SIMBOLOS Y SIGNOS UTILIZADOS EN EL ALGEBRA BASICA VARIABLES Y CONSTANTES EN COLEGIO SECUNDARIA PDF

El concepto algebraico de cantidad es mucho más amplio que el aritmético, puesto que mientras en aritmética las cantidades se representan mediante números que expresan valores determinados, en Álgebra las cantidades se representan mediante letras que pueden representar cualquier valor que se les asigne. Así, por ejemplo, el número 17 sólo representa un valor determinado, mientras que la letra x puede representar cualquier valor que le asignemos.
Así pues, los símbolos que se emplean en álgebra para representar cantidades pueden ser de dos tipos:
números y letras :
Los números se utilizan para representar cantidades conocidas y perfectamente determinadas.
Las letras se utilizan para representar todo tipo de cantidades tanto conocidas como desconocidas.
En general, las cantidades conocidas se representan utilizando las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d ... , mientras que las cantidades desconocidas se representan utilizando las últimas letras del alfabeto: x, y, z ..
Si  una   letra     representa      diferentes     valores ( cantidades de la misma especie, de diferente magnitud) , entonces se emplean la misma letra afectada de comillas o subíndices.
a’ , a’’, a’’’,... ,se lee a prima ; a segunda o a b prima;...
a1 , a2 , a3 ,... ,se lee a sub uno ; a sub dos ;...
signos utilizados en el algebra ( Simbología Algebraica)
En álgebra se utilizan tres tipos de signos: signos de operación, signos de relación y signos de agrupación.
signos de operación :
Con las cantidades algebraicas se efectúan las mismas operaciones que con las aritméticas, es decir:
suma o adición, resta, multiplicación o producto, división, potenciación, radicación, logaritmación, etc.
En la suma se utiliza el signo más (+).         
Así, por ejemplo, x + y se leerá:  x más y .
En la resta se utiliza el signo menos (–).      
Así, por ejemplo, x – y se leerá:  x menos y
En la multiplicación se utiliza el signo multiplicado por (×) o (.).
Así, por ejemplo, a×b= a.b se leerá:
a multiplicado por b . El signo multiplicado por suele omitirse cuando los factores están indicados por letras o bien por números y letras. 
Así, por ejemplo:
a×b×c = a.b.c= abc    ;   5.y.z = 5yz
La multiplicación se indica poniendo las cantidades unas a continuación de otras sin el signo, así: 4ab expresa 4×a×b pero cuando hay que indicar la multiplicación entre dos números, se pone precisamente el signo 3×4 ó 3.4 para evitar el error a que daría lugar su omisión. 
Cuando hay que multiplicar la suma ó diferencia de varias cantidades , se colocan estas dentro de un paréntesis:
(2a+b – c) (a – b) expresa que el valor de 2a+b – c debe multiplicarse por el de a – b. Si la operación se expresara por:
(2a+b–c)a – c esto indicaría que el resultado 2a+b–c se ha de multiplicar por solo a, y después del producto se restaría b. 
Si se tiene la expresión 2a+b – c(a – b) esto indica que del valor 2a+b se ha de restar el producto de c por la diferencia entre a y b.
En la división se utiliza el signo dividido entre (÷). Así, por ejemplo, a÷b ó a / b se leerá: a dividido entre b
La división también se acostumbra a indicar separando el dividendo y el divisor con una raya. Así tendríamos que: a ÷ b = a/b.
También se indica la división separando el dividendo y el divisor por una raya horizontal.
La división de las cantidades se representa comúnmente en álgebra en forma de quebrado,  indica que el valor de la cantidad que representa por a se ha de dividir por el de la que expresa b, y se lee: a, dividido ó partido por b.
La multiplicación de 3 por 8 , se escribe: 3 × 8 = 24  ó  3 . 8 = 24  ó   (3 × 8) = 24
La división de 14 entre 2 , se escribe:
14 ¸ 2 = 7  ó  14 / 2 = 7  ó  
En la potenciación se utiliza un superíndice denominado exponente que se sitúa arriba y a la derecha de una cantidad llamada base y que indica el número de veces que debe multiplicarse la base por sí misma. 
Así, por ejemplo :
an = a ·a· a ... (n veces) 
se leerá:  a elevado a la  n .
