ÁLGEBRA DESARROLLADA

PREGUNTA 1

Se tienen las funciones

Donde “d” y “c” son constantes, su punto de intersección es (– 2; –1). 

Halla d+c. 

A) – 1 

B) – 2 

C) 0 

D) 1 

Resolución

Rpta. : "A"

PREGUNTA 2

Sea una función lineal, que pasa por los puntos: 

(–1;1) y (4;11)

Indica su regla de correspondencia. 

A) y=x+5 

B) y= – 3x+1 

C) y=2x+3 

D) y=x+1 

Resolución

Rpta. : "C"

PREGUNTA 3

La edad de una persona hace 27 años es igual a la quinta parte de lo que tendría de aquí a 27 años despierto (sabiendo que duerme 8 horas diarias). Halla su edad hace 12 años. 

A) 50 

B) 51 

C) 63 

D) 60 

Resolución

Rpta. : "B"

PREGUNTA 4

Sea “m” el residuo de dividir 

P(x)= x⁴+ 2x²+ 1 entre Q(x)= x² – 1. 

Halla el valor de R(m), siendo

A) 15 

B) 16 

C) 17 

D) 18 

Resolución

Rpta. : "C"

PREGUNTA 5

Resuelve el siguiente sistema: 

x + a ≥ 0

ax – 1 ≤ 0 

siendo a<0 

A) [ – a; ∞ [ 

B) [ 1/a ; − a ]

C) [ –a ; a ] 

D) ] –∞ ; –a ] 

Resolución

Rpta. : "A"

PREGUNTA 6

Sea el sistema: 

ax + by = ab        ... (1)

– bx + 2ay =– b²  ... (2)

compatible determinada 

Marca la alternativa correcta: 

A) Se necesita el valor de “a” para conocer “x” 

B) Se necesita el valor de “a” para conocer “y” 

C) Se necesita el valor de “b” para conocer “x” 

D) Se necesita el valor de “b” para conocer “y” 

Resolución

Rpta. : "C"

PREGUNTA 7

Al dividir 

calcula 3Q(x) + R(x) 

donde Q(x) es cociente y R(x) es residuo 

A) 3x² + 6 

B) 3x² 

C) 3x² – 6 

D) –6 

Resolución

Rpta. : "C"

PREGUNTA 8

Dada la siguiente función: 

F(x)= 2x² – 4x – 1 

Indica en qué cuadrante se encuentra ubicado el vértice de la gráfica de dicha función: 

A) I cuadrante 

B) II cuadrante 

C) III cuadrante 

D) IV cuadrante 

Resolución

Rpta. : "D"

PREGUNTA 9

Dada la ecuación de la recta: 

Indica el valor de “a/m ” donde “m” es la pendiente de la recta y “a” es la abscisa en el origen. 

A) 6p 

B) – 4p 

C) – 6p 

D) – 8p 

Resolución

Rpta. : "B"

PREGUNTA 10

Sea F una función tal que x ∈ℝ; además, la función se define como “x” o uno menos. 

Calcula. 

A) –2 

B) –1 

C) 2 

D) 1 

Resolución

Rpta. : "A"

PREGUNTA 11

Halla “x” en: 

A) 3/2 

B) 3/4 

C) 2/3

D) 1 

Resolución

Rpta. : "C"

PREGUNTA 12

Un grupo de profesores decide realizar un viaje, cuyos gastos ascienden a S/ 200. Días antes desisten de ir dos profesores por lo que cada profesor debe aportar S/ 5 más. ¿Cuántos profesores fueron de viaje? 

A) 10 

B) 8 

C) 9 

D) 7 

Resolución

Rpta. : "B"

PREGUNTA 13

Una familia paga S/.500 por 30 km de viaje, luego paga S/.700 por otros 45 km. Halla la ecuación lineal del costo por cada kilómetro recorrido. 

A) y=x+100 

B) y=40x + 50 

C) y= 40x/3 + 100

D) y= x/3 + 100 

Resolución

Rpta. : "C"

PREGUNTA 14

Sea la función cuadrática f(x)=ax²+ bx + c de vértice v(p;p)

Si la función corta al eje “Y” en – p; p≠0

Halla el valor de “b”. 

