partida por primera vez? A) 22 B) 12 C) 10 D) 20 E) 11 RESOLUCIÓN : El primero demora 10 s en dar una vuelta, entonces desde el inicio hasta que pase por el punto de partida el tiempo que transcurre debe ser múltiplo de 10 s. De igual manera para el segundo y el tercero, el tiempo transcurre debe ser múltiplo de 11s y 12 s. Sea t el tiempo que debe transcurrir para que pasen simultáneamente por el punto de partida. Para la primera vez, el tiempo (t) es mínimo t = MCM (10; 11;12) = 660 s = 11 minutos RPTA : “e” PROBLEMA 5 : A y B dan una vuelta alrededor de una pista circular en 4 y 6 minutos respectivamente. Si parten juntos de un mismo punto, ¿cuántas veces volverán a pasar juntos por el mismo punto a lo largo de 2 horas? A) 11 B) 10 C) 9 D) 8 E) 7 RESOLUCIÓN : Deben transcurrir t = MCM (4;6) = 12 Minutos, cosa que en 2 horas = 120 minutos Coincidirán en total: 12012 = 10 veces RPTA : “b” PROBLEMA 6 : Omar, Yeny y Rosa son primos. El 12 de mayo coinciden en visitar a su abuela Damiana, pero se sabe que • Omar la visita cada 30 días. •Yeny la visita cada 18 días. •Rosa la visita cada 15 días. ¿Cuál será la fecha más próxima que vuelven a coincidir a su abuela? A) 10 Julio B) 9 Julio C) 10 Agosto D) 5 Octubre E) 4 Junio RESOLUCIÓN : Sea n es número de días que pasan para volver a encontrarse. Entonces: N = MCM (30; 18; 15) Þ N = 90 días Þ La fecha más próxima es 10 de agosto. RPTA : “c” PROBLEMA 7 : Se tiene un terreno rectangular de 60 m por 36 m y se quiere dividir en parcelas cuadradas, tal que el número parcelas sea mínimo. Halle cuántas estacas se utilizará en el terreno, si las estacas van en cada esquina de una parcela. A) 36 B) 24 C) 48 D) 40 E) 20 RESOLUCIÓN : Para que haya la menor cantidad de parcelas, tiene que ser el mayor divisor común de 60 y 36 = MCD (60; 36) = 12 Entonces tendríamos: Con lo que habrá 24 estacas. RPTA : “b” PROBLEMA 8 : Tres ciclistas parten a un mismo tiempo y de la misma línea de una pista circular. En cada vuelta tardarán respectivamente 1 min 12s; 1min 30s; 1min 45s. ¿Cuántas vueltas habrá dado cada ciclista cuando hayan pasado nuevamente y a la vez por la línea de partida? A) 105; 90 y 72 B) 35; 28 y 24 C) 30; 28 y 26 D) 24; 20 y 18 E) 72; 36 y 18 RESOLUCIÓN : Los ciclistas A; B y C emplean respectivamente A: 1min 12s = 72s B: 1min 30s = 90s ; C: 1min 45s = 105s Sea «t» el tiempo al cabo del cual se vuelven a encontrar, por lo tanto se cumple que: Por primera vez sucede cuando hayan pasado: mcm(72; 90; 105) = 2520s. Entonces en ese tiempo han dado: RPTA : “B” PROBLEMA 9 : Tres corredores compiten en una carrera sobre una pista circular de 1200 metros con velocidad de 150m/min, 100m/min y 80m/min. ¿Al cabo de qué tiempo pasarán juntos por el punto de partida por quinta vez? A) 6 horas B)7 horas 20 minutos C)10horas D) 8 horas E)8 horas 30 minutos RESOLUCIÓN : De la pista de 1200 m parten de un mismo punto los corredores, siendo sus tiempos para dar una vuelta: Entonces el tiempo de encuentro por 1ra. vez en el punto de partida es MCM (8; 12; 15) = 120min. Cada 120 minutos los tres coinciden en el punto de partida. Por quinta vez. (120 minutos)× 