CANTIDAD DE MOVIMIENTO CHOQUES GRAVITACION KEPLER FORMULAS EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE FISICA BASICA Y PRE UNIVERSIDAD PDF
cantidad de movimiento lineal ,impulso, relacion con la segunda ley de newton , principio de conservación de la cantidad de movimiento , colisiones elásticas e inelasticas,coeficiente de restitucion,gravitación universal , leyes de kepler
CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL
Cantidad vectorial que indica del estado dinámico de traslación de un cuerpo (véase
la figura). Se expresa por:
m: masa del cuerpo
v : velocidad del cuerpo
Unidad S.I. : kg
p masavelocidad
1. Definición de cantidad de movimiento lineal (p )
9.1. Sistema conservativo: no hay fricción
Energía mecánica inicial = Energía mecánica final
CI PI CF PF E E E E constante
9.2. Sistema no conservativo: hay fricción
Energía mecánica inicial = Energía mecánica final + Energía mecánica disipada
CI PI CF PF E E E E Q constante
fricción Q W
Q: energía mecánica disipada
Wfricción: trabajo realizado por la fricción
Física 08
(*) OBSERVACIONES:
1º) El cambio de la cantidad de movimiento de un cuerpo se expresa por:
p cantidad de movimiento final cantidad de movimiento inicial
0 0 p p p mv mv
0 v : velocidad inicial del cuerpo
v : velocidad final del cuerpo2º) Para un sistema de N partículas, la cantidad de movimiento total (p ) del sistema es igual
a la suma vectorial de las cantidades de movimiento de las partículas individuales:
1 2 3 N p p p p p
O también:
1 1 2 2 3 3 N N p m v m v m v m v
m1, m2, …,mN: masas de las partículas
1 v , 2 v , … , N v : velocidades de las partículas
2. Segunda ley Newton y cantidad de movimiento lineal
Indica que una fuerza resultante produce un cambio del momentum lineal p de la partícula
durante un intervalo de tiempo t. Se expresa:
fuerza media resultante
cambio de la cantidad de movimiento lineal
intervalo de tiempo
3. Principio de conservación de la cantidad de movimiento lineal
La cantidad de movimiento total de un sistema aislado permanece constante si la fuerza
resultante externa que actúa sobre el sistema es nula.
cantidad de movimiento inicial (total) cantidad de movimiento final (total)
I F p p = vector constante
4. Impulso ( I )
Cantidad vectorial que indica la acción de una fuerza durante un intervalo de tiempo. Todo
impulso es producido por una fuerza (véase la figura) cuyo efecto es el cambio de la
cantidad de movimiento del sistema.
I fuerza (media) intervalo de tiempo
I Ft (Unidad S.I.: Ns)
(*) OBSERVACIÓN:
La figura muestra la variación típica de una fuerza (F) que actúa en una colisión durante un
intervalo de tiempo t = t – t0. Se cumple:
I = área bajo la línea de la fuerza media = área bajo la curva de F vs t
5. Teorema del impulso y de la cantidad de movimiento
El impulso producido por una fuerza media resultante sobre un cuerpo en un intervalo de
tiempo es igual al cambio de la cantidad de movimiento del cuerpo (véase la figura).
Ft mv mv0
m: masa del cuerpo
0 v : velocidad (inicial) del cuerpo inmediatamente antes de la interacción
v : velocidad (final) del cuerpo inmediatamente después de la interacción
6. Colisiones
Una colisión (o choque) es una interacción que ocurre en un intervalo de tiempo pequeño.
Las colisiones son de dos tipos:
6.1. Colisión elástica
Se caracteriza por el hecho de que la energía cinética total se conserva. En la figura se
muestra un caso típico de colisión elástica unidimensional. El principio de la conservación
de la energía exige:
energía cinética antes de la colisión energía cinética después de la colisión
ECI = ECF
6.2. Colisión inelástica
Se caracteriza por el hecho de que la energía cinética total no se conserva. En la figura se
muestra un caso típico de colisión inelástica unidimensional. El principio de conservación
de la energía exige:
energía cinética antes de la colisión energía cinética después de la colisión + calor
ECI = ECF + Q
Q: cantidad de calor absorbido o liberado por las partículas durante el choque.