A) – p 

B) 0 

C) 2 

D) 4 

Resolución

Rpta. : "D"

PREGUNTA 15

Dada la función cuadrática: 

f(x)=ax²+bx+6 

f(x+1) – f(x– 1)=8(x+1)

Halla a+b

 A) 2 

B) 6 

C) 8 

D) 10 

Resolución

Se observa: 

f(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+6 

f(x – 1)=a(x – 1)²+b(x – 1)+6 

⇒ f(x+1) – f(x – 1)=a(4x)+2b=4ax+2b 

∴ 4ax+2b ≡ 8x+8 

→ a=2;   b=4 

∴ a+b=6 

Rpta. : "B"

PREGUNTA 16

Resuelve la siguiente inecuación. 

a(x+1) ≤ b(x+1); si a < b

A) [ 1;+∞[

B)  ] – ∞ ; – 1 ] 

C) [– 1;1] 

D) [– 1;+∞[

Resolución

De la inecuación 

ax+a ≤ bx+b 

⇒ a – b ≤ bx – ax 

⇒ – (b – a) ≤ (b – a)x 

como (b – a)>0 

⇒ – 1 ≤ x 

∴ “x”∈ [– 1;+∞[

Rpta. : "D"

PREGUNTA 17

La representación de la velocidad respecto al tiempo está dada por la siguiente función. 

f(t)=– 5t²+40t – 8 

Indica en qué tiempo la velocidad es máxima. 

A) t=1 

B) t=2 

C) t=4 

D) t=8 

Resolución

Rpta. : "C"

PREGUNTA 18

Al dividir P(x)=ax²+x+6 entre Q(x)=ax – 3a se obtuvo como resto 18. 

Halla P(a+1). 

A) 8 

B) 6 

C) 10 

D) 12 

Resolución

Por teorema del resto: 

ax – 3a=0 → x=3 

R(x)=a(3)²+3+6=18 → a=1 

⇒ P(x)=x²+x+6 

⇒ P(2)=2²+2+6 

Piden: P(1+1) 

∴ P(2)=12 

Rpta. : "D"

PREGUNTA 19

Dada la gráfica de una función cuadrática indica la regla de correspondencia. 

A) 2x² – 4x+5 

B) 2x²+ 4x+5 

C) 2x² + 5 

D) x² + 4x + 5 

Resolución

Del gráfico: 

vértice: (1; 3) 

(0; 5) ∈ f 

Luego: f(x)=a(x – b)²+k 

⇒ f(x)=a(x – 1)²+3 

⇒ 5=a(x – 1)²+3 ⇒ a=2 

∴ f(x)=2x² – 4x+5 

Rpta. : "A"

PREGUNTA 20

Dadas las rectas: 

    x=2

    y=3

    3x – 2y=0

    2x – 3y+5=0 

indica en cuántos puntos se cortan las rectas. 

A) Un solo punto 

B) Dos puntos 

C) Tres puntos 

D) Cuatro puntos 

Resolución

De las ecuaciones: 

x=2  ∧ y=3 

nótese que verifican las ecuaciones 

3x – 2y=0 ∧ 2x – 3y+5=0 ⇒ x=2 ∧ y=3

Por lo tanto, estas rectas se cortan en un solo punto. 

Rpta. : "A"

PREGUNTA 21

Dadas las siguientes proposiciones, ¿cuál de ellas nos representa a una función inyectiva? 

A) La velocidad que marca el velocímetro de un automóvil 

B) El número de DNI de una población 

C) El tiempo de vida de un artefacto 

D) La gráfica que describe el vuelo de un mosquito 

Resolución

Dado que la función es inyectiva o uno a uno solo cumple la alternativa B, dado que cada persona se relaciona con su DNI. 

Rpta. : "B"

PREGUNTA 22

A) –2 

B) –1 

C) 2 

D) 1 

Resolución

Rpta. : "B"

PREGUNTA 23

Da la solución del siguiente sistema: 

y ≥ – 1

x  ≥ – 2

y ≤ x + 3

3x + 4y ≤ 0

Resolución

Rpta. : "B"

PREGUNTA 24

El costo de un carro al inicio de un año es S/ 32 000, si tiene una devaluación de S/ 650 por cada año. Hallar el costo que tendrá dentro de 17 años. 