5 = 600 minutos < > 10 horas RPTA : “c” PROBLEMA 10 : Se tienen cubos de 2 ; 4 y 3 cm de arista y uno que puede contener a un número entero de cada uno de ellos y cuya arista es un número entero en cm. Hallar el valor de dicha arista. A) 16 B) 40 C) 24 D) 30 E) 32 RESOLUCIÓN : La arista (a) debe ser múltiplo de las tres dimensiones del ladrillo: Luego: a = 12k Los posibles valores de «a» son: 12; 24; 36; 48;...; 12k De las alternativas: a = 24 RPTA : “c” PROBLEMA 11 : Un obrero trabaja 10 días seguidos y descansa 2 días. Si empieza a trabajar un día lunes ¿cuántos días han de pasar para que le toque descansar sábado y domingo? A) 68 B) 70 C) 72 D) 84 E) 82 RESOLUCIÓN : Empieza un día lunes a trabajar entonces los dos días anteriores (S y D) descansó. Luego el número de días que deben transcurrir debe ser: (no se considera los días S y D). Además S y D ocurre cada 7 días, entonces el número de días que deben transcurrir También debe ser: (no se considera S y D), luego: Luego en mínimo número de días será: 84 – 2 = 82 días. RPTA : “e” PROBLEMA 12 : Julio compró cierto número de trajes por S/. 31 500 y vendió unos cuantos en S/. 15 000, cobrando por cada traje lo mismo que le había costado. Hallar cuántos trajes quedan si el precio de estos es el mayor posible. A) 9 B) 12 C) 11 D) 16 E) 15 RESOLUCIÓN : P = Precio de cada traje a = número de trajes comprados b = número de trajes vendidos «p» es el mayor posible Del enunciado: ap = 31 500 ...I) bp = 15 000 ...(II) Se observa que «p» (número entero) es divisor de 31 500 y 15000, y como es el mayor posible: p = M. C. D. (31 500; 15 000 ) Luego: MCD= p = 100×5×3 = 1 500 a = 21 y b = 10 Entonces, compró 21 trajes y como vendió 10, le quedaron 11 trajes. RPTA : “C” PROBLEMA 13 : Un padre con sus 6 hijos plantan árboles en el perímetro de un terreno triangular cuyos lados son 150m, 225m y 360m. ¿Cuántos árboles como mínimo habrán sembrado cada uno, si la distancia entre cada árbol es la misma y todos sembraron la misma cantidad de árboles? A) 8 B) 13 C) 7 D) 12 E) 6 RESOLUCIÓN : Se observa d es divisor de 150; 225 y 360, además como el número de árboles es mínimo la separación entre cada árbol debe ser máxima. d es máximo. d= MCD (150; 225; 360) Número de árboles 10 + 15 + 24 = 49 Número de personas 6 + 1 = 7 Cada uno siembra 49÷7=7 RPTA : “c” PROBLEMA 14 : ¿Cuál es la menor capacidad que debe tener un depósito de agua que se puede llenar en un número exacto de minutos por cualquiera de tres grifos que vierten 48 litros por minuto, 62 litros por minuto y 54 litros por minuto; si además se puede desaguar en una cantidad entera de minutos por un orificio ubicado en la base del depósito, retirando por dicho orificio 60 litros por minuto? . Dé como respuesta la suma de cifras. A) 30 B) 27 C) 40 D) 12 E) 7 RESOLUCIÓN : Se observa: V es un múltiplo común de 48; 62; 54 y 60. V = MCM (48; 62; 54; 60) V = 66 960 Suma de cifras 6 + 6 +9 + 6 + 0 = 27 RPTA : “b” PROBLEMA 15 : Se tienen ladrillos cuyas dimensiones son 6;12 y 8cm, se desea apilarlos formado un cubo compacto. Si por cada 8 ladrillos se rompe 1, ¿Cuántos se gastará para formar el cubo compacto (Precio Ladrillo = S/. 