7. Regla de Newton de la colisión unidimensional
Es el resultado de combinar los principios de conservación de la energía y de la cantidad
de movimiento lineal:
En una colisión unidimensional entre dos partículas, las velocidades relativas de las
partículas antes y después de la colisión son de direcciones contrarias.
v2 v1 (v2 v1)
1 2 v ;v : velocidades de las partículas antes de la colisión
1 2 v;v : velocidades de las partículas después de la colisión
: coeficiente de restitución
(*) OBSERVACIONES:
1º) El coeficiente de restitución es un indicador del grado de elasticidad de la colisión.
2º) Los posibles valores de están comprendidos en el intervalo: 0 1. Si = 1, la
colisión se llama completamente elástica, y si = 0, la colisión se llama completamente
inelástica.
8. Gravitación universal
8.1. Ley de Newton de la gravitación
La magnitud de la fuerza de atracción entre dos partículas en el universo es directamente
proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia que las separa.
G = 6,67 10-11 N m2/kg2 : constante de gravitación universal
m1, m2 : masas de las partículas
d: distancia entre las partículas
8.2. Variación de la aceleración de la gravedad ( g )
La magnitud de la aceleración de la gravedad (g) es directamente proporcional a la masa
del planeta (M) e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia (d) medida desde
el centro del planeta (véase la figura):
(*) OBSERVACIONES:
1º) En la superficie del planeta se tiene: d = R, entonces:
2º) Sí M = 0, se obtiene: g = 0.
3º) Para órbitas circulares de satétlites, la segunda ley de Newton se escribe::
v: rapidez tangencial del satélite
: rapidez angular del satélite
r: radio de la órbita circular
m: masa del satélite
M: masa del cuerpo respecto al cual gira el satélite
9. Leyes de Kepler
9.1. Primera ley (ley de las órbitas)
Los planetas describen elipses estando el Sol en uno de sus focos. (Véase la figura (a)).
9.2. Segunda ley (ley de las áreas)
Una línea desde el Sol hasta un planeta describe áreas iguales en intervalos de tiempo
iguales. (Por ejemplo, en la figura (b) se cumple: A1 = A2).
9.3. Tercera ley (ley de los períodos)
El cuadrado del periodo de revolución de un planeta es directamente proporcional al cubo
de la distancia promedio entre el planeta y el Sol.
T: periodo de revolución del planeta
d: distancia promedio entre el planeta y el Sol
(*) OBSERVACIÓN:
La ley de los periodos para órbitas circulares de satélites:
r: radio de giro del satélite
M: masa del cuerpo respecto al cual gira el satélite
Figura 1 Figura 2
EJERCICIOS
1. Una pelota de básquet de masa
0,6 kg es lanzada desde la posición
que se indica en la figura. La rapidez
inicial de la pelota es 0 v = 10 m/s y el
ángulo de elevación = 53º. Si la
pelota ingresa al cesto con una
rapidez v=6 2 m/s y ángulo
= 45º por debajo de la horizontal,
determine la magnitud del cambio de
la cantidad de movimiento de la pelota
entre la posición de lanzamiento y la
posición donde ingresa al cesto.
A) 4,8 kgm/s B) 8,8 kgm/s C) 7,2 kgm/s
D) 9,6 kgm/s E) 8,4 kgm/s
2. La tercera ley de Newton explica que cuando se dispara una bala por medio de un
revolver de masa M, como muestra la figura, hay fuerzas internas de igual magnitud y
opuestas en el sistema revolver y bala. Si la masa de la bala es m =
M/100 y su rapidez de salida es vb = 300 m/s, determine la rapidez de retroceso del
revolver vr. Desprecie las fuerzas externas sobre el sistema revolver y bala.
A) 2 m/s
B) 3 m/s
C) 4 m/s
D) 1 m/s
E) 5 m/s
3. Una bala de masa m = 0,05 kg está dirigida con velocidad horizontal hacia un bloque
de masa M = 0,95 kg que está en reposo sobre una superficie horizontal sin fricción,
como se muestra en la figura. El bloque está conectado a un resorte no deformado
cuya constante elástica es k = 100 N/m. Si la bala se incrusta en el bloque y el resorte
se comprime hasta 0,5 m, ¿qué rapidez vb tenía la bala en el instante que impactó en
el bloque?