A) S/ 20 900 

B) S/ 25 900 

C) S/ 29 950 

D) S/ 20 950 

Resolución

Datos: Costo inicial=32 000 

Devaluación=650 (por año) 

Luego, para un tiempo de 17 años: 

Costo final=32 000 – 650(17) 

Costo final=S/ 20 950 

Rpta. : "D"

PREGUNTA 25

Si f(0) = 1; f(1) = 0 ; f(– 1) = 6

Calcula f(2) siendo “f” una función cuadrática. 

a) – 1 

b) 2 

c) 3 

d) – 5 

Resolución

Como “f” es cuadrática

f(x) = ax²+bx+c 

Del dato 

f(0) = 1 → c = 1 f(1) = 0 

→ a+b+c = 0 

a+b = – 1 ... (α) 

f( – 1) = 6 → a – b+c=6 

→ a – b=5 ... (β) 

De “α” y “β”; a = 2 ∧ b = – 3 

∴ f(x) = 2x² – 3x+1; luego, f(2) = 3. 

Rpta. : "C"

PREGUNTA 26

A) – 7 

B) – 3 

C) 0 

D) 3 

Resolución

Rpta. : "A"

PREGUNTA 27

A) 1 

B) x 

C) x³ 

D) x² 

Resolución

Rpta. : "B"

PREGUNTA 28

Siendo “f” una función lineal; además 

f(2) = 0 ∧ f(1) = – 3, halla f(x). 

a) f(x) = 3x+6 

b) f(x) = – 3x+6 

c) f(x) = – 3x 

d) f(x) = 3x – 6 

Resolución

Como “f” es lineal f(x) = ax+b. 

Luego, del dato tenemos 

x → f(2) = 2a+b → 2a+b = 0 

x = 1 → f(1) = a+b → a+b = – 3 

al resolver 

a = 3 ∧ b = – 6 

∴ f(x) = 3x – 6 

Rpta. : "D"

PREGUNTA 29

Dos automóviles parten simultáneamente de un determinado punto. El primero recorre 10 km empleando una velocidad de 5 km/h; el segundo, utilizando el mismo tiempo que el primero, recorre 12 km a “y” km/h. Calcula “y”. 

a) 5 km/h 

b) 7 km/h 

c) 6 km/h 

d) 5,5 km/h 

Resolución

1°. 

d = 10 km 

v = 5 km/h 

d = v.t 

10 = 5t 

t = 2 horas 

2°. 

d = 12 km 

v = y 

d = v.t 

12 = y(2) 

y = 6 km/h 

Rpta. : "C"

PREGUNTA 30

a) 47 

b) 48 

c) 49 

d) 50 

Resolución

Rpta. : "C"

PREGUNTA 31

Se tiene un rectángulo cuya área es 36 m² y su perímetro 30 m. Calcule la diferencia entre el mayor y menor de los lados. 

A) 9 

B) 10 

C) 11 

D) 12 

Resolución

Rpta. : "A"

PREGUNTA 32

Dado el polinomio 

P(x;y) ≡ x³+y³+3(x²y+xy²) 

Halle el valor de :

P(b −1;3 − b) − P(−1;1) 

A) 1 

B) 4 

C) 8 

D) 16 

Resolución

P(x;y) ≡ x³+y³+3x²y+3xy²

P(x;y) ≡ (x+y)³

Se pide P(b −1;3 − b) − P(−1;1) 

= (b −1+3 −b)³−(−1+1)³ 

= 2³− 0=8 

Rpta. : "B"

PREGUNTA 33

Al dividir el polinomio P(x) ≡ x⁴+1 entre el polinomio x²−1, se obtiene un cociente Q(x) y residuo R(x). Calcule el equivalente de 3Q(x) − R(x). 

A) 3x² − 2 

B) 3x²+1 

C) 3x² 

D) 3x² −1 

Resolución

Rpta. : "B"

PREGUNTA 34

Factorice 

P(a;b) ≡ 4 − a² − b²+2ab 

A) (a+b+2)(a − b − 2) 

B) (a − b+2)(b − a+2) 

C) (a − b+2)(a+b − 2) 

D) (a+b − 2)(b+a − 2) 

Resolución

Factorización Diferencia de cuadrados 

P(a;b) ≡ 4 − (a² − 2ab+b²) 

≡ 4 − (a − b)² 

≡ (2+a − b)(2 − a+b) 

Rpta. : "B"

PREGUNTA 35

De la igualdad 

halle A+B+C. 

A) − 3 

B) − 2 

C) 1 

D) 3 

Resolución

Rpta. : "A"

PREGUNTA 36

Resuelva

A) CS={− 2} 

B) CS={1} 

C) CS={2} 

D) CS={−1} 

Resolución

Rpta. : "A"

PREGUNTA 37

Un camión transporta 420 cajas. Al pasar por un controlador de peso este excedía el peso límite en 65 kg; al retirar 12 cajas el nuevo peso está 19 kg debajo del límite. Halle el peso de cada caja si todas pesan igual. 

A) 10 

B) 12 

C) 9 

D) 7 

Resolución

Rpta. : "D"

PREGUNTA 38

Las edades de tres hermanos son 15 ; 17 y 33 años. ¿Dentro de cuántos años la edad del mayor será igual a la suma de los otros dos hermanos? 

A) 4 

B) 3 

C) 2 

D) 1 

Resolución

Rpta. : "D"

PREGUNTA 39

Dada la ecuación cuadrática en “x” 

2x²+3x+ a= 0 

si el valor de una raíz es 1/2, calcule el valor de la otra raíz. 

A) 1 

B) −1/2 

C) −2 

D) −1 

Resolución

Teoremas de Cardano 

Como una raíz de la ecuación es 1/2, considerando que la otra raíz sea “m”; calculamos la suma de raíces: 

m + 1/2= −3/2

⇒ m = −2 

∴ La otra raíz es −2. 

Rpta. : "C"

PREGUNTA 40

Calcule la suma de valores de “x” en la ecuación 

A) 5 

B) 6 

C) 7 

D) 8 

Resolución 

De la ecuación 

Tomamos 

x² – 7x+4 = – 8 

x² – 7x+12 = 0

Al factorizar luego los valores serán x₁=3; x₂=4; la suma es 7. 

Rpta. : "C"

PREGUNTA 41

Evalúe | – 2x+3| cuando x<1 

A) – 2x+3 

B) 2x-3 

C) – 2x – 3 

D) 2x+3 

Resolución

Rpta. : "A"

PREGUNTA 42

Sea F(x) una función lineal en la cual se verifica: 

• F(0) + F(1) = 3 

• 3F(1) – F(0) = 13 

Halle F( – 2). 

A) 11 

B) 12 

C) –11 

D) 13 

Resolución

Rpta. : "C"

PREGUNTA 43

Dada la función F definida por 

F(x) = x+|x|

Indique su dominio y rango, respectivamente. 

A) [0; +∞>; [0;+∞> 

B) ] – ∞;+∞[; [0;+∞[ 

C) ] – ∞;+0]; [0;+∞[ 

D) ] – ∞;+∞[; ] – ∞;0] 

Resolución

Rpta. : "B"

PREGUNTA 44

Dada la función cuadrática F que corta al eje de las abscisas en los puntos (5;0) y ( – 1;0), halle el punto de corte con el eje de las ordenadas, sabiendo que el mínimo valor que toma la función es – 3. 

A) (0;–1/3)

B) (0; –3/2) 

C) (0;1/2)

D) (0;–5/3)

Resolución

Rpta. : "D"

PREGUNTA 45

Simplifica 

A) 15(x - 1) 

B) 5(x²+x+1) 

C) 15√(x² − 1)√(x² + x + 1 )

D) 15√(x − 1)√(x² − x + 1) 

Resolución

Rpta. : "C"

PREGUNTA 46

Factoriza 

ab² – a³+a+b+a²b – b³ 

¿Cuál de los siguientes no es un factor? 

