NUMEROS REALES AXIOMAS TEOREMAS Y DEMOSTRACIONES EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS DE UNIVERSIDAD PDF
Definicion axiomatica del sistema de los nurneros reales I
Teoremas relalivos a la igualdad
Diferencia de dos numeros reales
Ecuaciones lineales canuna Incognita
Teoremas pararesolver ecuaciones lineales con unaincOgnita
Ecuaciones cuadraticas
Orden en los nurneros reales
La relaci6n menor 0 igual EI conjunto de los ruirneros naturales IN = {O,I,2,3,. .. } • El conjunto de los mimeros enteros Z = { ... ,-3,-2,-1,0,1,2,3, ... } • £1 conjunto de los mirneros racionales Q={ t / aEZ ,bEZ ,b"'O l • EI conjunto de los numeros irracionales (IT), son aquelJos que no se pueden expresar como la division de dos nurneros enteros. Son numeros irracionales: .J3 . Ji .:r e, l/5 , ... ,etc. • EI conjunto de los rnimeros reales es la union disjunta de los ruimeros racionales con los rnimeros irracionales, esto es : IR=QuU 1.1 DEFINICION AIIOMATICA DEL SISTEMA DE lOS NUMEROS RULES £1 sistema de los mimeros reales, es el conjunto IR, provisto de la relaci6n igualdad, de dos operaciones: adicion y multiplicacwn, y de una relaci6n de orden: !!!£!!Q!. 0 igual gue. 1 Matematica ~a5ica I AXIDMAS DE LA IGUALOAD I I, . V a E lR a~a PROPIEDAD REFLEX IVA I,. Va, b e lR si a =b => b =a PROPIEDAD SIMETRICA I, . v o , b , c E JR si a=b 1\ b=c => a » c PROPIEDAD TRANSITIVA I AXIDMAS DE LA AOICliiN I La ley de clausura de la adicion de rulmeros reales, esta definida por la aplicaci6n +:lRxlR_lR (a.b) >------> a +b ULasuma de dos ruimeros reales es otro ruimero real" A,) Ley conmutativa v o , b E lR a+b=b+a A,) Ley asocianva \;j a , b , c E IR I, +b)+c=a+(b+c) A,) Existencia y unicidad del neutro 3!OElR, VaEIR a+O=a A.) Existencia y unicidad del opuesto Va E lR , 3! (-a) E 1R: a + (-a) =0 IAXIDMAS DE LA MULTIPLICACliiN I La ley de c1ausura de la multiplicacion de numeros reales est. definida par la aplicacion lRxlR_lR (a,b) >------> ab "El pmduc;:to de dos mimeros reales es otro mirneroreal" MI) Ley conmutativa : Va, b e lR ab = ba M,) Ley asociativa Va, b ,c E lR (a b) c = a (bc) M.,) Exillienciu y unicidad de la identidad 3! 1 E lR , Va E JR: a. 1 =a M.) Elxllltencia y unicidad del inverso v o .. 0, a E lR . 3! a-r : aa -t = 1 donde a-I =1u D. Ley de ~llllrlbucl6n de lu rnultiplicacion respecto de 1a adicion: V n , b , c e JR : a (b + c) = ab + ac ----------:-::::===-=:::-:cc=::---------'''\ NUME:ROS RE:AL.E:S 1.2 nOREMAS RElATIVOS AlA IGUlDAD I TEORE~IA 1 l (de la monotonfa y simplificaci6n) Las siguientes cuatro condicionales son vcrdaderas: I. Si a=bAcelR ~a+c=b+c (monotonia para lasuma) 2. Si a+c=b+c =:> a = b (simplificacilin para lasuma) 3. Si a=bAcEIR =:> ac = be (monotonia para lamultiplicacilin) 4. Si ac =bc AC.;tO =:> a = b (simplificacion para lamultiplicacion) LSf! lee entonces Demo.c;traci6n : La demostracion de cada uno de estas proposiciones se haee aplicando correctarnente: las definiciones, los axiomas y las hipotesis, PRIJEBADE 1 (1) a + C = a + C , V (a +c) E lR • segun I, (2) Pero ta = ! • segu.n I a hi.p 6tes.is (3) POI el principio de sustitucion; se sustituye (2) en (1), obteniendose a +c =b +c PRlJEBADE2 (I) POI hip6tesis se tiene: a + c = b + c (2) Aplicar 1 delteorema 1 sumando -e en ambos miembros: (a + c) + (-e) = (b + c) + (-e) (3) Por A,: a+(c+(-e» = b+(c+(-e» , . . , . , (4) Por A.: a + 0 = b + 0 (5) Por A,: a =b PRIJEBA DE 3 : Queda como ejercicio PRIJEBA DE 4 : Queda como ejercicio Matematica r,~5ica ITIoREMA 2 I Para todo a e IR, se cumple: a' 0 = 0 Demoslraci6n : Paniendo de a.O =a. 0 + 0 Yhaciendo 0 =a + (-a) ,!legar a probar que a.O =,a+(-a). • o ...Complete Ud. '" apJique los axiomas:A" A2, M), D, A•. 1 TEoIlEMA J l (referente al opuesto de un mirnero real). l.'iaelR -a =(-I)a 2. 'i a. be IR a (-b) = -tab) = (-a) b 3. 'i a e IR -(-a) =a 4. 'ia,belR : (-a)(-b) =ab Demostracwn d. I : Bastara demostrar que a + (-I) a = 0 Tener en cuenta que: La igualdad: a + (-a) = 0 nos indica que x = -a es soluci6n de a + x = 0 (I) La igualdad: ll2ii-I)~ nos indica que x = (-I) a es soluci6n de a + x = 0 (2) Comparando: (I) con (2) y aplicando el axiorna I" se obtiene a + (-a) = a + (- l ) a Por el Teorema 1 pane 2 (cancelaci6n) se deduce que -a = (-1) a. P,m9i1"mOl ,ue: a + (-1) a .: 0 Partir de o +(-I)a= '-..-' m J .0+(-I)a M, -o.l+a(-I) M, .a<!+~-I)) D • CI • 0 .................. A. =0 Teor.2 • • NUMEROS REAL.ES Demostracion de 2: Aplicar sucesivamente 1 y los axiomas M2 • MJ , Mz Demostraci6n de 3: Hacer similar a la demostracirin de 1 Demos/ra.ion de 4: Aplicar sucesivarnente: I , M, , M1 , 2, 3 ITEOREMA 41 (aeerea del inverso de un numero real) -I I. Si a" 0 , a E lR ; entonces (a-I) =a 2. Si u e O A b"O; a,bElR;enlonees(a.b)-I=a-l.b-1 Demos/radon de 1 : • Si a '1:0 entonces existe un unico numero real a-I, tal que, aa-I = 1 .... ~ .... (1) • Si a-I '1: O. existe un unico numero real (a-I) -I , tal que a-I (a-I )'-1 .= I • Pera, ap Il·e an d0 eI ax'io rna M 1: (a-I ) -t a -I = 1 . (2) • Comparando (2) con (I) tenernos: (a-I) -I a-I = aa-I • Aplieando el Teorema 1,4 (cancelacion) obtenernos: (a-I) -I = a. Demos/radon de 2 : • Si a "# 0 A b '1: 0, entonces existen sus inversos a-I y b-I t respectivarnente. • Si a " 0 A b " 0, entonees ab e 0 y por tanto existe (a br l tal que (ab)(abr' = I (i) • Si en el produelo: (ab) (a-I b- I) aplieamos M, y M"oblenemos: = (aa- I ) (bb- ') '---v--' '---v--' I I I (ii) • Comparando (i) y el resultado (i i) obtenemos que: (ab) (abr' = (ab) (a-I b- I) • Por cancelaci6n: (abrl =a-I b- I Matematica ea5ica 1J IIFERENCIA DE DDS NUMERDS REALES Dejillu:wlI.