2) gastando lo mínimo? A)S/.48 B)S/.46 C)S/.44 D)S/.54 E) S/.56 RESOLUCIÓN : Con 8 cubos de los anteriores formamos un cubo compacto Número 24 × 8 = 192 de ladrillos. Faltan 192 – 170 = 22 ladrillos Se pide el gasto , lo cual, será: 22 × 2 = 44 RPTA : “C” PROBLEMA 16 : Si: MCD (D: 20) = 4 Calcule la suma de los valores de D que son menores que 30. A) 90 B) 92 C) 94 D) 98 E) 100 RESOLUCIÓN : Del enunciado: MCD (D: 20) = 4 Nos pide: suma de valores D , lo cual será: 4(1+2+3+4+6+7) = 4(23) = 92 RPTA : “b” PROBLEMA 17 : ¿Cuáles son los dos números primos entre sí cuyo MCM es 330 y su diferencia 7? A) 55 y 46 B) 22 y 29 C) 18 y 25 D) 22 y 15 RESOLUCIÓN : Sean A y B dos números primos entre sí, luego de los datos:mcm (A;B) = 330 AB = 330...(I) A – B = 7 ...(II) Luego descomponemos el 330, en dos factores que se diferencien en 7; así: 330 = 3×11×2×5 = 15×22 De donde se deduce, que: A = 22 y B = 15 RPTA : “d” PROBLEMA 18 : Hallar K sabiendo que: MCD (210k; 300k ; 420k) =1200 A) 6 B) 15 C) 30 D) 40 E) 90 RESOLUCIÓN : Encontremos k, si MCD(210K; 300K ; 420K) = 1200...(I) Descomponiendo en sus factores primos: 210K = 2 × 3 × 5 × 7 × k 300K = 22 × 3 × 52 × k 420K = 22 × 3 × 5 × 7× k MCD (210K; 300K; 420K) = 2× 3× 5× k De (I): MCD (210K; 300K; 420K) = 2× 3× 5× K =1200 30K = 1200 K = 40 RPTA : “d” PROBLEMA 19 : Al calcular el MCD de 2 números mediante el algoritmo de Euclides se obtuvo los cocientes sucesivos 2;1; 3 y 2. Si la suma de dichos números es 782, hallar la diferencia. A) 575 B) 199 C) 368 D) 345 E) 207 RESOLUCIÓN : Sean los números: A y B MCD (A;B) = d Dato: Piden: A – B =16d = 16(23) = 368 RPTA : “c” PROBLEMA 20 : Halle la diferencia de dos números enteros cuyo M. C. M. es 22 400 y tales que en el cálculo de M. C. D. mediante divisiones sucesivas se obtuvieron 2 ; 5 y 3 sucesivamente como cocientes. A) 640 B) 710 C) 760 D) 790 E) 830 RESOLUCIÓN : Sean los números A y B: Dato: Luego: A – B=19×(40)=760 RPTA : “C” ¿Cuál es el mayor? I) mcm (147; 105) II) mcm (60; 80; 9) III) mcm (49; 15) A) I B) II C)III D) I y II E) I y III ¿Cuál es el menor? I) MCD (66; 374) II) MCD (54; 216) III) MCD (198; 286) A) I B) II C) III D) I y II E) I y III determinar el MCM de los cuatro primeros números primos. A) 210 B) 30 C) 1155 D) 120 E) 60 determinar el MCD de (30× 16) y de (21×18) A) 3 B) 2 C) 6 D) 9 E) 12 ¿Cuál es el menor? I) El MCM de 15 y 8 II) El MCD de 240 y 360 III) El MCM de 20 y 36 A) I B) II C) III D) I y II E) I y III ¿Cuál es la próxima fecha que se juntarán Paco, Peco y Pico en un restaurante, si se encontraron el 5 de noviembre y además Paco va cada 4 días, Peco cada 6 días y Pico cada 8 días? A) 29 de noviembre B) 24 de noviembre C) 20 de noviembre D) 10 de noviembre Si: A = 32 ×5×7 B= 33 ×52×2 determinar el MCD de «A» y «B» A) 32 B) 32× 52 C) 32× 52×7 D) 33×52 E)32× 5 determinar el mayor divisor común de 720 y 900. A) 170 B) 160 C) 150 D) 180 E)190 ¿Cuál es el divisor mayor y común de 32×40 y 16 ×60 ?. A) 319 B) 318 C) 320 D) 325 E) 330 Tenemos 95 galletas, 54 chocolates y 150 bombones. Necesitamos empaquetarlos en bolsas que contengan la misma cantidad de