En el caso de que una letra no lleve exponente se sobreentiende que su exponente es la unidad. 
Así, por ejemplo, a = a1 ;  xyz = x1y1z1
Se llama exponente al número que indica cuántas veces entra una cantidad como factor en el resultado. Así a4 indica la operación: a×a×a×a
ejemplos : 
34 = 3×3×3×3=81
27 = 2×2×2×2×2×2×2=128
91 = 9
No se debe confundir el coeficiente con el exponente: el uno indica las veces que una cantidad entra como sumando y el otro las que entra como factor en el resultado. 
En la expresión 4a , 4 es el coeficiente, y en a4 el mismo número es el exponente, y si a, por ejemplo, representa el valor de 5, se tendrá que 4a=20, y a4 =625. Toda cantidad sin coeficiente ó sin exponente, se supone que tiene por coeficiente o por exponente la unidad; porque toda cantidad multiplicada por 1 ó elevada a la primera potencia, produce la misma cantidad, en consecuencia, en estos casos será innecesario indicar el coeficiente ó el exponente.
El signo de raíz es  llamado signo radical, y bajo este signo se coloca la cantidad a la cual se le extrae la raíz. Así  equivale a raíz cuadrada de x, o sea, la cantidad que elevada al cuadrado reproduce la cantidad x ;  equivale a raíz cúbica de a, o sea la cantidad que elevada al cubo reproduce la cantidad a.
Se llama índice de un radical, el número que indica la potencia a la que se ha de elevar una cantidad para producir la que está debajo del radical.
ejemplos : 
Signos  de  relación :
Se emplean estos signos para indicar la relación que existe entre dos cantidades. 
Los principales son:
 =, que se lee igual a.   
Así , a=b se lee “a igual a b”. 
, que se lee diferente a.   
Así, a=b se lee “a diferente a b”. 
>, que se lee mayor que.   
Así, a>b se lee “a mayor que b”. 
<, que se lee menor que.   
Así, a<b se lee “a menor que b”. 
, que se lee mayor o igual que.   
Así, ab se lee “a mayor o igual que b”. 
, que se lee menor o igual que.   
Así, a  b se lee “a menor o igual que b”.
Signos  de  agrupación :
Los signos de agrupación son: 
El paréntesis ordinario (   )
El paréntesis angular o corchete [   ]
Las llaves {  } 
La barra o vínculo . 
Estos signos indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero. 
ejemplos :
(a + b)c indica que el resultado de la suma a y b debe multiplicarse por c
[a – b]m indica que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por m, {a + b} ÷ {c – d} índica que la suma de a y b debe dividirse entre la diferencia de c y d. 
Cuando hay que multiplicar la suma o diferencia de varias cantidades, se colocan estas dentro de un paréntesis :
(5a+b+c) (a – b) expresa que el valor de 5a+b + c debe multiplicarse por el de a – b. 
Si la operación se expresara por :
(5a+b + c)a – c esto indicaría que el resultado 5a+b + c se ha de multiplicar por solo a , y después del producto se restaría b. 
Si se tiene la expresión 3a+b – c(a – b) esto indica que del valor 3a+b se ha de restar el producto de c por la diferencia entre a y b.
El orden de estos signos son de la siguiente forma { [ ( ) ] }, por ejemplo: 
{ [ (a + b) – c] · d} indica que el resultado de la suma de a + b debe restarse a c  y el resultado de esto multiplicarse por d.
FÓRMULAS  :
Consecuencia de la generalización que implica la representación de las cantidades por medio de letras son las fórmulas algebraicas.
Fórmula algebraica es la representación, por medio de letras, de una regla o de un principio general.
Así, la Geometría enseña que el área de un rectángulo es igual al producto de su base por su altura; luego, llamando A al área del rectángulo, b a la base y h a la altura, la fórmula A=b×h representará de un modo general el área de cualquier rectángulo, pues el área de un rectángulo dado se obtendrá con sólo sustituir b y h en la fórmula anterior por sus valores en el caso dado. 