- Va,b e lR sedefine: a-b=a+(-b) Se lee "Ia diferencia de a y b es igual a la suma de a con el opuesto de b", lA LA DIVISION IE IDS NOMERDS RWES DejillU:il1II.- Va.belR con b"O,sedefine: t=a.b-' Se lee "la division de a entre b es igual al producto de a por el inverso de b". 1.5 PDRNCIICIOII DE DPDNENTE EmRO DefUlicwn.- Si a es un mimero real que no sea cero y m es un numero natural (IN), definimos: aO = I { Ifl - I . a'" =a a,slm:2:1 adernas a-III =(a-1r ""'"."'.'~':. ...., . tN'lI~"'h:".ll.~~ot~<,~1.r'\\9i ""elii!1l1efinida . ,;"",t., ...•... -, ITEOREMA S I Si a, be IR- {OJ Y m, n e IN, se curnplen: I. alii a" am" m = 4. "= a"'-II a" 2, a-'(ax) = a-I (-b) Teo 1,3 • (a-1a)x = -a-'b M" Teo 3.2 • 1 • x = -a-I b M, • .r :::; _l!.. M"I.4 a (¢co) si x=-l!.. ~ ax+b=O u Demostrocion: (queda como ejercicio: aplicar los axiomas y teoremas de manera similara la demostraci6n anterior). 1.1 noR_PAIA RESOLVER ECIACIONES UlWES COlINA IICOSIITA ITEOREMA 7 I ab =0 si y s610 si a =0 v b =0 • ; D~mostraci6n: La demostraci6n tiene dos partes: una es de ida (~) y la otra es de venida [cc) La de ida (=» (=» si ~;...Q, => a=O v b=O '--v-----' Hip6tesis Tesis Haremos la demostraci6n por el metoda de reduccion 31 absurdo. MatemAtica r,Asica S••mpieza negando la rssrs: I. Negando la tesis : a", 0 /\ b '" 0 2. En base a la nueva hip6tesis b", 0 y la hip6tesis ab = 0 • dado en el teorema, pasar al siguiente paso. 3. Hacer el siguiente razonamiento: b = I. b M, 4. Si a e 0 => 3 a-I tal que a-I a = 1 M, 5. Sustituir en 3: b = (a-I alb = a-I (ab) ......... ....... .. .... .. ...M2 = a-I (0) • pues ab = 0 • segun hip6tesis b =0 6. Hay una contradiccion, no puede ser que h . 0 y luego b = O. Esta contradicci6n se present6 porque heruos negado la tesis, Para que no ocurra esta contradiccion, simplemente no debe negarse fa tesis, esto es, la hipotesis ab =0 implica que a =0 v b =O. La venida (eo) (=» si a =b v b =0 => ab =0 Dcmostracidll : Crllo1: SI a = 0 enlonces ab = 0 . b = 0 Caso 2: Si b = 0 entonces ab ;: a . 0 ;: 0 A.plleaclon•• : < 2 2x -I (3x+2)(2x-I)=0 2° Aplicar Teo T: 3x+2 =0 v 2x-1 =0 x = - 2/3 V X = ~ 3" C.S. = 1_1. .11 \ 3' 2 . ICOROLARIO 7.1 I a· b '" 0 si y s610 si a'" 0 A b '" 0 I TEOREMA 81 a' = b' si y 0610 si a = b v a = -b Demos/radon: Hacer a'- b' = O. factorizar y aplicar el Teorema 7. Ap/icaciones: ~ Resolver 'V x E lR : (x + 3)' = 9 Solacion .- Escribir en la forma del Teorema 8: (x + 3)' = (3)' AplicaralTeorema8: x+3=3 v x+3 =-3 x=O v x =-6 C.S. = {O. -6} ev Resolver 'V x E lR: 16x' - 16x + 3 = 0 Matematice r>a.sica SqlHci6n: COMPLETAR QJADRADOs: Multiplicar por f6 . 