A) 120 m/s B) 90 m/s C) 100 m/s D) 150 m/s E) 110 m/s
4. Una pelota de futbol de masa m = 450 g, que se mueve en la dirección del eje – x,
tiene una rapidez v0 = 20 m/s inmediatamente antes de ser golpeada por el pie de un
futbolista, como se muestra en la figura. El pie del futbolista actúa sobre la pelota
durante 0,01 s y su rapidez inmediatamente después de ser golpeada es v =
30 m/s en la dirección del eje + x. Determine la fuerza media que ejerce el pie sobre
la pelota.
A) + 2450 N
B) + 2250 N
C) – 2450 N
D) – 2250 N
E) + 3375 N
5. Dos bolas de billar A y B de igual masa, que se deslizan en la dirección del eje x,
chocan frontalmente. La velocidad inicial de la bola A es + 2 m/s, mientras que la
velocidad inicial de la bola B es – 1 m/s. Si el choque es totalmente elástico (coeficiente
de restitución = 1), ¿cuál es la velocidad final de las pelotas A y B respectivamente?
A) – 2 m/s; + 1 m/s B) – 1 m/s; + 1 m/s C) – 1 m/s; + 3 m/s
D) – 3 m/s; + 1 m/s E) – 1 m/s; + 2 m/s
6. Tres esferas homogéneas de igual masa m1 = m2 = m3 = 1 kg están localizadas en los
vértices de un triángulo equilátero de lado 1 m, como se muestra en la figura. Si una
cuarta esfera de masa m4 = 1 kg se coloca en el punto O (origen de coordenadas),
determine la fuerza gravitatoria resultante sobre ella.
(G = 6,6×10–11 Nm2/kg2)
A) +8,8×10–11 N
B) –8,8×10–11 N
C) +4,4×10–11 N
D) –4,4×10–11 N
E) +6,6×10–11 N
7. La distancia promedio del planeta Marte al Sol es igual a 1,5 veces la distancia de la
Tierra al Sol. ¿Cuál es aproximadamente el periodo de revolución de Marte alrededor
del Sol? Considere: 3,375 = 1,8
A) 1,5 años B) 2,2 años C) 1,4 años
D) 2,4 años E) 1,8 años
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Un ciclista se desplaza sobre una pista recta horizontal con rapidez constante v0 = 8
m/s, como se muestra en la figura. Al ingresar en el punto A en un plano inclinado, el
cual forma un ángulo = 37º con la horizontal, empieza a desacelerar. Si la masa total
del ciclista y la bicicleta es 80 kg, y su rapidez en el punto B es v = 5 m/s, ¿cuál es la
magnitud del cambio de la cantidad de movimiento que experimenta el ciclista entre
los puntos A y B?
A) 400 kgm/s B) 200 kgm/s C) 500 kgm/s
D) 300 kgm/s E) 450 kgm/s
2. Una bala de masa m = 0,02 kg es disparada con una velocidad horizontal de magnitud
vb = 1000 m/s por un rifle de masa M = 4 kg, tal como se muestra en la figura.
Determine la razón de la energía cinética de la bala a la del rifle. Desprecie las fuerzas
externas sobre el sistema rifle y bala.
A) 100
B) 400
C) 300
D) 200
E) 150
3. Se utiliza el dispositivo que se muestra en la figura para determinar la rapidez de
impacto vb de una bala de masa m sobre un bloque cúbico homogéneo de lado
L = 12 cm y masa M = 199 m que se encuentra en reposo en el borde de una mesa
de altura h = 94 cm. La bala queda incrustada en el bloque y éste abandona la mesa
con velocidad horizontal cayendo a una distancia d = 50 cm del borde de la mesa.
¿Con qué rapidez impacta la bala en el bloque? Desprecie la fricción entre el bloque
y la mesa. Considere 5 = 2,2; g = 10 m/s2
A) 110 m/s
B) 320 m/s
C) 220 m/s
D) 200 m/s
E) 440 m/s
4. Una fuerza impulsiva en la dirección del eje x actúa sobre un cuerpo de masa 2 kg de
acuerdo a la gráfica que se muestra en la figura. Indicar la verdad (V) o falsedad (F)
de las siguientes proposiciones:
I) El impulso dado al cuerpo es + 72 Ns.
II) La fuerza media impulsiva es aproximadamente 514 N.
