INTERVALOS EN LA RECTA EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMATICAS PDF
RECTA E INTERVAlDS La recta real, geometricamente. se truz .cl siguiente modo: dibujar una recta horizontal: xO ~~ -"'vos,,", clegir una "unidad de medida" y dividir la recta en tantas veces como se pueda, luego poner el cern en el centro y a Ia dcrecba colocar sucesivamenre los numeros enteros positives: 1,2,3.4, ... ya la izquierda colocar sus opuestos: -1, -2, -3. -4, etc. Los OITOS ruimcros reales se ubican facilmente entre los nurneros enteros. elida punto de la recta representa. intuitivarnente, un ruimero real. Como los ruimeros reales son ordcnados, establecernos una correspondencra uno a uno entre Ius puntos de Ill. recta y los mimeros reales.
Es dccir: A cada numero real corresponde un unico punto de la recta, y a cuda punto de la recta corresponde11 un unico mimero real. EI slmboI,,: -eo se Iee "rnenos infimto" EI .lmb"I,,: +'" se lee "mas infinito" Si utilizlI.mos -CI:I y +00, "extendernos" el conjunto IR de los nurneros reales a otro conjunto, que 10denotaremos par 1R· ohteniendose que IR * = {-.:(J} u IRu {+oo} En el conjunto IN· dcfinirnos las operaciones de la adicidn y rnulnpltcaclon. del siguiente modo: ADICION: a) 'd a E lR a+(+oo) = (+oo)+a = +00 b) 'd a E lR a+(-oo) = (-oo)+a =-00 0) (+00) + (+00) = +00
MULTIPLICACION: a) a (+00) = (+00) a = +00 si 0 < a::$; +00 b) a (-00) = (-00) a =-00 sIO a} a -cco -----< .. POR LA IZQUlERDA EN a. INTERVALO INFINITO CERRADO [a.+oo[ {r E lR:x>a) ----- a .+..00 POR LA IZQUlERDA EN a. " APLICACIOI'(I':S DEL BUEI'( USO DE LOS II'(TERVALOS I PROBLEMAS RESUELTOS I Los siguientes ejemplos ilustran la rnanera eorrecla de apliear las definieiones de los intervalos y de las propiedades de las desigualdades. IEjemplo 01 I Si x E )-3,41 l.a que intervalo pertenece la expresi6n 4 - 2:< ? Soluewn: . Si x E )-3 , 4 I entonces ,-3 < x < 4, Ii) ~definici6n ~ mlemloablertO) A partir de (I) fonnemos el lermino 4 -2:<. Veamos: Si -3 < ~ < 4 Multtpllamospor-2: 6> -2x >-8 Teo.S.2 Sumllr" 10 > 4 - 2x > -4 Teo. 4.1 ¢:;::;;o -4 x > 0 (3) Teo 5.2 A partir de la desigualdad (3) formemos los terminos de (I) Asf: Si: .!i>x>o 4 por 3: ~ >3x>0 ...... Teo 5.1 sumar 2: ~' + 2 > 3.<+ 2 > 0+ 2 Teo 4.1 ~3 >3.<+2>2 4 invertir: -,- 3~722 > -1·1 Teo 5.2 => '32 >- x > 17 -. _~> -7/3 >_l 159 3x+2 (} => x E [1174 '"23 ] mDteefrinvaiclioM c edrerado sumar t CONCLUSION: m = :~ n="23 1 _.1.8.. > 1. _ -.l..l2- > _1 + 1. ,." .. Teo. 4 3 159 3 3x+2 6 3 IEjemplo 04 I 106- 28 Z 7/3 -7 +4 ~ >"3-1.r+2 >-,Si ----L E x-2 [_.2i ' _.2.l] • i.3 que intervale 78 >2_£ >_1 pertenece x ? 159 3 3x+2 2 26 >l_~ >_1 SoluciOn: 53 3 3x+2 2 Si ---l.- E [_1. _.1 ] entonces CONCLUSION: Es verdudero la afirmaciou r-2 2' 2 dada. -1-$ .. :2 $-1IEjemplo 03 I invertir _f~J;2~_2 . 2x+1 S, ~ E [8,16), h.dlar el mayor valor myel menor vaJor 11, tal que. por 3 -%~_"-2~-6 .x E [m,n 1. sumar 2 -t+2;',,-2+2~-6+2 Solucien: => "!·>..t>-4 5 - Si 2>+1 E[8,16] x-I CONCLUSION: x E [- 4 , tI => 8 8 ;; 2 + X~I Si -2 s: x s o, a que intervalo pertenece ;; 16 la expresion ! ~4 _ x 2 . sumar -2 => 6:$ ---..L.- 5 14 ...... Teo 4.1 x- I Solucion: •mve•rtir ::::::> (J; >_ :x;;--I>_ 114 ...... Teo8.1 Si -2;;x;;0 por 3: => %~ x-I ~ ?4 ......teo y.t por -I: 2 ;, -x ;, 0 .. " ... "" .... ( I ) elevsr at cuadrado: 4" X'" 0 '''''' (2) Nola: S610 se puede elevar al cuadrado, cuando los extremos de (I) son positives 0 cero. Es una aplicacion del Teorema 5,3, puesto que estamos multiplicando las desigualdades: o $ -x $ 2 0 s -x $ 2 o $ (-x) (-x) (2) (2) o $ x z ., 4 En (2) muitiplicar por -1 : -4 s -x' s 0 Sumar 4 0$4-.1' s 4 extracr raiz cuadrada: 0.,J4-x2 $2 pOT 2,' .. 0 -4 < x < -2 por-I: 4>-.1>2"",,(1) elevar .1'>4 (2) Nola : S610 cuando los positives. se eleva extrernos al de cuadrado, (I) son • En (2), sumar - 3: 16 - 3 > x' - 3 > 4 - 3 13>.1'-3>1 • Extraer raiz cuadrada: ,f]3>Jx2'3>1 (3) Nota : S610 se extrae raiz cuadrada, cuando I{)~ extremos de (3) son positives. • Ahara, invertir en (3): _1_< __1_-2->-8 (2) Nota : S610 se invierte cuando los extremes de una desigualdad son negatives 0 positives. Es la aplicaci6n del Teorema 7. • En (2) , multiplicar ror 2: _..1... > 3x-l > _B. 10 8 _.1 > 3x-l > _1. 5 4 r • Sumar 1: I-t > 3x > -~+l I => .! > 3x > .! f' 5 Par .1. 3 . l~ > • A partir de (3) expresion -3 x+ 1 Asf: • En (3) sumar 1: 4 .r > "2 (3) construyamos la l~+l>x+l>rr+l f .!..2.>x+l>.!.l 15 12 • Invertir .!i < _1_ < 11 19 x+1 13 • Por -3 : -45 > --=l- > _ 36 19 x+l 13 CONCLUSION: __3_ E ]_ 36 _ & [ .-:+1 13' 19 IEjempfo 08 1 Si .r E IR. ia que intervalo pertenece la expresi6n algebraica -+-? , +4 Solucion: Como .r E JR , podemos deducir que: V .r E IR: x';:, O. (segun el corolario 2.1) A partir de: V x E IR : x';:, 0 vamos a construirla expresion: + .r +4 Veamos: En la desigualdad : x';:, 0 Sumar 4 x'+4;:'0+4 x'+4;:'4 Invertir _t_ < .1 .-:2 +4 - 4 Por5 _5_ <.2. .J;2 +4 - 4 Adernas 0