1°completar cuadrados en: 16x2 -16x + 3 = 0 Elegir el coeficiente de .r, que es -1. 2 3 Dividir-I emre2,quees -t. Elevar al cuadrado - +.que es t . .r -x=-T6 x 2_x+ l =l _ 2.. 4 4 16 Sumar t en ambos miembros. As! (x-t)2=1~ se forma un TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. 2° Aplicar eI Teorema 8 : = x-.!.. 1 __ 1. 2 =1. 4 v x-"2- 4 x=.l v x=.l 4 4 3° CS ={i4' 1\ 4 I COROLARJO 8,1 I Si K;;' 0 entonces a' = K si y s610 si a ~ Jk v a =-Jk IJlIIJ!B • Resolver en IR: x' =3 Solu.i6n: = x=,[3 v x=-,[3 Cs ={-,[3,,[3] • Resolver en IR: x' =-4 SolucMn " AI extraer ralz cuadrada He nbtiene numeros imaginarios, eruonces el C" = 0 @ Resolver en IR: (x _I)' =5 Solucion; =x-I=.,[5 v x-l=-.,[5 = x=I+.,[5 v x=I-.,[5 Cs=(I+.,[5,I.,[5) ® Resolver en IR: (x2 _I)' =2 = x2 -I =.J2 v x2 -I =-,fi 2 -I '"2 2 _ I r-; }~O Sl' l'ILcde aplicar x - V X - -".: el ClIIUlariO 8.1. +"L =X=~I+.J2 v x=-.JI+J2 c, ={~I+.J2 ,-~I+.J2} 1. ECUICIOIU CUIDRAnCAS Definicion.- Si (I • b • c son numerus reales cualesquiera y a*-0, diremos que: ax 2 + bx + (' = 0 es una ecuaci6n cuadratica en x. 10 NUMEROS REALES F.JEMPLO.- Son ecuaciones cuadraticas con una sola inc6gnita "r", las siguientes igualdades CD 2x'-3x+2 =0 G) x'+4 ~O @ x2_x ::::0 @ .<'-4 =0 BAlZ DE UNA ECUACION CUADRATICA Definicion» Diremos que el mimero r (real 0 complejo) es raiz de la ecuacion cuadratica ax' + bx + c = 0 si y s610 si or + br + c " O. Eiemplns: CD x = 2 es raiz de 2.<' - 3x - 2 = 0, porque 2(2)' - 3(2) - 2 " 0 @ x ee 3 no es raiz de 2x' - 3-' - 2 = 0, porque 2(3)' - 3(3) - 2.,,0 '. 1 IISCRIMINAm IE II ECUACIO. CUAIUTICA Definicion .- El nrlmero real b2 - 4ac se llama discrirninante de la ecuaci6n cuadratica ax2+ bx + c> 0 , a 7:-0 NOTACION: Con la letra griega 6. (delta) vamos a denotar al discriminante. esto es, b'-4ac~!1. ITEOREMA 10 I (CLASES DE RAICES DE UNA ECUACION CUADRATICA) La ecuaci6n cuadratica a;c2 + bx + c::::0 , a '* 0 : (1) tiene dos rakes reales diferentes, si y s610 si, .1 > 0; (las rakes son rj y I~) (2) uene solo una rafz real, si y s610 si. Ii ~ 0; (r, = r,) (3) no tiene rufces reales, si y s610 si, 1'1 < 0; (rl :;;:: m + in , rz::::) - in) y y y y V Yl -+-X *t-x +x ftx IXm '1 Y'2 Ionralces feillcs dlfel'tllkS ralces iguales "I Y'2 noson numerus rcales L. pa",bola corb ,I eJc X Le padbola ecrte .1 eje X La paniibola DO eorta 81 en '1 Y'1' CD un 1610punto. ejc X. NU""EROS REALES PROPIEOADES DE lAS KAICES DE UNA ECUACION COAORAnCA ITEOREMA11 I Si rl -b+~ Y r2 -h-~ son las rakes de la 2" 2" 2 ecuaci6n cuadratica ax + bx + C =0 , a '* 0, se cumplen las siguientes propiedades: (I) r -Sl + r2 =--; h y r, r2 -- tJ (2) ax 2 + bx + C =a (x - r1 )( x - r2) Demostracion: (Por el corolario 9.1 se conocen las rakes rl Y r» luego sumarlas. despues multiplicarlas, para demostrar (I). La demostraci6n de (2) se empieza factorizando a). APLICACIONES: 2 EI discriminante 6. =b2 - 4ac de la ecuaci6n cuadratica ax + bx + c =0, tiene gran irnportancia en el . .oilisis de las rakes (TEOREMA 10) y en el analisis de las inecuaciones cuadraticas: a;c2 + bx + c S D y ax2 + bx + c ~ 0 (ver mas adelante). PorqueA> 0, r = J+m u'-3x-l~ol l 4 d~(-3')-4(2)(-1)~17 lias rakes son reales diferentes. rz = J-m4 s ~(-6')-4(9)(1) Porque /1 = O. 6±JQ I 9x'-6x+ 1 ~O r ="""2(9) ="3 tiene 5610 una rarz. Porque /1 < 0, ~O s ~(1)'-4(1)(I) Ii = -I+H x2+x+I=O tiene rakes complejas 2 =-3 conjugadas "2 = -I-H a Matem~tica ~~5ica 1.8 ( O. es raiz de {Ix:! + bx + c = 0, entonces su conjugada m - nJP • tarnbien es raiz. NUM£ROS REALES E.JEFICICIDB GRUPO 1 Dadas las siguicntes ecuaciones cuadraticas, se pide: a) Hallar el discriminante de cada ecuacion. b) Segun el resultado obtenido en a) diga si las rakes son reales y diFerentes 0 tiene raiz iinica 0 las rakes son mirneros complejos conjugados. c) Hallar las rafces. d) Ubique en la recta real las rakes reales, en caso que existan. 01. x'-3x+2=0 02. x' - 4.< + 4 = 0 03. x' + 4x + 13 =0 04.4.<' + 12x + 9 = 0 05.6x'+7x-3=0 06. x' - 6x + 34 = 0 07. x'-6x+ 1 =0 08.2x'+2x+5=0 09. 9x' - 30x + 23 =0 10.20x'-x-12=0 Respuesla,'1: 01. 2, 1 02. 2 03. -2±3i 04. _1. 05. _.1. Y 06. 3 ± 5i 2 ~ , 3 07. 3± 2,f2 08. _.L~ 3 . 09. 1.) + .fi 2 -"21 - ) 10. f,-i GRUP002 Sea ax2 + bx + C ;; 0 una ecuaci6n de segundo grado de rafces a y p. Sea S la suma de estas rafces y p su producto. a) Calcular, cada una de las siguientes, expresiones algebraicas. en funci6n de S y p. b) Expresar, luego, en funcion de a, b y c. 01 2a-1 2fJ-1 . 2a+1 + 2,0+1 02 fJ-l + a-I . a+2 P+2 03.3(a3+p3)+a2+p2 1+_1 04. a'-S fJ'-S 05. (a+p)2 _4a2 p2 GRUPO03 01. Hallar los valores de a y b, si se sabe que la ecuacion cuadratica: x'- 2(a - b)x + a + b = 0 _.- .tiene como raiz iinica el numero 2. 02. Una raiz de la ecuacion x'-(a+ l)x+2=0 es 2. Hallar el valor de a y la otrarafz. 03. Las rakes de la ecuacion: 2"-16x+c=0 15 Matematica ~a5ica siguen una progresi6n aritmetica de raz6n 2. Hallar las rafces y el valor dec. 04. Las rakes de la ecuaci6n: 4x' + (Sc - 3)x + 108 = 0 estan en progresion geometries de razon 3. Hallar el valor de c y las rakes de la ecuacion, 05. Una raiz de la ecuaci6n: x' + (IOn +m - 9)x + mn = 0 es 3 + S;, donde i =~, i' =-- I. Hallar los valores positives de m y 11. 