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NUMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS EJERCICIOS RESUELTOS DE ARITMÉTICA PREUNIVERSITARIA PDF

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  • Aritmética NÚMEROS PRIMOS Se dice que un número natural es primo o primo absoluto cuando admite tener únicamente 2 divisores positivos que son la unidad y él mismo. Ejemplo: 17 admite como divisores a 1 y 17. 
    Observaciones: 1) La unidad es el único número que no es primo ni compuesto por tener un solo divisor. 2) Se llama número primo en Z a todo número entero que posee exactamente 4 divisores 3) Si p es un número primo en Z, entonces p es un número primo en Z. NÚMEROS COMPUESTOS Se dice que un número natural es compuesto cuando admite tener más de dos divisores positivos. Los números primos menores a 100 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97 Teorema (Criterio de Eratóstenes) Sea n (n > 1). Si no existe q n , que divide a n, entonces n es un número primo. Ejemplo: Si 227 Como ninguno de los números: 2, 3, 5, 7, 11, 13 divide a 227 227 es primo. Teorema Fundamental de la Aritmética Si n (n > 1), entonces existe un conjunto finito de números primos pk k - {0}, 1 < p2 < p3 m donde: Ejemplo: Sea ab. (a + 1)a. ab la descomposición canónica del número N. Si N es el menor posible, halle la suma de cifras de N. n = 1 2 3 m p1 . p2 . p3 ... pm (descomposición canónica de n). Solución: N = 23. 32. 23 N = 1656. Por lo tanto, 1+ 6 + 5 + 6 = 18. CANTIDAD DE DIVISORES POSITIVOS (CD) Sea n (n > 1), cuya descomposición canónica es de la forma 1 2 3 m p1 . p2 . p3 ... pm , la cantidad de divisores positivos de n denotada por CD(n), está definida como: 1 2 3 m + 1) Nota: Sea n , entonces: 1) (CD (n)) = (CD primos) + (CD compuestos) + 1 2) (CD (n)) = (CD primos) + (CD no primos) 3) # (Divisores simples) = # (Divisores primos) + 1. 4) Divisor propio: Es aquel que, siendo divisor de un número, no es igual a él. Ejemplos: - Los divisores propios de 8 son: 1; 2 y 4 - Los divisores propios de 20 son: 1; 2; 4; 5 y 10 Ejemplo: El número N = 3n + 3n+3 tiene 33 divisores positivos que no son números primos, halle el número de divisores primos del número nnn . Solución: N = 3n + 3n + 3 = 3n(1 + 33) = 3n.22.7 entonces N = 3n.22.7 (CD (n)) = (CD primos) + (CD no primos) (n + 1)(3)(2) = 33 + 3 entonces n = 5. Luego nnn = 555 = 5.3.37. Por lo tanto, el número de divisores primos es 3. SUMA DE DIVISORES POSITIVOS Sea n (n > 1), cuya descomposición canónica es de la forma a . b . c , la suma de los divisores positivos de n denotada por SD(n), está definida como: SD(n) = c 1 c 1 . b 1 b 1 . a 1 a 1 1 1 1 PRODUCTO DE DIVISORES POSITIVOS Sea n (n > 1), cuya descomposición canónica es de la forma a . b . c , el producto de los divisores positivos de n denotado por PD(n) , está definido como: Ejemplo: La suma de divisores positivos y el producto de sus divisores positivos de un número son 624 y 312 56 76 respectivamente además tiene 12 divisores positivos. Calcule la suma de los divisores que no son múltiplos de 7. Solución: SD(N) = 624 PD(N) = 312.56.76 entonces NCD/2 = (32.5.7)12/2 entonces N = 32.5.7 Por lo tanto SD(N no 7 ) = 33 1 52 1 . 3 1 5 1 = 13.6 = 78 PD(n) = nCD(n)
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