A) 1 – a – b 

B) a+b 

C) 1 – a+b 

D) 1+a – b 

Resolución

Por agrupación y factor común , se tiene: 

ab²+a²b+a+b – (a³+b³) 

ab(a+b)+(a+b) – (a+b)(a² – ab+b²) 

(a+b)[ab+1 – (a² – ab+b²)] 

(a+b)(1 – a²+2ab – b²) 

(a+b)[1 – (a² – 2ab+b²)] 

(a+b)[1 – (a – b)²] 

(a+b)(1 – a+b)(1+a – b) 

No es un factor  : 1 –  a – b 

Rpta. : "A"

PREGUNTA 47

Factoriza el siguiente polinomio. 

(x+1)⁴+(x+2)³+(x+3)² – 7(x+1) – 5 

A) (x+2)²(x²+4x+5) 

B) (x+1)(x²+7x+3) 

C) (x – 1)²(x²+5x+3) 

D) (x+1)²(x²+3x+6) 

Resolución

Criterio del aspa 

Haciendo cambio de variable: 

x+1→ a 

a⁴+(a+1)³+(a+2)² – 7a – 5 

a⁴+a³+3a²+3a+1+a²+4a+4 – 7a – 5 

a⁴+a³+4a² 

a²(a²+a+4) 

Luego, reemplazamos “a” por x+1: 

(x+1)²[(x+1)²+x+1+4] 

(x+1)²(x²+2x+1+x+5) 

(x+1)²(x²+3x+6) 

Rpta. : "D"

PREGUNTA 48

Simplifica 

A) – 2 

B) 0 

C) 1 

D) 4 

Resolución

Rpta. : "D"

PREGUNTA 49

Dado un polinomio P(x) de tercer grado con coeficientes enteros, tal que al dividir P(x)÷(x – b) se obtiene el siguiente esquema. 

Calcula el valor de abc 

A) – 18 

B) – 15 

C) – 12 

D) – 9 

Resolución

Rpta. : "A"

PREGUNTA 50

Si la solución de la ecuación 

es “m”, halla el valor de 6m+5. 

A) 1 

B) 2 

C) 3 

D) 4 

Resolución

Multiplicando en aspa tenemos: 

(x - 2)(x+5)=(x+3)(x - 4) 

 ⇒ x²+3x – 10 =x² – x – 12 

 ⇒ 4x=–2 

 ⇒ x=–1/2 ⇒ m –1/2

Luego: 6m+5=6(–1/2)+5=2 

Rpta. : "B"

PREGUNTA 51

Resuelve 

e indica la suma de soluciones. 

A) – 1 

B) –1/2 

C) 1/2 

D) 1 

Resolución

Rpta. : "B"

PREGUNTA 52

Un jardín de forma rectangular de 40 m de largo por 30 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halle la longitud del ancho de dicho camino si se sabe que su área es 296 m². 

A) 2m 

B) 3m 

C) 4m 

D) 4,5m 

Resolución

Rpta. : "A"

PREGUNTA 53

Resolver: 

Indique el valor de: x+y 

A) 0 

B) 1 

C) 2 

D) 3 

Resolución

Rpta. : "C"

PREGUNTA 54

Dada la inecuación: 

x² – Kx+9 < 0 

Si su conjunto solución es:] 1;9 [ , indique el valor de "K" 

A) 9 

B) 12 

C) 10 

D) 13 

Resolución

Rpta. : "C"

PREGUNTA 55

Se conoce la siguiente función lineal: 

f(x)=Ax+B 

De modo que los pares ordenados (3;7), (a – 1; a – 1) y (a; a – 3) pertenecen a dicha función. 

Halle A+B. 

A) 10 

B) 11 

C) 12 

D) 13 

Resolución

Dada la función f(x)=Ax+B 

Como (3;7)∈ f ⇒ 3A+B=7 ... (I) 

(a – 1; a – 1)∈ f ⇒ (a – 1)A+B= a – 1 ... (II) 

(a; a – 3)∈ f ⇒ aA+B= a – 3 ... (III) 

De (II) y (III) se tiene: A= – 2 

Luego; en (I): 3(– 2)+B=7 

⇒ B=13 

Finalmente: A+B=11 

Rpta. : "B"

PREGUNTA 56

Dada la ecuación de la recta: 

Indique el valor de a÷m donde "m" es la pendiente de la recta y "a" es la ordenada del punto de intersección con el eje "y". 