06. Hallar el valor de m sabiendo que la ecuaci6n cuadratica: , z ' m x +(2my\ -2m-x, -4)x + ( YI' + m "xI 2m x, Y\ ) ee 0 tie,ne una sola raiz y edemas: YI -,-4px1 =0 01. Hallar el valor de b en terrninos de p y m. si la ecuaci6n: m'x' +(2bm-4p)x+b' =0 tiene una s61a ralz. 01. Hallar el valor de m, si la ecuaci6n: nu' -4x+ 4(2-m) =0 tiene soluci6n unica. 08. Hallar eI valOfd. m, si la ecuaci6n: nu' - (3 + 8/1/ ).t +9+ 19m = 0 tiene una unica solucion, 10. Hallar el valor de III, sabiendo que la ecuaci6n: nu' +( 4m + I )x+ 7m -I =0 tiene solucion unica. Sol"ewn: 01. a = 3 ,b = I 02. a = 2 • r, = I 03. c=30 . Ii =3 , r,= 5 04. c=-9 , rl =3 , r,=9 .X05. m = 3 . n = 2 OS. m=~" 01. b=£. 08. 111 = J m J 1 "1. m ==2" m==-2" :'.10. III =- 1,. m==(; I Nota: Los problemas del 6) a 10) san muy (Hiles para resolver problemas de tangencia en GEOMETRIA ANALITICA. GRUPO04 Los siguientes sistemas de ecuaciones se resuelven por sustitucion 0 igualaci6n para hallar los valores de las parejas (.x,y). Resolver los siguientes sistemas. 01. {x' -y ~ 3 x-y=1 02. {x' + y' =S x-y=l 03. {y = 2 - x' 04.{x+i=3 y=x x-y=1 18 06. {X2 -6x- y =0 y=O 06. { X 2 + 2x - y +1= 0 2x-y+5=0 3-y')-3(X07. {4(X Y)=0 2xy+I=0 2 08. y-e x =6 { Y +2x-3 =0 2 09. { x - xy + l = 13 x+ Y =-2 10. {X =9-l x+y=3 SolucUJn: 01. (2,1), (-1,-2) 02, (-1,-2), (2,1) 03. (-2,-2), (1,1) 04. (-1,-2) , (2,1) 05. (0,0), (6,0) 0&, (-2,1) , (2,9) 07. (1,-{),(-q),({,-I),(-{,I) 08. (-1,5), (3,-3) 09. (1,-3) , (-3,1) 10. (0,3), (5,-2) Nota: La solucion de los sistemas de ecuaciones: 1,2, 3,4,5,6,8 Y 10 son intersecciones de una parabola con una recta. Las soluciones de 7 son intersecciones de dos curvas. La solucion de 9 son las intersecciones de una curva y unarecta. 2.0 ORDEN EN lOS NOMEROS REIlIS. Para poder establecer la relad6n de orden "rnenor que" entre los mimeros reales vamos a suponer que existe un subconjunto de mimeros reales, que denotaremos con IR+ y se llama el conjunto de los mimeros nates positivos. o -00 .. -------------------(; • +00 \ . 01. Ley de la tricotomia: Para cualquier mirnero real "an se verifica una y solamente una de las siguientes relaciones: a E lit v - a E JR+ v a =0 02, Ley de Clausura de JR+ . Si a y b pertenecen 31 conjunto JR+ , entonces (0 + b) E JR+ yo. b E JR+ .17 P,OpIsl6" I. Decimos que el rnirnero real a es positive. si a E /R+. Y un mimero real a es negative, si -a E JR+. Dt/lnkiO" 2. Dados dos numeros reales, decimos que a es menor que b. si b - a es positive; esto es: a < b <==:::) b - a e /R+ '----.,.--_." a es rnenor que b, si y sOlo si. b - a penenece al conjunto /R" Si a es menor que b diremos que b es mayor que II '._------~-~ b---------, '--------~-t:"::' ~ A continuaci6n enunciarernos varies teorernas sobre el orden de los mimeros reales, cuya demostracion la dejaremos como ejercicio EI objetivo de este capitulo es aprendcr a resolver inecuaciones aplicando correctamente las definiciones y los teoremas. lEOREMA01. 