III) Si el cuerpo tiene una velocidad inicial de –16 m/s su velocidad final es +20 m/s.
A) FFF B) FVF C) VFV D) VVV E) VVF
5. Un automóvil que se desplaza con rapidez v1 = 16 m/s hacia el Este choca en el punto
O con otro automóvil de igual masa que se desplaza con rapidez v2 = 12 m/s hacia el
Norte. Después de la colisión los automóviles quedan unidos, tal como se muestra en
la figura. ¿Con qué rapidez v y en qué dirección se mueven los automóviles después
del choque?
A) 12 m/s; 53º
B) 10 m/s; 37º
C) 16 m/s; 30º
D) 20 m/s; 60º
E) 15 m/s; 45º
6. Cuatro esferas homogéneas de masas m1 = 2 2 kg y m2 = m3 = m4 = 1kg están
distribuidas en los vértices de un cuadrado de lado a = 1 m, como se muestra en la
figura. Determine la magnitud de la fuerza gravitatoria resultante sobre la esfera
situada en el origen de coordenadas. (G = 6,6 x 10-11 Nm2/kg2)
A) 13,2 2 x 10-11 N
B) 26,4 2 x 10-11 N
C) 12,5 2 x 10-11 N
D) 11,2 2 x 10-11 N
E) 10,5 2 x 10-11 N
7. Una nave espacial de masa 100 toneladas, situada en el espacio, lanza un satélite el
cual gira alrededor de la nave en un radio de 66 m. ¿Cuánto tiempo tarda el satélite
en dar una vuelta alrededor de la nave espacial?
(G = 6,6×10–11 Nm2/kg2; 2 = 10)
A) 1,25×106 s B) 1,12×106 s C) 1,22×106 s
D) 1,75×106 s E) 1,32×106 s
EJERCICIOS
1. Respecto a la Ley de Gravitación Universal. Señale verdadero (V) o Falso (F), según
corresponda a las siguientes proposiciones:
I. Si dos cuerpos se atraen gravitacionalmente, el de mayor masa experimenta
mayor fuerza.
II. La constante G, sólo es válida para el sistema solar.
III. El descubrimiento de la Ley de Gravitación Universal hecho por Newton confirma
que las leyes de Kepler son correctas.
A) VVV B) VVF C) VFV D) FFV
2. Un objeto inicialmente en reposo, explota fragmentándose en dos partes de masas m1
y m2. Si el fragmento m1 adquiere el doble de energía cinética que el otro, ¿cuál es la
relación m1/m2? (Asumir que dichas masas parten en dirección opuesta con respecto
al punto de explosión)
A) 2 B) 2 C) 1 D) 0,5
3. En la figura se muestra el lanzamiento de una esfera de 0,5 kg de masa. Si la velocidad
de lanzamiento forma un ángulo de 53° con respecto a la horizontal. Determine la
cantidad de movimiento lineal de la esfera después de 7 s de su lanzamiento.
Considere a la trayectoria de vuelo una parábola.
2 (g 10 m/s )
A) (20, 20) kgm/s
B) (15, 15) kgm/s
C) (30, 30) kgm/s
D) 15 2 kgm/s
4. En la figura se muestra un péndulo simple de longitud 50 cm y una masa oscilante de
2 kg. Si se suelta desde la posición A, determine la magnitud de la cantidad de
movimiento del péndulo en el instante que se encuentra a 5 cm sobre su posición más
baja durante su movimiento. Desprecie todo tipo de fricción durante el movimiento.
2 (g 10 m/s )
A) 3 kgm/s
B) 2 kgm/s
C) 10 kgm/s
D) 1 kgm/s
53°
v = 50 m/s
5. En la figura se muestran dos esferas A y B de masas 2 kg y 3 kg respectivamente,
moviéndose sobre una superficie horizontal lisa, de tal manera que sufren una colisión
perfectamente inelástica. Determine rapidez de la esfera B inmediatamente después
de la colisión.
A) 2,0 m/s
B) 1,6 m/s
C) 2,5 m/s
D) 5,5 m/s
6. El Principio de conservación de la cantidad de movimiento, consiste en que la suma
de las cantidades de movimiento de los cuerpos en interacción se conserva invariable.