cada artículo. ¿Cuál es la mínima cantidad de bolsas que se necesita? A) 34 B) 36 C) 38 D) 39 E) 49 ¿Cuál es el producto del MCD y MCM de los números 21; 39; 7 y 3? A) 21 B) 270 C) 273 D) 91 E) 182 ¿Cual es el menor número entero positivo que dividido por 30; 84 y 64 resulte siempre una división exacta? A) 6520 B) 6720 C) 6300 D) 6410 E) 6620 Juan, Roberto y Pablo visitan a Víctor en su casa cada 6; 3 y 8 días respectivamente. Si los tres juntos la visitaron el 2 de abril ¿Cuál será la fecha más próxima en que volverán a coincidir en la visita los tres? A) 1ro de mayo B) 4 de mayo C) 20 de abril D) 26 de abril E) 20 de abril Se quiere cercar un terreno de forma rectangular, de 792 m de largo y 360 m de ancho, utilizando estacas uniformemente espaciadas, con una distancia de separación no menor de 10m y no mayor de 26m. ¿Cuántas estacas se utilizarán? A)180 B) 240 C)192 D)360 E)128 Dos ciclistas recorren una pista circular. El primero tarda 18 minutos en dar la vuelta y el segundo 24 minutos. Si ambos parten del mismo punto ¿al cabo de cuánto tiempo volverán a encontrarse? A) 80 B) 81 C) 75 D)72 E)64 Melissa va al cine cada 12 días;Victoria cada 15 días y Paty cada 10 días ¿cada cuántos días se encuentran las tres en el cine? A)40 B) 50 C) 60 D)80 E) 72 Tenemos 48 cuadernos , 64 libros y 144 lapiceros. Necesitamos empaquetarlos en bolsas que contengan la misma cantidad de artículos ¿Cuál es la mínima cantidad de bolsas que se necesitan? A) 16 B) 15 C) 14 D) 10 E) 12 Con los tarros de leche de un almacén se pueden llenar cajas de 80 ; 60 y 30 tarros sin que sobre ninguno. Si en el almacén hay la menor cantidad de tarros posibles. ¿Cuántos tarros hay? A) 120 B) 210 C) 240 D) 210 E) 280 Dos ciclistas recorren una pista circular. El primero tarda 15 minutos en dar la vuelta y el segundo en 18 minutos. Si ambos parten del mismo punto, ¿al cabo de cuánto tiempo volverán encontrarse? A) 84 B) 90 C) 95 D) 98 E) 100 Se tiene 3 varillas de madera de 36cm , 78 cm y 96cm que van a ser cortados en trozos de igual longitud de tal manera que obtenga el menor número posible de ellos, sin que sobre madera. A) 36 B) 38 C) 39 D) 35 E) 40 Al hallar el mcm de 12; 100 y 72 por descomposición polinómica, ¿Cuál es el mayor y el menor exponente que aparecen en las diferentes descomposiciones? Súmalos y añade dicha suma al mcm encontrado. El resultado es: A)1800 B)1801 C)1802 D)1803 E)1804 Calcule el mcm de 126; 54; 108 y 378. A) 378 B) 756 C) 765 D) 75 E) 125 Calcule el MCD de 390 ; 585 ; 780 y 975 A) 15 B) 25 C) 195 D) 75 E) 125 Halle el mcm del MCd de (90; 162) y del MCD de (30; 48) A) 20 B) 36 C) 18 D) 48 E) 60 Halle el mcm de los cuatro primeros números primos. A) 210 B) 30 C) 1155 D) 120 E) 60 Al hallar el mcm de 12; 100 y 72 por descomposición polinómica, ¿Cuál es el mayor y el menor exponente que aparecen en las diferentes descomposiciones? Súmalos y añade dicha suma al mcm encontrado. El resultado es: A)1800 B)1801 C)1802 D)1803 E)1804
    Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...

    SI DESEAS OTRO TEMA BUSCAR AQUÍ

    Matemáticas en PDF

    Mostrar más

    COLECCIÓN RUBIÑOS 2019