1. a es positive = a > 0, y 2. a es negative <==::> a < 0 [)eOnki6" 3. I. Los nurneros a y b tienen signos iguales, si ambos son positives 0 umbos son negatives. 2. Los numeros II y b tienen signos diferentes si uoo es positivo y el otro e. negative, TEOREMA02. 1. ".1> > 0 = (a> 0 1\ b > 0] v la< 0 1\ b OJ v I" > 01\ b < OJ Corolorio 2.1. 1. Para todo numero real "an que no sea 2 cero. se cumple: a > 0 2. Para todo numero real "c", se cumple: ,,';, 0 Ejemplos: 1. Resolver: (x -I)' > 0 La soluci6n es: m- {I } 2. Resolver: (x - I)' '" () La soluci6n es: JR Corolorio 2.2. El conjunto m: no es vacio. Es decir JR+ :J; 0 nOREMA03. (Transitividad de la relacion "menorque") Si [a < b /\ b < c] entonces a < c, para los mimeros reales a. b, c. TEOkEMA 04, 1. a cb =a+c 0 ~ ac < be (orden multiplicacion) 2. a c b 1\ c c D ~ ac v be 3. O0~1.>0 a Si a O ~ a cb 2. a c c s c 1\ c ~ > i 2. a c b c t) ~ 1.>1. a b Definicion: 1. a -5. b a < b v a e- b 2. a e b = a>b v a=b EI siguiente teorema agrupa un conjunto de propiedades referentes a la relacion "menor o igual" TEOREMA 09, Para los numeros reales a. b. c se cumplen las siguientes propiedades. 1. ".$ a (Todo niimeroreala, es menor0 igual a sf mismo) 2. a -5. b 1\ b -5. a ~ a =b (Definicion de la relacion igual) 3. a S b 1\ b.$ c => a S c (transitividad) 4. a e b ~ a c b va>b S. a s b ~ a+c -5. b s c 6. a s b 1\ c z O ~ a c s bc 7. a c b 1\ c s O => at: ~ be ___~ ......JL. PROBLEMAS RESUELTOS Las siguientes demostraciones se haee en base de una buena aplicacion de las de.finiciones y teoremas que se han enunciado. mJ Si a < b. demuestre que: u +h i) a < b Parn·rnos de : -a2wb- < b Sumar"b" en ambos rniernbros: I/+b +b < b+b 2 a+3b < 2b 2 Multiplicar par ~ en ambos miembros: a+3h -4- < b ... ...... (7) • Conectamos las desigualdades: (4), (5), (6) y (7) aplicando eI teorema 4 (de transirividad) y obtenemos. II < 3a+h < a+b < a+3b I, dernostrar que: a+b> I +ab. Demostraclon.« Partiremos de: a < I y b > I Sugerencia: para mayor facilidad y tener una idea clara se puede ensayar, en borrador, con la desigualdad: a w b > I+ab = a-I >ab-b = a - I > (a - J)b = (a-I)-(a-l)b>O = (a - 1)(1 - b) > 0 a-I I => b - J > 0 multipliear por - J => I - b < 0 ... (2) AI multipliear las desigualdades (1) y (2); obtenernos: (a-1)(1-b) > 0 (a - 1)(1) - (a - I)(b) > 0 a-J-ab+b>O a-v b > I+ab @Si a < 0, entonces a +.1:5 -2 , a I;f a E JR. Demoslracron.. Para saber partir, ensayemos en "borrador" con a + 1- :5'-2. que es a equivalente al siguieme desarrollo: a+..L+2,;O a 0 2 +1+2u :5 0 a 2 ~:50 . En esta desigualdad se tiene a que (a+I)2;,O ya