Así, si la base de un rectángulo es 5 m y su altura 3 m, su área será: 
A = b×h = 5m×3m = 15m2
El área de otro rectángulo cuya base fuera 8m y su altura 6m sería: 
A = b×h = 8 m×6 m = 48 m2
Así analogamente mencionemos otro ejemplo, si decimos que el área de un círculo viene dada por la expresión S =pr2 , siendo S el área del círculo, r el radio y p el número irracional 3,141592 ... estamos empleando una fórmula algebraica que se podrá utilizar para calcular el área de cualquier círculo , conocido el valor del radio. Así ,  si el radio mide 5 cm tendremos que S =pr2 = 78,54 cm2.
MODO  DE  RESOLVER  LOS PROBLEMAS  EN  ARITMÉTICA  y ÁLGEBRA
Exponemos a continuación un ejemplo para hacer notar la diferencia entre el  método aritmético y el algebraico en la resolución de problemas, fundado este último en la notación algebraica y en la generalización que ésta implica.
Las edades de A y B suman 48 años. Si la edad de B es 3 veces la edad de A, ¿qué edad tiene cada uno?
MÉTODO ARITMÉTICO :
Edad de A más edad de B =48 años.
Como la edad de B es 3 veces la edad de A, tendremos:
Edad de A más 3 veces la edad de A = 48 años.
o sea, 4 veces la edad de A = 48 años; luego, Edad de A = 12 años 
Edad de B = 12 años×3 = 36 años 
MÉTODO ALGEBRAICO :
Como la edad de A es una cantidad desconocida se representa por x.
Sea  x = edad de A
Entonces edad de B = 3x
Luego como el total es 48 , entonces plantearemos : x+3x=48
Þ 4x=48 Þ x=48/4 Þ x=12
Da entender que la edad de A será x=12 , y la de B será 3x=3×12=36
COEFICIENTE :
En el producto de dos factores, cualquiera de los factores es llamado coeficiente del otro factor.
Así, en el producto 3x el factor 3 es coeficiente del factor x e indica que el factor x se toma como sumando tres veces, o sea 3x = x+ x + x ; en el producto 5a, el factor 5 es coeficiente de a e indica que:
5a =a + a + a +a +a. 
Éstos son coeficientes numéricos.
En el producto ab, el factor a es coeficiente del factor b, e indica que el factor b se toma como sumando 
  veces, o sea . Éste es un coeficiente literal.
En el producto de más de dos factores, uno o varios de ellos son el coeficiente de los restantes. Así, en el producto abed, a es el coeficiente de bed; ab es el coeficiente de ed ; abe es el coeficiente de d.
Cuando una cantidad no tiene coeficiente numérico, su coeficiente es la unidad. Así, b equivale a 1b; abe equivale a 1abe.
! ten en cuenta ¡
El Álgebra ya existía antes de que se utilizaran variables y símbolos para escribir expresiones matemáticas. Se llamaba “Álgebra Retórica” porque las expresiones se describían con el idioma local.
En lugar de utilizar 2x+1, se escribía “dos veces la cosa más uno”.
Obviamente, solo las personas que conocían el idioma podían comprender el enunciado matemático.
Fue François Viète (1540-1603), un abogado y jurista francés, miembro del Parlamento y hombre de confianza del rey Enrique IV de Francia, cuya verdadera vocación eran las matemáticas, quien llevó al Álgebra a su fase simbólica tal y como hoy se utiliza.
Viète introdujo la primera notación algebraica en su libro Introducción al arte analítico, publicado en 1571. En él demostró el valor y la utilidad de los símbolos, abandonó el uso de palabras en el Álgebra y utilizó en sus cálculos las letras minúsculas latinas (vocales que representaban magnitudes desconocidas y consonantes que representaban magnitudes conocidas); además, introdujo la palabra “coeficiente” en uno de sus problemas geométricos.
Viète mejoró la teoría de ecuaciones y presentó métodos para resolver ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado. Sin embargo, no las resolvía tal como se hace en la actualidad, sino que las asociaba a problemas geométricos, aplicando lo que él llamaba “el principio de homogeneidad”.
El uso de simbolos para denotar incognitas junto con las operaciones entre números ha permitido desarrollar conceptos y demostrar relaciones y propiedades geométricas y algebraicas. Gracias al desarrollo del lenguaje algebraico, hoy en día es posible comunicar ideas y conceptos universales.