A) 6p 

B) – 6p 

C) – 4p 

D) – 8p 

Resolución

Rpta. : "B"

PREGUNTA 57

Siendo F una función lineal tal que (1;2) y (4;6) son coordenadas que pertenecen a la función F y G(x)=– 2x+3, calcule la suma de las pendientes de las funciones lineales F y G. 

A) –1/3 

B) – 2/3 

C) 1/5 

D) 1/3 

Resolución

Rpta. : "B"

PREGUNTA 58

Se conoce el siguiente sistema: 

Donde T y t están en segundos. Indique la región que representa dicho sistema. 

Resolución

Rpta. : "B"

PREGUNTA 59

Halle el residuo de la siguiente división: 

A) 6x+5 

B) 6x – 5 

C) 5x – 6 

D) 2x – 3 

Resolución

Rpta. : "B"

PREGUNTA 60

Resolución

Rpta. : "C"

PREGUNTA 61

Luego de resolver el siguiente sistema: 

Halle el número de valores enteros del conjunto solución 

A) 6 

B) 7 

C) 8 

D) 9 

Resolución

Rpta. : "C"

PREGUNTA 62

Halle el rango de la función F: ℝ → ℝ, cuya regla de correspondencia es: 

F(x)= – x²+4x 

A) ] – ∞;+4]

B) [4; ∞[

C) ] – 4;+∞[

D) ] – ∞; – 4]

Resolución

Rpta. : "A"

PREGUNTA 63

Dada la siguiente gráfica de la función “F” 

¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? 

I. El rango de f es [ – 3;3[ 

II. La pendiente de f es – 3 en el intervalo ]0;3[ 

III. f(8) – f( – 8)=0 

A) Solo I 

B) Solo II 

C) Solo III 

D) Ninguna 

Resolución

I. (F), el rango es [ – 3;3] 

II. (F), la recta está inclinada hacia la derecha en el intervalo ]0;3[ debe ser positiva 

III. (F), f(8)=3 f( – 8)= – 3 

⇒ f(8) – f( – 8)=6 

Rpta. : "D"

PREGUNTA 64

Halle la ecuación de la recta cuya gráfica se da a continuación. 

A) 2x+3y – 2=0 

B) 2x+3y – 6=0 

C) 2x-3y – 6=0 

D) 6x+2y – 3=0 

Resolución

Sea la ecuación: y=mx+b , donde b=2. Entonces, y=mx+2, luego reemplazando el punto (3;0) en la función, se tiene que x= – 2/3 

Luego y= – 2/3x + 2

Que despejando es equivalente a 2x+3y – 6=0

Rpta. : "B"

PREGUNTA 65

Reducir la siguiente expresión: 

Luego de como respuesta los dos tercios de E. 

A) 19/13

B) 3/2 

C) 13/19 

D) 2/3 

Resolución

Rpta. : "A"

PREGUNTA 66

Sea 

f(x)=a(x – h)² + k

cuya gráfica se da a continuación: 

Hallar el valor de “a”. 

A) 2 

B) -2 

C) – 3 

D) 3 

Resolución 

Del gráfico; el vértice de la parábola es (1;2), entonces: 

f(x)=a(x – 1)² + 2

Luego, (0 ;– 1) ∈ f , entonces: 

– 1=a(0 – 1)² + 2⇒ a= – 3

Rpta. : "C"

PREGUNTA 67

Dada la siguiente gráfica: 

Indicar cuál de las siguientes alternativas representa mejor la región sombreada: 

A)

x – 3y + 9 ≥ 0

x –  y + 1 ≤ 0

x ≥ 0 ; y ≥ 0

B) 

x + 3y + 9 ≥ 0

x +  y + 1 ≤ 0

x ≥ 0 ; y ≥ 0

C) 

x + y + 9 ≥ 0

x –  y + 1 ≤ 0

x ≥ 0 ; y ≥ 0

D) 

x + 3y – 9 ≥ 0

x –  y – 1 ≤ 0

x ≥ 0 ; y ≥ 0

Resolución

Rpta. : "D"

PREGUNTA 68

Si “S” es el conjunto solución de la siguiente inecuación: 

entonces se puede afirmar: 

Resolución

Rpta. : "D"