La suma de las cantidades de movimiento queda constante, aunque las cantidades
de movimiento de los cuerpos varían, ya que sobre cada cuerpo actúan las fuerzas de
interacción. Si un rifle de 5 kg de masa dispara un proyectil de masa 15 g con rapidez
inicial de 600 m/s. Determine la velocidad de retroceso del rifle.
A) 1,8 m/s B) 2,8 m/s C) 2 m/s D) 3 m/s
7. Un patinador de masa 40 kg se mueve con rapidez de 4 m/s e igual a otro de masa
60 kg que se mueve con rapidez de 2 m/s en la misma dirección y choca con él. Si los
dos patinadores permanecen en contacto, ¿cuál es la rapidez final?
A) 2,8 m/s B) 1,8 m/s C) 2 m/s D) 3 m/s
8. Si una colisión inelástica es aquella en la cual, parte de la energía cinética se cambia
en alguna otra forma de energía en la colisión. Un cuerpo de masa 30 kg se mueve
con rapidez de 3 m/s e iguala a otro cuerpo de masa 50 kg que se mueve con rapidez
de 1 m/s en la misma dirección y choca con él y permanecen en contacto con rapidez
de 1,75 m/s. ¿Cuánta energía cinética se pierde?
A) 37,5 J B) 34,8 J C) 35,5 J D) 32 J
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Un bloque de 2 kg de masa que se mueve hacia la derecha con rapidez de 5 m/s
colisiona con otro bloque de 3,5 kg de masa que está en reposo. Si después del choque
el bloque de 3,5 kg se mueve hacia la derecha con rapidez de 3 m/s. Determine el
coeficiente de restitución entre los bloques. Asumir que la superficie es lisa.
A) 0,5 B) 0,6 C) 0,7 D) 0,65
2. Una pequeña esfera de masa M1 = 0,2 kg descansa sobre una columna vertical de altura
h = 5 m. Una bolilla de masa m2 = 0,01 kg, moviéndose son una rapidez v0 = 500 m/s,
choca horizontalmente con la esfera M1. La esfera alcanza el suelo a una distancia de
s = 20 m, tal como se muestra en la figura. Depreciando cualquier tipo de rozamiento y
asumiendo que los dos cuerpos tienen velocidades después de la colisión en dirección
horizontal. ¿Cuál será la magnitud de la rapidez de la esferilla después de la colisión?
A) 50 m/s
B) 100 m/s
C) 150 m/s
D) 200 m/s
3. El periodo del planeta mostrado que gira alrededor de una estrella dura 700 días.
Cuando el planeta va de “A” hacia “B” emplea 200 días. Si el área sombreada es “S”,
determine el área que encierra la trayectoria elíptica en función de S.
A) 10 S
B) 20 S
C) 25 S
D) 28 S
4. Un bloque de 5 kg de masa se encuentra moviéndose sobre una superficie horizontal
lisa. En un determinado momento sube por una rampa rugosa inclinada 30° con
respecto a la horizontal, tal como se muestra en la figura. Determine la magnitud del
impulso que recibe el bloque entre la posición A y B.
A) 25 kgm/s
B) 20 kgm/s
C) 15 5 kgm/s
D) 35 kgm/s
5. Un núcleo atómico inestable de masa 10–26 kg inicialmente en reposo se desintegra en
tres partículas. Una de las partículas, de masa 10–27 kg, se mueve a lo largo del eje +y
con una rapidez de 5 106 m/s. Otra partícula, de masa 4 10–27 kg se mueve a lo largo
del eje +x con una rapidez de 5 106 m/s. Determine la rapidez de la tercera partícula.
A) 15 106 m/s B) 4 106 m/s C) 5 106 m/s D) 17 106 m/s
B
A
6. Un patinador de 80 kg de masa le aplica a otro de 50 kg de masa una fuerza de
250 N durante 0,5 s, ¿qué rapidez adquiere el segundo patinador?
A) 2,5 m/s B) 2,2 m/s C) 2,8 m/s D) 3,0 m/s
7. Mediante un palo de golf se aplica a una pelota una fuerza de 242 N y adquiere una
rapidez de 95 m/s. Si la masa de la pelota es de 0,05 kg, ¿durante cuánto tiempo
estuvo en contacto el palo sobre la pelota?
A) 0,0196 s B) 0,0176 s C) 0,0135 s D) 0,0132 s
